Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen

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In diesem Lernpfadkapitel hast du die Möglichkeit, dein Wissen über lineare Funktionen zu gebrauchen, zu erweitern und dein Verständnis zu vertiefen. Das Kapitel gibt dir eine Übersicht über die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, die darauf liegenden Punkte und über die Gleichungen und Graphen linearer Funktionen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Spaß und Erfolg!

Wiederholung: Was ist eine Funktion?

Aufgabe 1: Was weißt du noch über Funktionen?

Zur Einführung in das Thema der linearen Funktionen wiederholen wir zunächst, was eine Funktion überhaupt ist. Versuche dazu, den folgenden Lückentext auszufüllen, indem du die Wörter unter dem Text mit der Maus an die passende Stelle im Text ziehst. Anschließend kannst du deine Antworten überprüfen.

Eine Zuordnung $x \mapsto y$ heißt Funktion, wenn jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird.
Durch eine Funktion $f$ wird einer Variablen $x$ ein Funktionswert $f(x)$ zugeordnet.
Wenn es einen Term zur Berechnung der Funktionswerte gibt, dann nennt man ihn den Funktionstermund die zugehörige Gleichung heißt Funktionsgleichung.
Stellt man die Zahlenpaare $(x,y)$ als Punkte $P(x|y)$ in einem Koordinatensystem dar, so erhält man den Graphen der Funktion.

Überprüfe nun, ob die folgenden Zuordnungen eine Funktion beschreiben.

Überprüfe, ob bei der jeweiligen Zuordnung jedem $x$-Wert auch wirklich genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Bei den Fragen stellt jeweils das erste Wort der Zuordnung den $x$-Wert und das zweite Wort den $y$-Wert dar.

1.) Haus $\mapsto$ Adresse (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Da jedem Haus immer genau eine Adresse zugeteilt wird, beschreibt diese Zuordnung eine Funktion.

2.) Mutter $\mapsto$ Kind (!Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Diese Zuordnung beschreibt keine Funktion, da nicht jede Mutter genau ein Kind hat, sondern auch mehrere Kinder haben kann.

3.) Zahl $\mapsto$ Quersumme der Zahl (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist die Summe ihrer einzelnen Ziffern. Zum Beispiel ist die Quersumme von $251$ gleich $8$, da $2+5+1=8$.

Da jede natürliche Zahl also genau eine Quersumme hat, ist die Zuordnung eine Funktion.

Lineare Funktionen erkennen

Merke: Lineare Funktionen

Die Funktionsgleichung einer lineare Funktion ist dir vielleicht auch unter der Bezeichnung Geradengleichung bekannt. Wie dieser Name schon sagt, handelt es sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine Gerade. Der Graph kann daher keine Kurven haben.

Im Allgemeinen haben lineare Funktionen die Funktionsgleichung $f(x)=mx+b$.

• Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
• Das Vorzeichen der Steigung $m$ gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen) oder steigt (positives Vorzeichen).
• Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse, die sogenannte Nullstelle der Funktion, berechnest du, indem du $f(x)=0$ setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die $x$-Achse schneidet, ist der $y$-Wert gleich $0$.

Im Folgenden kannst du über die beiden Schieberegler die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ verstellen und dir anschauen, wie sich der Graph der linearen Funktion verändert.

Aufgabe 2: Erkennst du sie?

Entscheide, ob die folgenden Funktionsgleichungen und Graphen lineare Funktionen sind, und ordne sie dem passenden Feld zu.
Wenn du alle Funktionsgleichungen und Graphen zugeordnet hast, kannst du dein Ergebnis mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts überprüfen.

Funktionsgraph erkennen: Überlege dir, welche geometrische Form der Graph einer linearen Funktionen hat.

Funktionsgleichung erkennen: Überlege dir, welche Form die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat.

Überlege dir, ob ein $x$-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf.

Graph einer linearen Funktion

Aufgabe 3: Zeichnen von Graphen

Zeichne die folgenden Graphen in dein Heft:

a) $f(x)= 2x- 1$

b) $f(x) = -3x+ 3$

c) $f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2{,}5$

Es gibt zwei mögliche Wege einen Graphen zu zeichnen. Entweder du betrachtest $m$ und $b$ von der Funktionsgleichung $f(x)= mx+b$ genauer. Dieses Verfahren wird dir bei der Möglichkeit 1 genauer erläutert. Oder du setzt Punkte in die Funktionsgleichung ein. Die Möglichkeit 2 zeigt dir hierzu ein Beispiel.

Betrachten wir als Beispiel die Funktionsgleichung $f(x)= -1{,}5x+4$.

