Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Stochastik

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du deine Kenntnisse in der Stochastik verbessern und vertiefen. Es gibt drei Themengebiete, auf die du über das Inhaltsverzeichnis zugreifen kannst.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du Stift, Papier und deinen Taschenrechner. Bitte runde Dezimalzahlen auf zwei Nachkommastellen genau.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Absolute und relative Häufigkeit

Was ist die absolute Häufigkeit?

Die absolute Häufigkeit misst, wie oft ein bestimmtes Ereignis in einer Umfrage ausgewählt wird oder in einem Versuchsdurchgang auftritt. Daher wird die absolute Häufigkeit auch umgangssprachlich als Ergebnis einer Zählung bezeichnet. Die absolute Häufigkeit kann nur Werte aus den natürlichen Zahlen, einschließlich der 0, annehmen.

Die absolute Häufigkeit misst, wie oft ein bestimmtes Ereignis bei mehrmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments auftritt. Als Anzahl ist sie immer eine natürliche Zahl zwischen $0$ und der Gesamtzahl von Versuchen.

Beispiel zur absoluten Häufigkeit

Wenn ein Würfel $100$ mal geworfen wird und $22$ mal die Würfelzahl $6$ herauskommt, beträgt die absolute Häufigkeit dafür $22$.

Was ist die relative Häufigkeit?

Die relative Häufigkeit bezeichnet den Anteil der absoluten Häufigkeit (Anzahl) eines Ereignisses an der Gesamtzahl aller Ereignisse. Dieser Anteil wird entweder als Bruch dargestellt oder als Prozentwert angegeben.

Beispiel zur relativen Häufigkeit

Bei $100$ Würfen mit einem Würfel wird $22$ mal die Würfelzahl $6$ notiert. Die absolute Häufigkeit beträgt also $22$ für die Würfelzahl $6$. Um nun die relative Häufigkeit zu bestimmen, wird die absolute Häufigkeit durch die gesamte Anzahl an Würfelwürfen dividiert. In diesem Fall rechnet man: $\tfrac{22}{100} = 0{,}22$

Die relative Häufigkeit, dass eine 6 gewürfelt wurde, hat einen Anteil von $\tfrac{22}{100}$ von der gesamten Würfelrunde und dadurch einen Prozentanteil von $22{,}00$ % $= 0{,}22 \cdot 100{,}00$ %.

36/110|18/55()

Aufgabe 1: Münsteraner Marktplatz

Auf dem Münsteraner Marktplatz wird eine Umfrage zum Thema Lieblingshandymarke durchgeführt.

$36$ Personen beantworteten die Frage mit „Apple“, $18$ Personen mit „Samsung“, $23$ Personen mit „Huawei“, $15$ Personen mit „HTC“ und $8$ Personen mit „LG“. $10$ Personen gaben an, dass ihnen die Handymarke nicht wichtig ist.

a) Fülle die Tabelle vollständig aus. Beachte, dass du den Bruch in folgender Form a/b eintippen solltest und ihn nicht kürzen darfst.

	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit
Handymarke	Anzahl der Personen	Anteil	Prozent
Apple	36()	36/110()	32,73%()
Samsung	18()	18/110()	16,36%()
Huawei	23()	23/110()	20,91%()
HTC	15()	15/110()	13,64%()
LG	8()	8/110()	7,27%()
nicht wichtig	10()	10/110()	9,09%()
Gesamt	110()	110/110()	$100{,}00$%

Die richtigen Zahlen für die absolute Häufigkeit findest du im Aufgabentext.

Die richtigen Anteilswerte erhältst du, wenn du die Anzahl der Personen und die Gesamtzahl in einem Bruch aufschreibst.

Für die Berechnung der Prozentzahlen nutzt du deinen Taschenrechner und dividierst die berechneten Anteile durch die Gesamtzahl.

Runde die berechnete Prozentzahl auf zwei Nachkommastellen genau.

b) Die drei Bilder zeigen unterschiedliche Säulendiagramme.

