Benutzer:Buss-Haskert/Zinseszins

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Wachstum - Zinseszins

Zinseszins

In diesem Lernpfad lernst du

• was Zinseszinsen sind,
• welche Bedeutung Zinseszinsen für Kapitalanlage haben,
• welcher Unterschied zwischen der Geldanlage mit und ohne Zinseszinsen besteht.

Einstieg: Sparschwein

Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.

{{Box|Vorwissen zum THema Zinseszins|Wiederhole die Grundbegriffe der Zinsrechnung mit den Aufgaben in deinem ANOTN-Accout.

1. Möglichkeit:
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre	Guthaben(€)
0	1000
1	1050
2	1100
3	1150
...	...
18	...

2. Möglichkeit:
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre	Guthaben(€)
0	1000
1	1050
2	1102,50
3	1157,625
...	...
18	...

Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?

Kapital nach 18 Jahren:
K₁₈ = ...

Kapital nach 18 Jahren:
K₁₈ = ...

Hefteintrag: Zinseszins

Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel
K_n = K₀ ∙ (1+p%)ⁿ
      = K₀ ∙ qⁿ    mit q = 1+p%

Beispiel:
geg: K₀ = 1000€ (Startkapital, Null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre
ges: K_n (Kapital nach n Jahren)

K₁₈ = 1000 ∙ 1,05¹⁸
      = 2406,62 (€)

Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.

Übung 1 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 1
• 2
• 3

Übung 2

a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren.

b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.

Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.

geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K₅ = K₀ ∙ q⁵
   = 7500 ∙ 1,015⁵

   = 8079,63 (€)

Umstellen der Zinseszinsformel

Formel umstellen nach K₀ ("Wie hoch war das Startkapital...?):
K_n = K₀ ∙ qⁿ  |:qⁿ
$\tfrac{K_n}{q^n}$

Formel umstellen nach q ("Mit welchem Prozentsatz ...?):
K_n = K₀ ∙ qⁿ  |:K₀
$\tfrac{K_n}{K^0}$ = qⁿ  |$\sqrt[n]{...}$
$\sqrt[n]{\tfrac{K_n}{K_0}}$ = q

Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.

Formel umstellen nach n ("Nach wie vielen Jahren...?"):
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.

Übung 3 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9

Übung 4

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.

• S. 73 Nr. 3
• S. 73 Nr. 5a (**)
• S. 79 Nr. 1
• S. 83 Nr. 10
• S. 87 Nr. 6
• S. 87 Nr. 7

a) geg:...
ges: q; K_n
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
K₅ = K₀ ∙ q⁵ Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.
b) geg:...
ges: p%; K_n
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
Berechne K_n durch einsetzen der Werte in die Formel.
c) geg: ...
ges: K₀; p%
Stelle die Formel nach K₀ um und setze dann die gegebenen Werte ein.
d) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.

Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K₀ = 1000€
geg: K₀ = 1000€; K_n = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018

Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder K_n mehr als 2000€ beträgt.

Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K₀ = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: K_n
K_n = K₀ ∙ qⁿ Setze ein und berechne.

Angebot B:
geg: K₀ = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K₇ gibt es zusätzlich 10%.
K_n = K₀ ∙ qⁿ Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K₇ noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital K_Ende = K₇ ∙ 1,1 ...

denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.

a) geg: K₀ = 2800€; n = 5; K₅ = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K₀ = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; K_n = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K₈ = 6776,25€
ges: K₀

Stelle die Zinseszinsformel nach K₀ um und setzte die gegebenen Werte ein.

Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)