Dabei gibt $b=4$ den Schnittpunkt mit der $y$- Achse im Koordinatensystem an. Wir wissen also, dass der Graph der Funktion durch den Punkt $P(0|4)$ verläuft.
Nun betrachten wir die Steigung welche durch $m= - 1{,}5$ gegeben ist. Du kannst dann vom Punkt $P(0|4)$ eine Einheit nach rechts und $1{,}5$ nach unten gehen, weil die Steigung negativ ist.

( An dem Punkt könntest du, wenn dir $1{,}5$ nicht so gut passt, auch ein Vielfaches nehmen. Du darfst dann aber nicht vergessen auch zunächst das Vielfache nach rechts zu gehen)

Betrachten wir die Funktionsgleichung $f(x)= -1{,}5x+4$
Bei diesem Verfahren setzt du zwei verschiedene $x$-Werte in die Gleichung ein. Versuche einfache Werte zu wählen.
Du könntest zum Beispiel $x=0$ wählen. Dann wäre $f(0)=-1{,}5\cdot0+4= 0.$ Dies wäre der Punkt $A(0|4)$.
Als nächstes wählst du eine andere Zahl, z. B. $x=4$. Dann wäre $f(4)= -1{,}5\cdot4+4=-6+4= -2$. Dies wäre der Punkt $B(4|-6)$.

Nun zeichne beide Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde diese mit einer Geraden durch die Punkte.

Möglichkeit 1:
Die Funktionsgleichung $f(x)=2x-1$ schneidet die $y$- Achse im Punkt $P(0|-1)$ ,da $b=-1$ den Schnittpunkt mit der $y$-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=2$. Wir können vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und $2$ nach oben gehen, da die Steigung positiv ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2:
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene $x$- Werte. Zunächst könnte man $x= 0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)=2\cdot0-1=-1$, also den Punkt $A=(0|-1)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x=\frac{1}{2}$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{2}-1= 1-1=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=\left(\frac{1}{2}|0\right)$.

Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion.

Möglichkeit 1:
Die Funktionsgleichung $f(x) = -3x+ 3$ schneidet die $y$- Achse im Punkt $P(0|3)$ ,da $b=3$ den Schnittpunkt mit der $y$-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=-3$. Wir können vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und $3$ nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2:
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene $x$- Werte. Zunächst könnte man $x= 0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)=-3\cdot0+3=3$, also den Punkt $A=(0|3)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x=1$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(1)=-3\cdot1+3= -3+3=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(1|0)$.

Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion.

Möglichkeit 1:
Die Funktionsgleichung $f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2{,}5$ schneidet die $y$- Achse im Punkt $P(0|2,5)$ ,da $b=2{,}5$ den Schnittpunkt mit der $y$-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=-\frac{5}{6}$. Wir könnten vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und $\frac{5}{6}$ nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Da dies allerdings schwierig und ungenau abzulesen ist, bietet es sich hier an, stattdessen ein Vielfaches der Steigung zu gehen. Multiplizieren wir die Steigung z. B. mit $3$ erhalten wir $\frac{5}{6}\cdot3=\frac{15}{6} =\frac{5}{2}=2{,}5$. Dieser Wert ist deutlich einfacher einzuzeichnen in ein Koordinatensystem. Wir gehen nun also von dem Punkt $P$ $3$ Einheiten nach rechts, weil wir die Steigung ja mit $3$ multipliziert haben. Dann gehen wir $2{,}5$ Einheiten nach unten, da die Steigung negativ ist. Nun sind wir bei dem Punkt $Q=(3|0)$ ausgekommen, welchen man gut in ein Koordinatensystem einzeichnen kann.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2:
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene $x$- Werte. Zunächst könnte man $x= 0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)= -\frac{5}{6}\cdot0+ 2{,}5= 2{,}5$, also den Punkt $A=(0|2,5)$.
Als nächstes könnte man z. B. $x=3$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(3)=-\frac{5}{6}\cdot3+ 2{,}5=-\frac{15}{6}+ 2{,}5= -\frac{5}{2}+2{,}5=-2{,}5+2{,}5=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(3|0)$.

Nun verbindet man im letzten Schritt die beiden Punkte und erhält den Graphen der Funktion.

Aufgabe 4: Funktionsgleichungen und Graphen verbinden

Verbinde den Graphen mit der passenden Funktionsgleichung. Du kannst die Bilder durch einen Klick vergrößern.

