Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen

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In diesem Lernpfadkapitel hast du die Möglichkeit, dein Wissen über lineare Funktionen zu gebrauchen, zu erweitern und dein Verständnis zu vertiefen. Das Kapitel gibt dir eine Übersicht über die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, die darauf liegenden Punkte und über die Gleichungen und Graphen linearer Funktionen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Spaß und Erfolg!

Wiederholung: Was ist eine Funktion?

Aufgabe 1: Lückentext

Zur Einführung in das Thema der linearen Funktionen wiederholen wir zunächst, was eine Funktion überhaupt ist. Versuche dazu, den folgenden Lückentext auszufüllen, indem du die Wörter unter dem Text mit der Maus an die passende Stelle im Text ziehst. Anschließend kannst du deine Antworten überprüfen.

Eine Zuordnung $x \mapsto y$ heißt Funktion, wenn jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird.
Funktionen werden häufig mit $f$ bezeichnet.
Durch eine Funktion $f$ wird einer Variablen $x$ ein Funktionswert $f(x)$ zugeordnet.
Wenn es einen Term zur Berechnung der Funktionswerte gibt, dann nennt man ihn den Funktionsterm
und die zugehörige Gleichung heißt Funktionsgleichung.
Stellt man die Zahlenpaare $(x,y)$ als Punkte $P(x|y)$ in einem Koordinatensystem dar, so erhält man den Graphen der Funktion.

Übung: Überprüfe nun, ob die folgenden Zuordnungen eine Funktion beschreiben.

Überprüfe, ob bei der jeweiligen Zuordnung jedem $x$-Wert auch wirklich genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Bei den Fragen stellt jeweils das erste Wort der Zuordnung den $x$-Wert und das zweite Wort den $y$-Wert dar.

1.) Haus $\mapsto$ Adresse (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Da jedem Haus immer genau eine Adresse zugeteilt wird, beschreibt diese Zuordnung eine Funktion.

2.) Mutter $\mapsto$ Kind (!Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Diese Zuordnung beschreibt keine Funktion, da nicht jede Mutter genau ein Kind hat, sondern auch mehrere Kinder haben kann.

3.) Zahl $\mapsto$ Quersumme der Zahl (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist die Summe ihrer einzelnen Ziffern. Zum Beispiel ist die Quersumme von $251$ gleich $8$, da $2+5+1=8$.

Da jede natürliche Zahl also genau eine Quersumme hat, ist die Zuordnung eine Funktion.

Lineare Funktionen erkennen

Merke: Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind dir vielleicht auch unter der Bezeichnung Geradengleichung bekannt. Wie dieser Name schon sagt, handelt es sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine Gerade. Der Graph kann daher keine Kurven haben.

Im Allgemeinen haben lineare Funktionen die Funktionsgleichung $f(x)=mx+b$.

• Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
• Das Vorzeichen der Steigung $m$ gibt an, ob die Gerade fällt (negatives Vorzeichen) oder steigt (positives Vorzeichen).
• Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse, die sogenannte Nullstelle der Funktion, berechnest du, indem du $f(x)=0$ setzt. Denn an dem Punkt, wo der Graph die $x$-Achse schneidet, ist der $y$-Wert gleich $0$.

Im Folgenden kannst du über die beiden Schieberegler die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ verstellen und dir anschauen, wie sich der Graph der linearen Funktion verändert. Mit deiner Maus kannst du die Grafik verschieben oder rein- und herauszoomen.

Aufgabe 2: Erkennst du sie?

Entscheide, ob die folgenden Funktionsgleichungen und Graphen lineare Funktionen sind, und ordne sie dem passenden Feld zu.
Wenn du alle Funktionsgleichungen und Graphen zugeordnet hast, kannst du dein Ergebnis mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts überprüfen.

Funktionsgraph erkennen: Überlege dir, welche geometrische Form der Graph einer linearen Funktionen hat.

Funktionsgleichung erkennen: Überlege dir, welche Form die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat.

Überlege dir, ob ein $x$-Wert von einer Funktion mehrmals angenommen werden darf.

Graph einer linearen Funktion

Aufgabe 3: Zeichnen von Graphen

Zeichne die folgenden Graphen in dein Heft:

a) $f(x)= 2x- 1$

b) $f(x) = -3x+ 3$

c) $f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2,5$

Es gibt zwei mögliche Wege einen Graphen zu zeichnen. Entweder du betrachtest $m$ und $b$ von der Funktionsgleichung $f(x)= mx+b$ genauer. Dieses Verfahren wird dir bei der Möglichkeit 1 genauer erläutert. Oder du setzt Punkte in die Funktionsgleichung ein. Die Möglichkeit 2 zeigt dir hierzu ein Beispiel.

Betrachten wir als Beispiel die Funktionsgleichung $f(x)= -1,5x+4$.