Säulendiagramm 1:

Säulendiagramm 2:

Säulendiagramm 3:

Welches der drei Bilder zeigt das richtige Säulendiagramm für die absoluten Häufigkeitswerte zur Handyumfrage?

	Bild 1
	Bild 2
	Bild 3

Aufgabe 2: Lieblingssportart

Vervollständige die Tabelle:

Lieblingssportart	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit in Prozent
Fußball	$23$	38,33%()
Schwimmen	9()	$15{,}00$%
Reiten	10()	16,67%()
Basketball	12()	$20{,}00$%
Leichtathletik	6()	$10{,}00$%
Gesamt	$60$	100,00%()

Runde die berechnete Prozentzahl auf zwei Nachkommastellen genau.

Aufgabe 3: TV Sender

Betrachte die durchgeführte Umfrage nach den beliebtesten TV-Sendern.

Trage die Ergebnisse aus den einzelnen Teilaufgaben in das richtige Feld in der Tabelle ein. Für eine richtige Lösung der Anteile, solltest du den Bruch in folgender Form a/b eintippen und darfst ihn nicht kürzen.

a) In welchen Tabellenfeldern fehlen die Begriffe „Relative“ und „Absolute"?
b) Wie viele Personen wurden insgesamt befragt?
c) Gib die Anteile und Prozentwerte der relativen Häufigkeit für jeden TV-Sender an. Runde dabei auf zwei Nachkommastellen.

	Absolute() Häufigkeit	Relative() Häufigkeit
TV-Sender	Anzahl der Personen	Anteil	Prozent
ARD	$10$	10/130()	7,69%()
RTL	$35$	35/130()	26,92%()
ProSieben	$42$	42/130()	32,31%()
ZDF	$14$	14/130()	10,77%()
KabelEins	$27$	27/130()	20,77%()
Eurosport	$2$	2/130()	1,54%()
Gesamt	130()	130/130()	100,00%()

Die richtigen Anteilswerte erhältst du, wenn du die Anzahl der Personen und die Gesamtzahl in einem Bruch aufschreibst.

Für die Berechnung der Prozentzahlen nutzt du deinen Taschenrechner und dividierst die berechneten Anteile durch die Gesamtzahl.

Runde die berechnete Prozentzahl auf zwei Nachkommastellen genau.

Aufgabe 4: Hotelbewertung

Nach einem Hotelurlaub vergibt jede Person der $40$-köpfigen Reisegruppe zur Bewertung eine Note für das Hotel. Es können die Noten $1$ bis $6$ vergeben werden. Die Note „sehr gut“ vergeben $\tfrac{1}{8}$ der Reisegruppe. Die anderen Noten sind wie folgt verteilt:
„gut“ $\tfrac{18}{40}$
„befriedigend“ $\tfrac{1}{4}$
„ausreichend“ $\tfrac{3}{20}$
„mangelhaft“ $\tfrac{1}{40}$
Die Note „ungenügend“ vergibt keiner der Reisenden.
a)   In der Tabelle fehlen die Begriffe. Ordne sie richtig zu.

	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit
Note	Anzahl der Personen	Anteil	Prozent
$1$ = "sehr gut"
$2$ = "gut"
$3$ = "befriedigend"
$4$ = "ausreichend"
$5$ = "mangelhaft"
$6$ = "ungenügend"
Gesamt

b) Trage die in der Aufgabe genannten Anteile je Note in die Tabelle ein. Erweitere die Brüche dabei auf den Nenner $40$. Berechne anschließend die Anzahl der Personen je Note und die dazu passende Prozentzahl. Trage auch diese Werte in die Tabelle ein.