Falls du keinen Ansatz findest, versuche zunächst den Schnittpunkt mit der $y$- Achse zu ermitteln. Wenn du die Funktionsgleichung $f(x)= mx+b$ gegeben hast, ist $b$ der Schnittpunkt. Durch $m$ erfährst du ob und wie steil der Graph steigt. Falls du hierzu mehr lesen möchtest, schau bei Aufgabe 3 in die Möglichkeiten 1 und 2.

Bestimmung von Funktionsgleichungen

Aufgabe 5: Funktionsgleichung mit Hilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen

In den folgenden Teilaufgaben ist dir jeweils die Steigung der Geraden und ein Punkt, der auf der Geraden liegt, gegeben. Bestimme die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form $f\left(x\right) = m\cdot x + b$ in deinem Heft.

Setze die gegebene Steigung und den Punkt in die Geradengleichung der Form $f\left(x\right) = mx + b$ ein.

a) Die Steigung ist $m = 5$ und der Punkt $P\left(-1|-7\right)$.

1. Setze als erstes für die Steigung $m = 5$ ein, sodass die Gleichung $f\left(x\right) = 5x + b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P\left(-1|-7\right)$. Dann erhältst du mit $x = -1$ und $f\left(x\right) = -7$ die Gleichung $-7 = 5\cdot\left(-1\right) + b$.
3. Bestimme mit Auflösung nach $b$ den Wert $b = -2$. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für $m$ und $b$ einsetzt, die Geradengleichung $f\left(x\right) = 5x - 2$ ergibt.

b) Die Steigung ist $m = 4{,}5$ und der Punkt $P\left(4|18{,}5\right)$.

1. Setze als erstes für die Steigung $m = 4{,}5$ ein, sodass die Gleichung $f\left(x\right) = 4{,}5\cdot x + b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P\left(4|18{,}5\right)$. Dann erhältst du mit $x = 4$ und $f\left(x\right) = 18{,}5$ die Gleichung $18{,}5 = 4{,}5\cdot4 + b$.
3. Bestimme mit Auflösung nach $b$ den Wert $b = 0{,}5$. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für $m$ und $b$ einsetzt, die Geradengleichung $f\left(x\right) = 4{,}5\cdot x + 0{,}5$ ergibt.

c) Die Steigung ist $m = \frac{2}{3}$ und der Punkt $P\left(-3|-\frac{4}{5}\right)$

1. Setze als erstes für die Steigung $m = \frac {2}{3}$ ein, sodass die Gleichung $f\left(x\right) = \frac{2}{3}\cdot x + b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P\left(-3|-\frac{4}{5}\right)$. Dann erhältst du mit $x = -3$ und $f\left(x\right) =-\frac{4}{5}$ die Gleichung $-\frac{4}{5}= \frac{2}{3}\cdot\left(-3\right) + b$.
3. Bestimme mit Auflösung nach $b$ den Wert $b =\frac{6}{5}$. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für $m$ und $b$ einsetzt, die Geradengleichung $f\left(x\right) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}$ ergibt.

Du hast in den letzten paar Aufgaben schon die Steigung der linearen Funktion benutzt, um ihren Graphen zu zeichnen, dem Graphen zu ihrer Funktion zu zuorden oder die Funktionsgleichung mithilfe der Steigung zu berechnen. Wie du konkret die Steigung aus zwei Punkten bestimmen kannst, kannst du dir im unteren Text durchlesen.

Merke: Das Steigungsdreieck

Die Steigung einer linearen Funktion erhältst du mithilfe des Steigungsdreiecks, von welchem zwei Punkte auf dem Graphen liegen. Das Steigungsdreieck kennzeichnet, dass die Steigung dem Verhältnis des Höhen- und Längenunterschiedes beider Punkte entspricht.
Die Steigung berechnest du folgendermaßen:

1. Du suchst zwei beliebige Punkte $P(x_1|f\left(x_1\right))$ und $Q(x_2|f\left(x_2\right))$, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
   
2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigst du die $y$- bzw. $f\left(x\right)$-Koordinaten der Punkte P und Q: Höhenunterschied: $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$
   
3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigst du die $x$-Koordinaten der Punkte P und Q: Längenunterschied: $x_2-x_1$
   
4. Für die Steigung der Geraden gilt dann: $m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$
   

In dieser Grafik kannst du die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ frei wählen. Dadurch siehst du, wie sich das Steigungsdreieck entsprechend verändert.

Aufgabe 6: Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen

Nutze die in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form $f\left(x\right)= m\cdot x+b$.

Du kannst auf zwei unterschiedlichen Wegen die Funktionsgleichungen bestimmen.

1. Berechne zuerst die Steigung $m$. Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor.
2. Berechne dann den $y$-Achsenabschnitt $b$. Gehe so vor wie bei Aufgabe 5 und setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung $f\left(x\right) = mx + b$ ein.

1. Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem.
2. Zeichne dann eine Gerade, die durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft.
3. Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung $m$.
4. Lies den $y$-Achsenabschnitt $b$ am Graphen ab.
5. Setze die Werte für $m$ und $b$ in die Geradengleichung $f\left(x\right) = mx + b$ ein.

a) Gegeben sind die Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$.

Die Funktionsgleichung lautet $f\left(x\right) = 3x + 15.$

• Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die $y$- bzw. $f\left(x\right)$-Koordinaten der Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$ wie folgt: $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=42-27=15$

• Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die $x$-Koordinaten der Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$. Dann rechnen wir wie folgt: $x_2-x_1=9-4=5$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{15}{5}=3$

• Für die Berechnung des $y$-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m =3$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f\left(x\right) = mx + b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15$

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 42= 3 \cdot 9+ b \Leftrightarrow 42 =27 + b \Leftrightarrow b= 15$

• Zum Schluss setzt du $m = 3$ und $b = 15$ in die Geradengleichung $f\left(x\right) = mx + b$ ein.

b) Gegeben sind die Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$.

Die Funktionsgleichung lautet $h\left(x\right) = 2x+5$.

• Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die $y$ bzw. $h\left(x\right)$-Koordinaten der Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$ wie folgt berechnen: $h\left(x_2\right)-h\left(x_1\right)=7-(-1)=8$

• Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die $x$-Koordinaten der Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$. Dann rechnen wir wie folgt: $x_2-x_1=1-(-3)=4$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $m=\frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{8}{4}=2$

• Für die Berechnung des $y$-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m = 2$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $h\left(x\right) = mx + b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $h\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5$

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $h\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 7= 2 \cdot 1+ b \Leftrightarrow 7=2 + b \Leftrightarrow b= 5$

• Zum Schluss setzt du $m = 2$ und $b = 5$ in die Geradengleichung $h\left(x\right) = mx + b$ ein.

c) Gegeben sind die Punkte $P(-5|-12{,}5)$ und $Q(10|11{,}5)$.

Die Funktionsgleichung lautet $f\left(x\right) = \frac{8}{5}x -4{,}5$.

• Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die $y$- bzw. $f\left(x\right)$-Koordinaten der Punkte $P(-5|-12{,}5)$ und $Q(10|11{,}5)$ wie folgt berechnen: $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=11{,}5-(-12{,}5)=24$

• Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die $x$-Koordinaten der Punkte $P(-5|-12{,}5)$ und $Q(10|11{,}5)$ verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: $x_2-x_1=10-(-5)=15$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$

• Für die Berechnung des $y$-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m = \frac{8}{5}$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f\left(x\right) = mx + b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow -12{,}5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12{,}5=8 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5$}

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 11{,}5= \frac{8}{5} \cdot 10+ b \Leftrightarrow 11{,}5 =16 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5$

• Zum Schluss setzt du $m = \frac{8}{5}$ und $b = -4{,}5$ in die Geradengleichung $f\left(x\right) = mx + b$ ein.

d) Betrachte die nachfolgende Wertetabelle.

Du kannst dir zwei beliebige Punkte aus der Wertetabelle auswählen. Jedoch ist es einfacher für dich, wenn du dir Zahlen, die ganze Zahlen sind, oder Brüche, die gleichnamig sind, aussuchst, damit sich die Rechnung für dich vereinfacht.

Die Funktionsgleichung lautet $g\left(x\right) = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$.

• Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die $y$- bzw. $g\left(x\right)$-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle. Wir wählen zum Beispiel die Punkte $P\left(-3|\frac{9}{4}\right)$ und $Q\left(1|1\frac{1}{4}\right)$, da diese Brüche gleichnamig sind und die Subtraktion einfacher ist. Du kannst die Steigung aber auch mit den anderen Punkten bestimmen. Dann berechnen wie folgt: $g\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1$

• Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die $x$-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied  gewählt hast. Wir benutzen also die Punkte $P\left(-3|\frac{9}{4}\right)$ und $Q\left(1|1\frac{1}{4}\right)$. Dann rechnen wir wie folgt: $x_2-x_1=1-(-3)=4$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $\frac{g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{1\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}$

• Für die Berechnung des $y$-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m = -\frac{1}{4}$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $g\left(x\right) = mx + b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $g\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $g\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4}= -\frac{1}{4} \cdot 1+ b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4} =-\frac{1}{4} + b \Leftrightarrow b= 1\frac{2}{4}=\frac{3}{2}$

• Zum Schluss setzt du $m = -\frac{1}{14}$ und $b = \frac{3}{2}$ in die Geradengleichung $g\left(x\right) = mx + b$ ein.