Dabei gibt $b=4$ den Schnittpunkt mit der y- Achse im Koordinatensystem an. Wir wissen also, dass der Graph der Funktion durch den Punkt $P(0|4)$ verläuft.
Nun betrachten wir die Steigung welche durch $m= - 1,5$ gegeben ist. Du kannst dann vom Punkt $P(0,4)$ eine Einheit nach rechts und 1,5 nach unten gehen, weil die Steigung negativ ist.

( An dem Punkt könntest du, wenn dir 1,5 nicht so gut passt, auch ein Vielfaches nehmen. Du darfst dann aber nicht vergessen auch zunächst das Vielfache nach rechts zu gehen)

Betrachten wir erneut die Funktionsgleichung $f(x)= -1,5x+4$
Bei diesem Verfahren setzt du zwei verschiedene x-Werte in die Gleichung ein. Versuche einfache Werte zu wählen.
Du könntest zum Beispiel $x=0$ wählen. Dann wäre $f(0)=-1,5\cdot0+4= 0.$ Dies wäre der Punkt $A(0|4)$.
Als nächstes wählst du eine andere Zahl, z.B. $x=4$. Dann wäre $f(4)= -1,5\cdot4+4=-6+4= -2$. Dies wäre der Punkt $B(4|-6)$.

Nun zeichne beide Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde diese mit einer Geraden durch die Punkte.

Möglichkeit 1=
Die Funktionsgleichung $f(x)=2x-1$ schneidet die y- Achse im Punkt $P(0|-1)$,da $b=-1$ den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=2$. Wir können vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und 2 nach oben gehen, da die Steigung positiv ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2 =
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene x- Werte. Zunächst könnte man $x= 0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)=2\cdot0-1=-1$, also den Punkt $A=(0|-1)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x=\frac{1}{2}$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(\frac{1}{2})=2\cdot\frac{1}{2}-1= 1-1=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(\frac{1}{2}|0)$.

Nun muss man im letzten Schritt die beiden Punkte verbinden und erhält den Graphen der Funktion.

Möglichkeit 1=
Die Funktionsgleichung $f(x) = -3x+ 3$ schneidet die y- Achse im Punkt $P(0|3)$,da $b=3$ den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=-3$. Wir können vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und 3 nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2 =
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene x- Werte. Zunächst könnte man $x= 0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)=-3\cdot0+3=3$, also den Punkt $A=(0|3)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x=1$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(1)=-3\cdot1+3= -3+3=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(1|0)$.

Nun muss man im letzten Schritt die beiden Punkte verbinden und erhält den Graphen der Funktion.

Möglichkeit 1=
Die Funktionsgleichung $f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2,5$ schneidet die y- Achse im Punkt $P(0|2,5)$,da $b=2,5$ den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=-\frac{5}{6}$. Wir könnten vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und $\frac{5}{6}$ nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Da dies allerdings schwierig und ungenau abzulesen ist, bietet es sich hier an stattdessen ein Vielfaches der Steigung zu gehen. Multiplizieren wir die Steigung z.B. mit 3 erhalten wir $\frac{5}{6}\cdot3=\frac{15}{6} =\frac{5}{2}=2,5$. Dieser Wert ist deutlich einfacher einzuzeichnen in ein Koordinatensystem. Wir gehen nun also von dem Punkt $P$ 3 Einheiten nach rechts, weil wir die Steigung ja mit 3 multipliziert haben. Dann gehen wir 2,5 Einheiten nach unten, da die Steigung negativ ist. Nun sind wir bei dem Punkt $Q=(3|0)$ ausgekommen, welchen man gut in ein Koordinatensystem einzeichnen kann.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2 =
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene x- Werte. Zunächst könnte man $x= 0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)= -\frac{5}{6}\cdot0+ 2,5= 2,5$, also den Punkt $A=(0|2,5)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x=3$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(3)=-\frac{5}{6}\cdot3+ 2,5=-\frac{15}{6}+ 2,5= -\frac{5}{2}+2,5=-2,5+2,5=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(3|0)$.

Nun muss man im letzten Schritt die beiden Punkte verbinden und erhält den Graphen der Funktion.

Aufgabe 4: Funktionsgleichungen und Graphen verbinden

Graphen mit Funktionsgleichungen verbinden

Bestimmung von Funktionsgleichungen

Merke: Das Steigungsdreieck

Die Steigung einer linearen Funktion erhält man mithilfe des Steigungsdreiecks, von welchem zwei Punkte auf dem Graphen liegen. Das Steigungsdreieck kennzeichnet, dass die Steigung dem Verhältnis des Höhen- und Längenunterschiedes beider Punkte entspricht.
Die Steigung berechnest du folgendermaßen:

1. Du suchst zwei beliebige Punkte $P(x_1|f(x_1))$ und $Q(x_2|f(x_2))$, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
   
2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y- bzw. f(x)-Koordinaten der Punkte P und Q: Höhenunterschied: $f(x_2)-f(x_1)$
   
3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte P und Q: Längenunterschied: $x_2-x_1$
   
4. Für die Steigung der Geraden gilt dann: $m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
   

In dieser Grafik kannst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b verändern. Um Details besser zu sehen, kannst du die Darstellung nach links oder rechts verschieben oder rein- oder herauszoomen.