	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit
Note	Anzahl der Personen	Anteil	Prozent
$1$ = "sehr gut"	5()	5/40()	12,50%()
$2$ = "gut"	18()	18/40()	45,00%()
$3$ = "befriedigend"	10()	10/40()	25,00%()
$4$ = "ausreichend"	6()	6/40()	15,0%()
$5$ = "mangelhaft"	1()	1/40()	2,50%()
$6$ = "ungenügend"	0()	0/40()	0,00%()
Gesamt	40()	40/40()	100,00%()

Für die Berechnung der Prozentzahlen nutzt du deinen Taschenrechner und dividierst die berechneten Anteile durch die Gesamtzahl.

Runde die berechnete Prozentzahl auf zwei Nachkommastellen genau.

c) Zeichne ein Säulendiagramm, welches die absoluten Werte der Umfrage darstellt.

Aufgabe 5: Verkehrszählung

Julian und Max haben eine Verkehrszählung vor ihrer Haustür gemacht. Leider sind die Zettel mit den Strichlisten verloren gegangen. Max weiß aber noch, dass sie $8$ Busse gezählt haben.

PKW	LKW	Bus	Motorrad	Fahrrad
$45{,}00$ %	$15{,}00$ %	$10{,}00$ %	$5{,}00$ %	$25{,}00$ %
36()	12()	8()	4()	20()

Wie viele Fahrzeuge haben Max und Julian insgesamt gezählt? Berechne hierzu die fehlenden Fahrzeuganzahlen und trage sie in die richtigen Felder der Tabelle ein.

Max und Julian haben insgesamt 80() Fahrzeuge gezählt.

Aus dem Aufgabentext weißt du, dass $8$ Busse $10$ % aller Fahrzeuge sind. Für die anderen Fahrzeuganzahlen nutzt du den Dreisatz:

$10$ % $= 8F$

$1$ % $= 8F \div 10$ %

$x$ % $= 8F \div 10$ % $\cdot x$ %

Für die Gesamtzahl alles gezählten Fahrzeuge addierst du die einzelnen berechneten Fahrzeuganzahlen zusammen.

Max und Julian haben insgesamt $80$ Fahrzeuge gezählt.

Zufallsexperimente

Zufallsexperimente

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang. Zunächst schaust du, wie viele mögliche Ergebnisse es zu dem gefragten Ereignis gibt. Außerdem ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse wichtig.

Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich dann aus $\tfrac{\text{Anzahl der Ergebnisse zu gefragten Ereignis}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$.

Anders als bei der relativen Häufigkeit, können die Ergebnisse an sich mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit auftreten.

Beispiel zu den Zufallsexperimenten

Berechnet man die Wahrscheinlichkeit davon, dass beim Drehen dieses Glücksrad auf "rot" stehen bleibt, so betrachtet man den Anteil der roten Fläche an der gesamten Fläche des Glückrades.

Diese beträgt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 75 %} . Das heißt, die Wahrschienlichkeit, dass das Glücksrad auf rot stehen bleibt, liegt bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 75 %} oder $\tfrac{3}{4}$.

Baumdiagramme

Zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten hilft es meist, ein Baumdiagramm zu zeichnen. Hierbei wird für jedes Ereignis ein Pfad gezeichnet. Entlang der Pfade stehen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Aufgabe 6: Klassendienste

In einer Klasse sind 14 Jungen und 13 Mädchen. Es werden Beauftragte für verschiedene Klassendienste gelost.

a) Für den Blumendienst wird eine Person gelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Junge ist? Wenn du hier die Wahrscheinlichkeit in Prozent berechnest, gib die Prozentzahl mit zwei Nachkommastellen an.

Zeichne ein Baumdiagramm. Was sind die Ereignisse?

Zeichnet man ein Baumdiagramm, so gibt es zwei Ereignisse:

1. Ein Junge wird gelost.

2. Ein Mädchen wird gelost.

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus den relativen Häufigkeiten, also der tatsächlichen Anzahl an Jungen und Mädchen geteilt durch die Anzahl der Schülerinnen und Schüler in der Klasse. Das Baumdiagramm sieht dann so aus:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge den Dienst bekommt, liegt also bei $\tfrac{14}{27}$ bzw. bei ungefähr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 51{,}85 %} .

b) Auch der Tafeldienst wird gelost, jedoch hat die Lehrperson nun auch einen Zettel mit ihrem Namen hinzugefügt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Tafeldienst machen muss?