Graphischer Lösungsweg

Graphen und ihre Punkte

Aufgabe 7: Liegen die Punkte auf dem Graphen?

Prüfe, ob die Punkte auf dem jeweiligen Graphen liegen.

In der Aufgabe siehst du in der obersten Zeile vier verschiedene Funktionsgleichungen. Zu Beginn ist die erste Funktionsgleichung blau hinterlegt. Hiermit kannst du starten. Wähle die zu dieser Gleichung gehörigen Punkte aus. Hast du alle passenden Punkte ausgewählt, klicke oben die nächste Funktionsgleichung an und wiederhole dein Vorgehen.
Viel Spaß!

Setze die Punkte in die oben ausgewählte Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sie erfüllt ist.

Schnittpunkt mit der $x$-Achse (Nullstelle)

Merke: Die Nullstelle einer linearen Funktion

Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt der Funktion mit der $x$-Achse. Die Berechnung ist daher oftmals leichter als die Berechnung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen, da der $y$-Wert bereits bekannt ist, dieser ist immer $0$.

Aufgabe 8: Nullstelle bestimmen

Bestimme graphisch oder rechnerisch im Heft die Nullstellen der folgenden Funktionen. Überlege dir jeweils, welche Vorgehensweise sinnvoller ist.

a) $f(x)=-0{,}5x+2$
b) $g(x)=50x+25$
c) $h(x)=-x-1{,}75$
d) $j(x)=3$

Du kannst die Nullstelle graphisch und rechnerisch bestimmen.

Graphische Bestimmung:
Zeichne die Funktion in dein Heft und lies die Nullstelle ab.

Rechnerische Bestimmung:
Schritt 1: Setze die Gleichung gleich $0$.
Schritt 2: Löse nach $x$ auf.

Schritt 3: Gib die Nullstelle an.

Graphische Lösung:
Schritt 1: Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.
Schritt 2: Lies die Nullstelle ab.

Rechnerische Lösung:
Schritt 1: Setze die Gleichung gleich $0$.
$0=-0{,}5x+2$

Schritt 2: Löse nach $x$ auf.
$0=-0{,}5x+2$
$\Leftrightarrow -2=-0{,}5x$
$\Leftrightarrow 4=x$

Schritt 3: Gib die Nullstelle an.

Die Nullstelle der Funktion $f(x)$ liegt bei $N(4|0)$.

Graphische Lösung:
Schritt 1: Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.
Schritt 2: Lies die Nullstelle ab.

Rechnerische Lösung:
Schritt 1: Setze die Gleichung gleich $0$.
$0=50x+25$

Schritt 2: Löse nach $x$ auf.
$0=50x+25$
$\Leftrightarrow -25=50x$
$\Leftrightarrow -0{,}5=x$

Schritt 3: Gib die Nullstelle an.

Die Nullstelle der Funktion $g(x)$ liegt bei $N(-0{,}5|0)$.

Graphische Lösung:
Schritt 1: Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.
Schritt 2: Lies die Nullstelle ab.

Rechnerische Lösung:
Schritt 1: Setze die Gleichung gleich $0$.
$0=-x-1{,}75$

Schritt 2: Löse nach $x$ auf.
$0=-x-1{,}75$
$\Leftrightarrow 1{,}75=-x$
$\Leftrightarrow -1{,}75=x$

Schritt 3: Gib die Nullstelle an.

Die Nullstelle der Funktion $h(x)$ liegt bei $N(-1{,}75|0)$.

Graphische Lösung:
Schritt 1: Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein.
Schritt 2: Lies die Nullstelle ab. Du erkennst, dass diese Funktion keine Nullstelle besitzt.

Rechnerische Lösung:
Wenn du bei dieser Gleichung versuchst, sie gleich $0$ zu setzen, erhälst du den Ausdruck $0=3$.
Diese Aussage kann nicht wahr sein, deshalb besitzt diese Funktion keine Nullstelle.

Warum ist das so?

Die Steigung $m$ dieser Funktion ist $0$. Dadurch erhält man eine Konstante, hier bei $y=3$, die die $x$-Achse an keiner Stelle schneidet. Der Funktionswert ist für jedes $x$ gleich $3$, also immer ungleich $0$.

Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen

Merke: Schnittpunkte von linearen Funktionen

Lineare Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse, den $y$-Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die $x$-Achse, dies ist die Nullstelle. Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden. Sie schneiden sich maximal in einem Punkt, d.h. sie können sich auch in keinem Punkt schneiden. Voraussetzung für das Vorhandensein eines Schnittpunktes ist, dass die beiden Funktionsgleichungen eine unterschiedliche Steigung besitzen.

