Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema Einfache Gleichungen. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Aufgaben hoher Schwierigkeit.

Viel Erfolg!

Am Ende dieses Kapitels solltest du ...

• ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.
• ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.
• ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.
• ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.

Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel

Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in Merkkästen erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.

Variable

Variablen sind sogenannte Platzhalter in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen einsetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z.B. $x$, $b$, $a$, $h$....

Term

Ein Term ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen ($+$,$-$,...) und Klammern.

Beispiele sind:

$x+y$ oder

$d\cdot (3+5x)$ oder

$3+4-2$.

Gleichung

Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch ein „$=$“–Zeichen miteinander verbunden sind.

Lösungsmenge

Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird Lösungsmenge $\mathbb{L}$ genannt.

Beispiel:

Die Gleichung $5-x=3$ lässt sich leicht lösen: $x=2$. Dann erhalten wir die Löungsmenge $\mathbb{L}=\{2\}$.

Alles in der Waage

Aufgabe 1: Waagschalenvergleich

Bring die Waage für verschiedene $x$ ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?

Gleichungen lösen

Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen

Wenn du eine Gleichung lösen möchtest, musst du sie zunächst nach der Variable auflösen. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:

$(x+5)^{2}=x^{2}+35$.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zunächst die binomische Formel berechnen.

$\begin{align} && (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\ \Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35\\ \end{align}$

Jetzt können wir wie gewohnt nach $x$ auflösen.

$\begin{align} & & (x+5)^{2}&=x^{2}+35\\ \Leftrightarrow & & x^{2}+10x+25&=x^{2}+35 & &\mid -x^{2}\\ \Leftrightarrow & & 10x+25&=35 & &\mid -25\\ \Leftrightarrow & & 10x&=10 & &\mid :10\\ \Leftrightarrow & & x&=1 \end{align}$

Probe:

$\begin{align} & &(1+5)^{2}&=1^{2}+35\\ \Leftrightarrow & & 36&=36 \end{align}$.

Wir erhalten also die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{1\}$.

Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch.

Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.

a) $x^{2}-64=0$

$\begin{align} & & x^{2}-64 &=0 & &\mid +64\\ \Leftrightarrow & & x^{2} &=64 & &\mid \pm \sqrt{}\\ \Leftrightarrow & & x =-8 &\lor x=8\\ & & \mathbb{L}=\{-8,8\} \end{align}$

Probe:

$\begin{align} & & (-8)^{2}-64 &=0 \\ \Leftrightarrow & & 64-64 &=0\\ \Leftrightarrow & & 0 &=0 \end{align}$

$\begin{align} & & 8^{2}-64 &=0 \\ \Leftrightarrow & & 64-64 &=0\\ \Leftrightarrow & & 0 &=0 \end{align}$

b) $4(x+1)-4x-5=1$

$\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\ \Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\ \Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\ \Leftrightarrow & & -1 &=1 \end{align}$

Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: $\mathbb{L}=\{\}$.

c) $x\cdot (x-5)=0$

Ein Produkt ist dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:

$\begin{align} & & x\cdot (x-5)&=0\\ \Leftrightarrow & & x=0 &\or x-5=0\\ \Leftrightarrow & & x=0 &\or x=5\\ & & \mathbb{L}\{0,5\} \end{align}$

Probe:

$\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\ \Leftrightarrow & & 0&=0 \end{align}$

$\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\ \Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\ \Leftrightarrow & & 0&=0 \end{align}$

d) $3x+7=16$

$\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\ \Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\ \Leftrightarrow & & x &=3\\ & & \mathbb{L}=\{3\} \end{align}$

Probe:

$\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\ \Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\ \Leftrightarrow & & 16 &=16 \end{align}$

e) $(x+3)^{2}-x^{2}=25$

$\begin{align} & & (x+3)^{2}-x^{2}&=25 & & \\ \Leftrightarrow & & x^{2}+6x+9-x^{2}&=25 & &\\ \Leftrightarrow & & 6x+9 &=25 & &\mid -9\\ \Leftrightarrow & & 6x &=16 & &\mid :6\\ \Leftrightarrow & & x &=\frac{16}{6}\\ \Leftrightarrow & & x &=\frac{8}{3}\\ & & \mathbb{L}=\{\frac{8}{3}\} \end{align}$

Probe:

$\begin{align} & & \left(\frac{8}{3}+3\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\ \Leftrightarrow & & \left(\frac{17}{3}\right)^{2}-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}&=25\\ \Leftrightarrow & & \frac{289}{9}-\frac{64}{9} &=25\\ \Leftrightarrow & & \frac{289-64}{9} &=25\\ \Leftrightarrow & & \frac{225}{9} &=25\\ \Leftrightarrow & & 25 &=25\\ \end{align}$

Zahlenrätsel

Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl

Wenn man zur Zahl $12$ das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.