Wie viele Personen stehen nun zur Auswahl?

Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?

Wenn man ein Baumdiagramm zeichnet, so müssen drei Ereignisse dargestellt werden:

1. Ein Junge wird gelost.

2. Ein Mädchen wird gelost.

3. Die Lehrperson wird gelost.

Auch hier ergeben sich die Wahrscheinlichen aus den relativen Häufigkeiten. Hierbei muss allerdings darauf geachtet werden, dass nicht nur die Anzahl der Schülerinnen und Schüler als gesamte Menge betrachtet wird, sondern auch die Lehrperson hinzu addiert wird. Es stehen also insgesamt 28 Personen zur Auswahl. Das Baumdiagramm sieht so aus:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lehrperson selbst die Tafel putzen muss, liegt bei $\tfrac{1}{28}$ bzw. bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3{,}57 %} .

Komplementärregel

Hat ein Experiment genau zwei Ereignisse, so spricht man von Ereignis $E$ und Gegenereignis $\bar E$. Die Wahrscheinlichkeiten der beiden ergeben in der Summe $1$:

$P(E)+P(\bar E)=1$.

Aufgabe 7: Schulfest

Bei eurem Schulfest gibt es eine Tombola. Es geht darum, aus einem Glas eine Kugel zu ziehen. Bevor du ohne Hinschauen ziehen darfst, wird dir einmal der Inhalt des Glases gezeigt. Du zählst die Kugeln. Außerdem steht ein Schild neben der Urne (Abbildung 2). Du kannst auf die Bilder klicken, um sie in vergrößerter Form zu sehen.

Abbildung 1

Abbildung 2

Es sind $20$ blaue, $12$ rote, $9$ gelbe und $3$ grüne Kugeln.

Nun ziehst du ohne hinzuschauen eine Kugel.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du einen Stift gewinnst (gelbe Kugel)? Gib die Lösung in Prozent an. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?

Hier kann man das Baumdiagramm auf zwei Arten zeichnen.

Man kann ein Baumdiagramm mit vier Ereignissen zeichnen:

1. Die Kugel ist grün.

2. Die Kugel ist gelb.

3. Die Kugel ist rot.

4. Die Kugel ist blau.

Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich dann aus der relativen Häufigkeit der Kugeln. Das Baumdiagramm sieht dann so aus:

Optional kann man man ein Baumdiagramm mit zwei Ereignissen zeichnen:

1. Die Kugel ist gelb.

2. Die Kugel ist nicht gelb.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel gelb ist, ergibt sich dann aus der relativen Häufigkeit der gelben Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel nicht gelb ist erfolgt aus der Komplementärregel.

Das Baumdiagramm sieht dann so aus:

Rechne das nun in Prozent um: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrac{9}{44} \approx 0{,}2045 = 20{,}45 %.}

Die Wahrscheinlichkeit einen Stift zu gewinnen liegt bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 20{,}45 %} .

b) Oben auf dem Plakat steht: "Hier ist Gewinnen wahrscheinlicher, als Verlieren!". Stimmt das? Begründe.

Berechne zunächst die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.Gibt die Lösung wieder in Prozent an. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?