Du kannst den Schnittpunkt von linearen Funktionen auf zwei Arten bestimmen.

1. Rechnerisch
2. Graphisch

Das graphische Bestimmen des Schnittpunktes kann ungenau sein, da du den Schnittpunkt manchmal nicht exakt ablesen kannst. Durch eine Rechnung erhälst du immer den genauen Schnittpunkt.

Aufgabe 9: Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen

Beantworte die folgenden Fragen zu Schnittpunkten von linearen Funktionen. Nutze dein Heft!

Bestimme den Schnittpunkt von $f(x)=4x$ und $h(x)=2x+2$. Überlege dir, ob du den Schnittpunkt graphisch oder rechnerisch lösen möchtest.

Schritt 1: Zeichne die Funktionen in ein Koordinatensystem ein.

Schritt 2: Markiere den Schnittpunkt durch ein Kreuz und lies die Koordinaten ab. Beschrifte den Schnittpunkt.

Gehe folgendermaßen vor:
Schritt 1: Setze beide Funktionsgleichungen gleich.
$f(x)=h(x)$
$4x=2x+2$

Schritt 2: Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$4x=2x+2 \mid-2x$
$\Leftrightarrow 2x=2 \mid:2$
$\Leftrightarrow x=1$

Schritt 3: Bestimme $y$. Setze dazu $x$ in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
$y=f(1)=4\cdot1=4$

Schritt 4: Probe. Setze $x$ auch in die andere Funktionsgleichung ein.
$y=h(1)=2\cdot1+2=2+2=4$

Schritt 5: Gib den Schnittpunkt an.

$f(x)$ und $h(x)$ schneiden sich im Punkt $S(1\mid4)$.

Alternativ kannst du in dieser Aufgabe auch die $x$-Koordinate in beide Funktionen einsetzen und dann prüfen, ob der gleiche $y$-Wert herauskommt.

So kannst du allerdings nur vorgehen, wenn du bereits Schnittpunkte vorgegeben hast. Ansonsten musst du einen anderen Lösungsweg wählen.

Anwendungsaufgaben

Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.

Aufgabe 10: Abbrennen einer Kerze

Eine Kerze ist $1{,}5$ Stunden nach dem Anzünden $12$ cm und $3{,}5$ Stunden nach dem Anzünden noch $6$ cm hoch.

a) Zeichne den Graphen der Zuordnung Zeit $\mapsto$ Länge der Kerze.
b) Lies an deiner Zeichnung folgende Werte ab:

• Wie lang war die Kerze zu Beginn?
• Nach welcher Brennzeit ist sie nur noch $1{,}5$ cm hoch?
• Wann ist sie abgebrannt?

c) Bestimme die Änderungsrate und gib die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=mx+b$ an. Ermittle nun die gesuchten Werte aus b) mithilfe der Gleichung.

Überlege dir, welche Punkte du aus der Aufgabenstellung erhälst. Zeichne sie in ein Koordinatensystem. Dabei befindet sich auf der $x$-Achse die Zeit und auf der $y$-Achse die Höhe der Kerze.

Die Änderungsrate ist ein anderes Wort für die Steigung $m$ der linearen Funktion.

Erinnere dich, wie du mithilfe zweier Punkte die Steigung bestimmen kannst.
Den $y$-Achsenabschnitt hast du schon in Teilaufgabe b) herausgefunden. Setze beide Werte in die Funktionsgleichung ein.

Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Aus der Aufgabenstellung erhälst du die beiden Punkte $P(1{,}5|12)$ und $Q(3{,}5|6)$. Zeichne diese in dein Koordinatensystem ein und verbinde sie durch eine Gerade, die über die beiden Punkte hinaus geht.

• 'Zu Beginn' bedeutet, dass $x=0$ ist. Also sollst du den $y$-Achsenabschnitt ablesen. Dieser ist $b=16{,}5$. Zu Beginn war die Kerze also $16{,}5$ cm hoch.
  
  
• Die Brennzeit, bei der die Kerze noch $1{,}5$ cm hoch ist, beträgt $5$ Stunden. Diese erhältst du, indem du den $x$-Wert zum Wert $y=1{,}5$ abliest. Dieser ist $x=5$.
  
  
• 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich $0$ ist, also $y=0$. Du sollst also die Nullstelle ablesen. Diese ist $x=5{,}5$. Also ist die Kerze nach $5{,}5$ Stunden abgebrannt.