Überleg dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.

Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:

Das Doppelte einer Zahl: $2x$

Zur Zahl $12$ das Doppelte einer Zahl addieren: $2x+12$. Dies wird die linke Seite der Gleichung bilden.

Das Vierfache der gesuchten Zahl: $4x$. Dies ist die rechte Seite der Gleichung.

Wir erhalten also die Gleichung: $2x+12=4x$.

Um das gesuchte $x$ zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, indem wir sie nach $x$ umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

$\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}$. Die gesuchte Zahl ist $6$.

Probe: $\begin{align}& & 2\cdot6+12 & = 4\cdot6 & & \Leftrightarrow & & 24 & = 24 & & \end{align}$.$2\cdot6+12=4\cdot6$ \Leftrightarrow$12+12=24$

\Leftrightarrow$24=24$

Aufgabe 4: Alter der Mutter

Die Mutter von Leon ist $3$-mal so alt wie er. In $12$ Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?

Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in $12$ Jahren bezieht.

Sei M = Alter der Mutter und L = Alter von Leon. $\begin{align}M=3L\end{align}$ und $\begin{align} & & M+12&=2(L+12) & &\mid \end{align}$ setze $\begin{align}M=3L \end{align}$ ein$\begin{align}\\ \Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\ \Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\ \Leftrightarrow & & L=12 \end{align}$

Dann ergibt sich durch Einsetzen in die erste Gleichung:

$\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}$

Führe nun die Probe durch und setze in die zweite Gleichung ein:

$\begin{align} & & 36+12=48=2 \cdot 24=2(12+12) \end{align}$

Leon ist $12$ Jahre alt und seine Mutter ist $36$ Jahre alt.

Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang

Aufgabe 5: Volleyballfeld abstecken

Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Volleyballfeld abstecken. Dafür sollen sie ein $66$ m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen?

Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.

Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen.

Skizzierung des Volleyballfeldes

Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.

Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit $x$.

Skizzierung des Volleyballfeldes

Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term $7x$.

Wir erhalten die Gleichung: $7x+3=66$, da insgesamt $66$ Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden.

Diese Gleichung können wir lösen:

$\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\ \Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\ \Leftrightarrow & & x &=9 \end{align}$.

Probe:

$\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\ \Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\ \Leftrightarrow & & 66 &=66\\ \end{align}$

Eine Seite ist $9$ m lang.

Aufgabe 6: Getränkelager füllen

In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele $35$ cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt $2,20$ m.

a) Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.

b) Eine Getränkekiste ist $40$ cm lang und $40$ cm breit. Das Lager hat eine Grundfläche von $10$x$10$ m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?

Beachte die Umrechnung der Einheiten.

zu b) Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Lagerboden Platz finden.

a) Zuerst muss die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet werden: $35$cm $=0,35$m.

Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden: $0,35\cdot x=2,20$,

wobei $0,35$ die Höhe einer Getränkekiste in Metern und $2,20$ die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable x bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.

Jetzt muss x mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet werden.

$\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\ \Leftrightarrow & & x &=6,28 \end{align}$.

Das Ergebnis $6,28$ muss auf $6$ abgerundet werden, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also $6$ Getränkekisten übereinander gestapelt werden.

b) Zuerst legen wir den Boden des Raumes mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf: $\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\ \Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\ \Leftrightarrow & & 625 &=x \end{align}$.

In dieser Gleichung gibt der Teil $10\cdot 10$ die Grundfläche des Raumes in m² an. Der Teil $0,4\cdot 0,4$ berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable x bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten. Wir wissen nun also, dass $625$ Getränkekisten auf dem Boden des Lagers Platz finden.

Aus Aufgabenteil a) wissen wir bereits, dass $6$ Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: $625\cdot 6=3750$.

In dem Lagerraum finden also insgesamt $3750$ Getränkekisten Platz.