Stimmt die Aussage auf dem Plakat?

	ja
	nein

Auch hier kann das Baumdiagramm auf zwei Arten gezeichnet werden:

Man kann ein Baumdiagramm mit vier Ereignissen zeichnen:

1. Die Kugel ist grün.

2. Die Kugel ist gelb.

3. Die Kugel ist rot.

4. Die Kugel ist blau.

Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich dann aus der relativen Häufigkeit der Kugeln. Das Baumdiagramm sieht dann so aus:

Optional kann eines mit zwei Ereignissen gezeichnet werden:

Die Wahrscheinlichkeit für das Gewinnen ergibt sich aus der Komplementärregel. Die relative Häufigkeit der blauen Kugeln, mit denen man verliert, liegt bei $\tfrac{20}{44}=\tfrac{5}{11}$. Die Komplementärregel ergibt dann für das Gewinnen: $1-\tfrac{5}{11}=\tfrac{6}{11}$.

Das Baumdiagramm sieht dann so aus:

Nun rechnet man die Brüche in Prozent um:

Wahrscheinlichkeit zu verlieren: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrac{5}{11} \approx 0{,}4545 = 45{,}45 %} .

Wahrscheinlichkeit zu gewinnen: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100 %-45{,}45%=54{,}55%} .

Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen liegt bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 54{,}55 %} , die zu verlieren bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 45{,}45 %} . Die Aussage stimmt also.

Pfadmultiplikationsregel

Bei der Pfadmultiplikationsregel werden die Wahrscheinlichkeiten der aufeinanderfolgenden Ereignisse miteinander multipliziert.

Die Wahrscheinlichkeit von (Ereignis A $\mid$ Ereignis B)* ist dann: $P(\text{Ereignis A} | \text{Ereignis B})= \text{Wahrscheinlichkeit A} \cdot \text{Wahrscheinlichkeit B}$

• Diese Schreibweise heißt, dass das Ereignis B bereits bekannt ist. Man möchte nun schauen, wie wahrscheinlich es ist, dass davor bereits Ereignis A eingetreten ist. Man sagt dann: "Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A unter der Voraussetzung, dass Ereignis B eingetreten ist."

Aufgabe 8: Münsteraner Send

Auf dem Münsteraner Send gibt es ein Glücksrad. Es sieht wie folgt aus:

Es gibt ein rotes Feld, zwei orangene, vier gelbe, fünf grüne und sieben blaue Felder.

Man kann Folgendes gewinnen:

a) Du hast einmal gedreht und landest auf einem grünen Feld. Du darfst also noch einmal drehen. Beim zweiten Drehen landest du auf dem roten Feld. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Fälle direkt hintereinander eintreten?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit noch einmal drehen zu dürfen? Zeichne hierzu ein Baumdiagramm.

Nun kannst du das Baumdiagramm fortführen. Verwende die Pfadmultiplikationsregel.

Zunächst zeichnet man ein Baumdiagramm. Wichtig ist, dass es mehrere Ebenen hat:

Hier wurden die Brüche bereits gekürzt.

Mit der Pfadmultiplikationsregel gilt nun:

$P(\text{grün}|\text{rot})=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{20}=\tfrac{1}{80}$

Die Wahrscheinlichkeit erst auf einem grünen Feld und dann direkt auf dem roten Feld zu landen liegt bei $\tfrac{1}{80}$.

b) Ist der Fall aus a wahrscheinlicher als der, beim ersten Mal Drehen auf einem roten Feld zu landen?

Du brauchst hier nur noch berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, direkt beim ersten Mal auf dem roten Feld zu landen.

Ist es wahrscheinlicher direkt auf rot zu kommen, oder erst auf grün zu landen und dann auf rot?

	direkt
	erst grün dann rot

Ein vereinfachtes Baumdiagramm hat zwei Ereignisse:

1. Das Feld ist rot.

2. Das Feld ist nicht rot.

Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Mal zu gewinnen liegt bei $\tfrac{1}{20}$.

Es gilt $\tfrac{1}{20} > \tfrac{1}{80}$.

Es ist also wahrscheinlicher, direkt beim ersten Mal zu gewinnen.

Laplace-Experimente

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Experiment.

Bei $n$ Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment für jedes Ergebnis $\tfrac{1}{n}$.