Die Änderungsrate ist die Steigung $m$ der Geraden. Diese berechnest du mit den oben ermittelten Punkten $P(1{,}5|12)$ und $Q(3{,}5|6)$ wie folgt: $m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{6-12}{3{,}5-1{,}5}=-\frac{6}{2}=-3$.

Den $y$-Achsenabschnitt hast du schon bei Teilaufgabe b) ermittelt. Dieser war $b=16{,}5$.

Setze $m$ und $b$ nun in die allgemeine Form $f(x)=mx+b$ ein. Du erhältst dann: $f(x)=-3x+16{,}5$.

• 'Zu Beginn' bedeutet, dass $x=0$ ist. Also $f(0)=-3\cdot0+16{,}5=16{,}5$.
• Du weißt, dass die Höhe noch $1{,}5$ cm beträgt. Setze also $f(x)=1{,}5$. Dann gilt:
  $1{,}5=-3x+16{,}5$ $\Leftrightarrow -15=-3x$ $\Leftrightarrow x=5$.
• 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich $0$ ist. Setze also $f(x)=0$. Dann gilt:
  $0=-3x+16{,}5$ $\Leftrightarrow -16{,}5=-3x$ $\Leftrightarrow x=5{,}5$.

Aufgabe 11: Weg zum Training

Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur $6$ km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit $4$ km/h. Paul steht schon vor der Sporthalle. Er startet zur gleichen Zeit wie Johannes mit seinem Fahrrad und fährt ihm entgegen. Paul fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von $16$ km/h. Beide nehmen den selben Weg. Wann und wo treffen sie sich?

Überlege, welche der oben genannten Werte die Steigung und welche den $y$-Achsenabschnitt der verschiedenen Funktionen darstellt. Male es dir graphisch in einem Koordinatensystem auf und überlege, welche Einheit auf der $x$- und welche auf der $y$-Achse steht. Stelle dann die entsprechenden Funktionsgleichungen auf.

Zeichne die Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem und untersuche, in welchem Punkt sich die Geraden schneiden. Damit du siehst, dass du richtig abgelesen hast, kannst du zur Kontolle den $x$-Wert in eine der Funktionsgleichungen setzen.

Die Geschwindigkeiten der beiden Jungen stellen die Steigungen dar. Setze sie in die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=mx+b$ ein. Da Paul Johannes entgegenfährt, bedenke, dass dies eine Auswirkung auf die Steigung hat und der $y$-Achsenabschnitt mit der Entfernung zusammenhängt.

$f_P\left(x\right)=-16 \cdot x + 6$ (Pauls Weg) und $f_J\left(x\right)=4 \cdot x$ (Johannes' Weg) sind die gesuchten Funktionsgleichungen.

Wenn du beide Funktionsgeichungen aufgestellt hast, setze diese gleich und berechne den $x$- Wert.

Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit $4$ km/h stellt die Steigung m der Gleichung dar. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Startpunkt bei $0$ km. Somit erhältst du für Johannes die Gleichung $f_J\left(x\right)=4 \cdot x$, wobei $x$ die Zeit in Stunden verkörpert. Paul fährt ihm mit $16$ km/h entgegen. Da er in entgegengesetzter Richtung zu Johannes fährt, ist die Steigung der Gleichung negativ. Du bekommst die Gleichung $f_P\left(x\right)=-16 \cdot x + b$. Da Paul an der Sporthalle startet, ist der Wert $b=6$ für den $y$-Achsenabschnitt. Somit erhält man die Gleichung $f_P\left(x\right)=-16 \cdot x + 6$. Jetzt hast du zwei Möglichkeiten:

• Du setzt die Funktionsgleichungen $f_P \left(x\right)$ und $f_J\left(x\right)$ gleich: $-16 \cdot x + 6 = 4 \cdot x$. Nach Umformungen erhältst du die Gleichung $20 \cdot x= 6$. Mit Auflösen nach $x$ ergibt sich die Gleichung $x=\frac {6}{20}=\frac {3}{10}=0{,}3$. Dieser $x$-Wert wird in eine der zwei Gleichungen eingesetzt. Setze $x=0,3$ in $f_J\left(x\right)=4 \cdot x$ ein und berechne das Produkt. Das ergibt $f_J(0{,}3)=1{,}2$.

• Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab.

Mit beiden Lösungwegen erhälst du die Werte $x=0{,}3$ und $f(0{,}3)=1{,}2$. Daraus lässt sich schließen, dass sich die beiden in einer Entfernung von $1{,}2$ km von Johannes' Startpunkt nach $0{,}3$ h = $18$ min treffen.

Aufgabe 12: Handytarife

Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C.

Tarif A: Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 ct./min.

Tarif B: Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 ct./min.

Tarif C: Flat–Rate 40 € / Monat.

Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag (30 Tage / Monat).

a) Stelle für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf.

Betrachte zunächst die Einheiten und versuche diese einheitlich umzuformen.

Wenn du diesen Wert hast, kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung aufstellen. Dabei lasse einen Wert variabel um die freien Stunden einzubauen. In dieser Zeit muss nur die Grundgebühr bezahlt werden
Welchen Punkt kennen wir deshalb bereits?

b) Zeichne die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine $x$- Achse und, welche Werte deine $y$-Achse angibst.
Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Dort werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt.

Bedenke bei den Graphen von $f$ und $h$ jedoch, dass diese in einem bestimmten Bereich konstant sind.

c) Berechne

1. den günstigsten Tarif für Maria und
   
2. in welchem Punkt Kostengleichheit für Tarif A und B herrscht? 

Erkläre, wo du dies in den Graphen ablesen kannst.

Lese zunächst aus der Aufgabe heraus, wie lange Maria am Tag surft und berechne dann den Wert für einen Monat. Nun überlege dir, an welcher Stelle du diesen Wert einsetzten kannst.

Kostengleichheit bedeutet, dass beide Tarife den gleichen Wert annehmen.

Du kannst die Funktionen gleichsetzten und nach $x$ auflösen.

Falls du die Graphen alle in ein Koordinatensystem gezeichnet hast, kannst du einiges an diesem ablesen. Um die eben berechneten Punkte zu finden, überlege genau, welche Punkte du eben eingesetzt hast oder was Kostengleichheit nochmal bedeutet.

Tarif A:

Zunächst multipliziert man die $1$ ct/min mit $60$ min, um diesen Wert in ct/h zu haben. $60$ min $\cdot 1$ ct/min $= 60$ ct/h

Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. $60$ ct/h$= 0,6$ €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung. $f_1(x)= 0{,}6x+ a$, wobei $a$ ein noch unbekannter Wert ist.

Wir wissen, dass die ersten $5$ Stunden frei sind, d.h. hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt $A (5|5)$ muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. Wir können also diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von $f_1$ einsetzten und nach $a$ auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.

$f_1(5)=0{,}6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2$.
Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also $f(x)= 0{,}6x+2$. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis $x= 5$ konstant $5$ ist.

Tarif B:

Zunächst multipliziert man die $0,8$ ct/min mit $60$ min, um diesen Wert in ct/h zu haben. $60$ min $\cdot 0,8$  ct/min$= 48$ ct/h

Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. $48$ct/h$= 0{,}48$ €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung. $g_1(x)= 0{,}48x+ b$, wobei $b$ ein noch unbekannter Wert ist.

Wir wissen, dass die ersten $10$ Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt $B (10|10)$ muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. Wir können diesen Punkt also nun in die Funktionsgleichung von $g_1$ einsetzten und nach $b$ auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.

$g_1(10)=0{,}48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4{,}8+b=10 \Longleftrightarrow b=5{,}2$.
Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also $g(x)= 0{,}48x+5,2$. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis $x= 10$ konstant $10$ ist.

Tarif C:

Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante.

$h(x)= 40$ ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.

Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft $2$ h/Tag. Da ein Monat $30$ Tage hat, kann man, kann man $30$ und $2$ multiplizieren und erhält $60$ h/Monat.

Nun setzten wir die $60$ h als $x$- Wert in die Funktionsgleichungen von $f(x)$, $g(x)$ und $h(x)$ ein und vergleichen das Ergebnis.

$f(60)= 0{,}6\cdot60+2 =36+2=38$

$g(60)= 0{,}48\cdot60+5{,}2=28{,}8+5{,}2=34$

$h(60)= 40$

Da Maria circa $60$ h im Monat surft wäre der Tarif B mit $34$ € am günstigsten für sie.

Hier ist nach dem Schnittpunkt von $f(x)$ und $g(x)$ gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach $x$ auf.

$f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0{,}6x+2=0{,}48x+5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x+2= 5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x= 3{,}2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26{,}6666666$

In dem Punkt $P\left(\frac{80}{3}|18\right)$ sind die Tarife A und B kostengleich.

Der Punkt $E(26{,}67|18)$ ist der Schnittpunkt der beiden Funktion $f(x)$ und $g(x)$. Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer.

Den günstigsten Tarif für Maria erkennt man, indem man die $60$ h auf der $x$-Achse betrachtet und vergleicht welcher Graph am niedrigsten verläuft. Dies ist der Graph von Tarif B.