Pfadadditionsregel

Die Wahrscheinlichkeit von mehreren Ergebnissen ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlichkeit von jedem einzelnen Ergebnis.

Aufgabe 9: Kartenspiel

Bei einem Skatkartenspiel gibt es $12$ Bildkarten. Es gibt $4$ Buben, $4$ Damen und $4$ Könige. Karo und Herz werden auch „rote Karten“ genannt und Pik und Kreuz auch „schwarze Karten“. Berechne nun die Wahrscheinlichkeit, mit der du die angegebene Karte aus den $32$ Spielkarten ziehst.

a) Dame

b) Kreuz-Karte

Es gibt insgesamt $8$ Kreuz-Karten.

c) Schwarze Karte

Es gibt insgesamt $16$ schwarze Karten.

a) Die Gesamtmenge der Karten beträgt $32$. Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Karte beträgt also $\tfrac{1}{32}$ (Laplace).

Für das Ereignis eine Dame zu ziehen gibt es insgesamt $4$ Karten. Also $4$ mögliche Ergebnisse, dessen Wahrscheinlichkeiten nach der Summenregel addiert werden können.

$P(\text{Dame wird gezogen}) = \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{32} = 4 \cdot \tfrac{1}{32} = \tfrac{4}{32} = \tfrac{1}{8}$

b) Es gibt insgesamt $8$ Kreuz-Karten.

Also gilt mit der Summenregel:

$P(\text{Kreuz-Karte wird gezogen})=\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}=8\cdot\tfrac{1}{32}=\tfrac{8}{32}=\tfrac{1}{4}$

c) Es gibt $8$ Pik und $8$ Kreuz-Karten, also insgesamt $16$ schwarze Karten.

Also gilt mit der Summenregel:

$P(\text{Schwarze Karte wird gezogen})=16\cdot\tfrac{1}{32}=\tfrac{16}{32}=\tfrac{1}{2}$

Aufgabe 10: Scrabble

Bei einem Spieleabend wird Scrabble gespielt. Sieh dir die beiden bereits gelegten Wörter an. Die dafür verwendeten Steine werden in einen leeren Sack gelegt. Gehe davon aus, dass die Spielsteine alle dieselbe Größe und Beschaffenheit haben.

Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit folgende Steine zu ziehen?

a) Es wird ein D gezogen.

Es gibt insgesamt $13$ Spielsteine.

b) Es wird ein N gezogen.

c) Es wird ein O gezogen.

d) Es wird ein Vokal gezogen.

Die Vokale im Deutschen werden durch die Buchstaben a, e, i, o, u und durch die Umlaute ä, ö und ü gebildet.

a) Insgesamt gibt es $13$ Spielsteine. Aufgrund der übereinstimmenden Größe und Beschaffenheit der Steine, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Spielstein gleich und beträgt $\tfrac{1}{13}$. Aus diesem Grund handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Laplace Experiment.

Da unter den Steinen nur einmal der Buchstabe D vorhanden ist gilt:

$P(\text{D wird gezogen})=\tfrac{1}{13}$.

b) Es gibt zwei Spielsteine mit dem Buchstaben N, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{13}$ gezogen werden.

Wegen der Summenregel für Laplace-Experimente können die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Ergebnisse bzw. Spielsteine für das Ereignis addiert werden.

Es gilt also: $P(\text{N wird gezogen})=\tfrac{1}{13}+\tfrac{1}{13}=\tfrac{2}{13}$

c) Es gibt insgesamt $3$ Spielsteine mit dem Buchstaben O, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{13}$ gezogen werden. Wegen der Summenregel für Laplace-Experimente können die Wahrscheinlichkeiten der drei möglichen Ergebnisse bzw. Spielsteine für das Ereignis addiert werden.

Es gilt also: $P(\text{O wird gezogen})=\tfrac{1}{13}+\tfrac{1}{13}+\tfrac{1}{13}= \tfrac{3}{13}$

d) Insgesamt gibt es einen Spielstein mit A und drei mit einem O. Die restlichen Vokale sind nicht vorhanden.

Somit folgt mit der Summenregel:

$P(\text{Vokal wird gezogen})=\tfrac{1}{13}+\tfrac{3}{13}=\tfrac{4}{13}$

Aufgabe 11: Würfeln

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass…

a) …ein Pasch (Zweimal die Gleiche Zahl, z.B. {1,1}) gewürfelt wird?

b) …die Differenz der Augenzahlen gleich drei ist?

Überlege dir, welche Zahlenkombinationen zu einer Differenz von $3$ führen. Denke insbesondere daran, dass die einzelnen Kombinationen jeweils in zwei unterschiedlichen Reihenfolgen gewürfelt werden können.

c) …die Summe der Augenzahlen eine Primzahl ist?

Primzahl: ganze Zahl, die größer als $1$ und nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.

Die Primzahlen, die mit zwei Würfeln erreicht werden können, sind die $2, 3, 5, 7, 11$. Überlege dir jetzt, mit welchen der möglichen Zahlenkombinationen von zwei Würfeln man mithilfe der Addition auf diese Primzahlen kommt.

Mit jeder Zahl kann ein Pasch geworfen werden. Es gibt demnach insgesamt sechs verschiedene Pasche. Da die jeweiligen Zahlen identisch sind, ist die Reihenfolge nicht zu betrachten.

Das Ereignis ist also: $E={{1,1};{2,2};{3,3};{4,4};{5,5};{6,6}}$

Es gibt somit insgesamt $6$ verschiedene Ergebnisse für das Ereignis. Die einzelnen Ergebnisse haben alle eine Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{36}$, da es mit zwei Würfeln insgesamt $36$ verschiedene Zahlenkombinationen gibt.

Also folgt mit der Summenregel:

$P(E)=\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}= 6 \cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{6}{36}=\tfrac{1}{6}$

Es gibt $3$ unterschiedliche Kombinationen von Zahlen, deren Differenz $3$ beträgt. Die 4 und 1, die 5 und 2 & die 6 und 3. Die einzelnen Kombinationen können jeweils in zwei unterschiedlichen Reihenfolgen geworfen werden.

Das Ereignis ist also: $E = { {1,4}; {4,1}; {2,5}; {5,2}; {3,6}; {6,3} }$

Es gibt somit insgesamt $6$ verschiedene Ergebnisse für das Ereignis. Die einzelnen Ergebnisse haben alle eine Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{36}$, da es mit zwei Würfeln insgesamt $36$ verschiedene Zahlenkombinationen gibt.

Also folgt mit der Summenregel:

$P(E)=\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}=6\cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{6}{36}= \tfrac{1}{6}$

Die Primzahlen, die mit zwei Würfeln erreicht werden können, sind die $2, 3, 5, 7, 11$. Es gibt $8$ unterschiedliche Kombinationen von Zahlen, deren Summe eine dieser Primzahlen ist. Die 1+1, die 1+2, die 1+4, die 1+6, die 2+3, die 2+5, die 3+4 und die 5+6. Die einzelnen Kombinationen können jeweils in zwei unterschiedlichen Reihenfolgen geworfen werden, außer das 1er-Pasch.

Das Ereignis ist also: $E = { {1,1}; {1,2}; {2,1}; {1,4}; {4,1}; {1,6}; {6,1}; {2,3}; {3,2}; {2,5}; {5,2}; {3,4}; {4,3}; {5,6}; {6,5} }$

Es gibt somit insgesamt $15$ verschiedene Ergebnisse für das Ereignis. Die einzelnen Ergebnisse haben alle eine Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{36}$, da es mit zwei Würfeln insgesamt $36$ verschiedene Zahlenkombinationen gibt.

Also folgt mit der Summenregel:

$P(E)=15\cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{15}{36}$

Aufgabe 12: Mensch ärgere dich nicht

Markus und Julia spielen „Mensch ärgere dich nicht“. Sieh dir die aktuelle Spielsituation an.

Die rote Spielfigur gehört Markus und die grüne Julia.

Julia sagt: „Deine Chance in dein Haus zu kommen ist beim nächsten Wurf viel größer als meine.“

a) Hat Julia recht mit ihrer Behauptung? Begründe deine Antwort.

Überlege dir, welche Zahlen Markus und Julia würfeln können, um in das Haus zu kommen.

b) Ändert sich etwas an der Behauptung, wenn beide einmal an der Reihe waren, aber nicht ins Haus gesetzt werden konnte?

Für Markus bedeutet dies, dass er immer noch an derselben Position steht. Welche Zahlen kann Julia würfeln, damit sie noch nicht im Haus landet?

Von Julia kann eine 1, 2, 3 oder 4 gewürfelt werden.

Betrachte die vier verschiedene Fälle einzeln. Mit welchen Zahlen könnte Julia dann im nächsten Zug in ihr Haus kommen?

Berechne nun die Wahrscheinlichkeit, dass Julia eine der Zahlen würfelt und vergleiche diese mit der Wahrscheinlichkeit von Markus ins Haus zu kommen.

a) Markus benötigt eine 1, 2 oder 3, um in das Haus zu kommen.

Da der Würfel sechs Zahlen aufweist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zahl $\tfrac{1}{6}$ und somit gilt mit der Summenregel, da Markus drei der sechs Zahlen würfeln kann:

$P(\text{Markus würfelt eine der drei Zahlen})=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}$

Julia kommt hingegen nur mit einer 5 oder 6 in ihr Haus.

Da Julia nur zwei der sechs Zahlen würfeln kann, gilt:

$P(\text{Julia würfelt eine der zwei Zahlen})=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass Markus mit dem nächsten Zug in sein Haus kommt größer als die von Julia. Aus diesem Grund hat Julia mit ihrer Behauptung recht.

b) Die Wahrscheinlichkeit von Markus in sein Haus zu kommen ist immer noch dieselbe wie zuvor, da er weiterhin direkt vor seinem Haus steht.

1. Fall: Julia hat eine 1 gewürfelt

Dann kann Julia mit den Zahlen 4, 5 und 6 beim darauffolgenden Zug ins Haus kommen.

$P(\text{Julia würfelt eine der drei Zahlen})=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=3 \cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug ins Haus zu kommen beträgt dann sowohl bei Markus als auch bei Julia $\tfrac{1}{2}$.

2. Fall: Julia hat eine 2 gewürfelt

Dann kann Julia mit den Zahlen 3, 4 und 5 beim darauffolgenden Zug ins Haus kommen:

$P(\text{Julia würfelt eine der drei Zahlen})=3 \cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug ins Haus zu kommen beträgt dann sowohl bei Markus als auch bei Julia $\tfrac{1}{2}$.

3. Fall: Julia hat eine 3 gewürfelt

Dann kann Julia mit den Zahlen 2, 3 und 4 beim darauffolgenden Zug ins Haus kommen:

$P(\text{Julia würfelt eine der drei Zahlen})=3 \cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug ins Haus zu kommen beträgt dann sowohl bei Markus als auch bei Julia $\tfrac{1}{2}$.

4. Fall: Julia hat eine 4 gewürfelt

Dann kann Julia mit den Zahlen 1, 2 und 3 beim darauffolgenden Zug ins Haus kommen:

$P(\text{Julia würfelt eine der drei Zahlen})=3 \cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug ins Haus zu kommen beträgt dann sowohl bei Markus als auch bei Julia $\tfrac{1}{2}$.

Wenn also beide einmal an der Reihe waren ohne ins Haus zu setzen, ist die Wahrscheinlichkeit dann für beide gleich beim nächsten Zug ins Haus zu kommen. Sie beträgt $\tfrac{1}{2}$.