Aufgabe 5: Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen

Nutze die je in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form $f(x)= m\cdot x+b$.

Du kannst auf drei unterschiedlichen Wegen die Funktionsgleichungen bestimmen.

1. Berechne zuerst die Steigung $m$. Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor.
2. Berechne dann den y-Achsenabschnitt $b$. Setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

1. Du stellst zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten $m$ und $b$ auf. Dabei setzt du die x-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $x$ und die $y$ bzw. $f(x)$-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $f(x)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.
2. Beide Gleichungen ergeben zusammen ein lineares Gleichungssystem, welches du mit verschiedenen Verfahren, wie das Gleichsetzungsverfahren, lösen kannst, um die beiden Unbekannten $m$ und $b$ zu bestimmen.
3. Die beiden Unbekannten $m$ und $b$ setzt du schließlich in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

1. Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem.
2. Zeichne dann eine Gerade, die durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft.
3. Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung $m$.
4. Lies den y-Achsenabschnitt $b$ am Graphen ab.
5. Setze die Werte für m und b in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

a) Gegeben sind die Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$.

Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = 3x + 15.$

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y- bzw. f(x)-Koordinaten der Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$ wie folgt berechnen: $f(x_2)-f(x_1)=42-27=15$

• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$ verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: $x_2-x_1=9-4=5$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{15}{5}=3$

• Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m =3$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $f(x) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15$

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $f(x) = mx + b \Leftrightarrow 42= 3 \cdot 9+ b \Leftrightarrow 42 =27 + b \Leftrightarrow b= 15$

• Zum Schluss setzt du $m = 3$ und $b = 15$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(4|27)$ und $Q(9|42)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ergeben, sind $27= m \cdot 4 + b$ und $42= m \cdot 9 + b$.

• Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie $27-4 \cdot m = 42 - 9 \cdot m$.

• Dann löst du eine Gleichung nach $m$ auf und erhältst $m = 3$.

• Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für $m$ ein und erhältst $b= 15$.

• Zum Schluss setzt du $m = 3$ und $b = 15$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

b) Gegeben sind die Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$.

Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = 2x+5$.

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten der Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$ wie folgt berechnen: $f(x_2)-f(x_1)=7-(-1)=8$

• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$ verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: $x_2-x_1=1-(-3)=4$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{8}{4}=2$

• Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m = 2$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $f(x) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5$

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $f(x) = mx + b \Leftrightarrow 7= 2 \cdot 1+ b \Leftrightarrow 7=2 + b \Leftrightarrow b= 5$

• Zum Schluss setzt du $m = 2$ und $b = 5$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(-3|-1)$ und $Q(1|7)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ergeben, sind $-1= m \cdot -3 + b$ und $7= m \cdot 1 + b$.

• Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie $-1+3 \cdot m = 7-m$.

• Dann löst du eine Gleichung nach $m$ auf und erhältst $m = 2$.

• Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für $m$ ein und erhältst $b= 5$.

• Zum Schluss setzt du $m = 2$ und $b = 5$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

c) Gegeben sind die Punkte $P(-5|-12,5)$ und $Q(10|11,5)$.

Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = \frac{8}{5}x -4,5$.

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten der Punkte $P(-5|-12,5)$ und $Q(10|11,5)$ wie folgt berechnen: $f(x_2)-f(x_1)=11,5-(-12,5)=24$

• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(-5|-12,5)$ und $Q(10|11,5)$ verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: $x_2-x_1=10-(-5)=15$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$

• Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m = \frac{8}{5}$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $f(x) = mx + b \Leftrightarrow -12,5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12,5=8 + b \Leftrightarrow b= -4,5$

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $f(x) = mx + b \Leftrightarrow 11,5= \frac{8}{5} \cdot 10+ b \Leftrightarrow 11,5 =16 + b \Leftrightarrow b= -4,5$

• Zum Schluss setzt du $m = \frac{8}{5}$ und $b = -4,5$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(-5|-12,5)$ und $Q(10|11,5)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ergeben, sind $-12,5= m \cdot (-5) + b$ und $11,5= m \cdot 10 + b$.

• Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie $-12,5+ 5 \cdot m = 11,5 - 10 \cdot m$.

• Dann löst du eine Gleichung nach $m$ auf und erhältst $m = \frac{8}{5}$.

• Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für $m$ ein und erhältst $b=-4,5$.

• Zum Schluss setzt du $m = \frac{8}{5}$ und $b = -4,5$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

d) Gegeben ist dir die unten stehende Wertetabelle.

Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$.

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y bzw. f(x)-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle berechnen. Wir wählen zum Beispiel die Punkte $P(-3|\frac{9}{4})$ und $Q(1|1\frac{1}{4})$ und berechnen wie folgt: $f(x_2)-f(x_1)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1$

• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied  gewählt hast, verwenden. Wir benutzen also die Punkte $P(-3|\frac{9}{4})$ und $Q(1|1\frac{1}{4})$. Dann rechnen wir wie folgt: $x_2-x_1=1-(-3)=4$

• Für die Steigung $m$ der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=(1\frac{1}{4}-\frac{9}{4})/(1-(-3))=-\frac{1}{4}$

• Für die Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du die Steigung $m = -\frac{1}{4}$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

• Wenn du als Punkt $P$ gewählt hast, erhältst du $f(x) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

• Wenn du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhältst du $f(x) = mx + b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4}= -\frac{1}{4} \cdot 1+ b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4} =-\frac{1}{4} + b \Leftrightarrow b= 1\frac{2}{4}=\frac{3}{2}$

• Zum Schluss setzt du $m = -\frac{1}{14}$ und $b = \frac{3}{2}$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(-3|\frac{9}{4})$ und $Q(1|1\frac{1}{4})$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ergeben, sind $\frac{9}{4}= m \cdot (-3) + b$ und $1\frac{1}{4}= m \cdot 1 + b$.

• Forme dann beide Gleichungen nach b um und setze sie $\frac{9}{4}+3 \cdot m = 1\frac{1}{4} -m$.

• Dann löst du eine Gleichung nach $m$ auf und erhältst $m = -\frac{1}{4}$.

• Die Steigung setzt du anschließend in die andere Gleichung für $m$ ein und erhältst $b= \frac{2}{3}$.

• Zum Schluss setzt du $m = -\frac{1}{4}$ und $b = \frac{2}{3}$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + b$ ein.

Graphischer Lösungsweg

Aufgabe 6: Funktionsgleichung mit Hilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen

In den folgenden Teilaufgaben ist dir jeweils die Steigung der Geraden und ein Punkt, der auf der Geraden liegt, gegeben. Bestimme die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form $f(x) = m\cdot x + b$ in deinem Heft.

Setze die gegebene Steigung und den Punkt in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + b$ ein.

a) Die Steigung ist $m = 5$ und der Punkt $P(-1|-7)$.

1. Setze als erstes für die Steigung $m = 5$ ein, sodass die Gleichung $f(x) = 5x + b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(-1|-7)$. Dann erhälst du mit $x = -1$ und $f(x) = -7$ die Gleichung $-7 = 5\cdot(-1) + b$ erhältst.
3. Bestimme mit Auflösung nach $b$ den Wert $b = -2$. Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung $f(x) = 5x - 2$ ergibt.

b) Die Steigung ist $m = 4,5$ und der Punkt $P(4|18,5)$.

1. Setze als erstes für die Steigung $m = 4,5$ ein, sodass die Gleichung $f(x) = 4,5\cdot x + b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(4|18,5)$. Dann erhälst du mit $x = 4$ und $f(x) = 18,5$ die Gleichung $18,5 = 4,5\cdot4 + b$ erhältst.
3. Bestimme mit Auflösung nach $b$ den Wert $b = 0,5$. Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung $f(x) = 4,5\cdot x + 0,5$ ergibt.

c) Die Steigung ist $m = \frac{2}{3}$ und der Punkt $P(-3|-\frac{4}{5})$

1. Setze als erstes für die Steigung $m = \frac {2}{3}$ ein, sodass die Gleichung $f(x) = \frac{2}{3}\cdot x + b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(-3|-\frac{4}{5})$. Dann erhälst du mit $x = -3$ und $f(x) =-\frac{4}{5}$ die Gleichung $-\frac{4}{5}= \frac{2}{3}\cdot(-3) + b$ erhältst.
3. Bestimme mit Auflösung nach $b$ den Wert $b =\frac{6}{5}$. Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung $f(x) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}$ ergibt.

Liegen die Punkte auf dem Graphen?

Aufgabe 7

Prüfe rechnerisch oder durch zeichnen der Graphen der Funktionsgleichungen, ob die Punkte auf den Graphen der Funktionsgleichungen liegen.

Schnittpunkte von linearen Funktionen

Linearen Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse, den $y$-Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die $x$-Achse. Diesen Punkt nennt man auch die Nullstelle der Funktion, da der zugehörige $y$-Wert an dieser Stelle immer gleich $0$ ist. Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden.

Du kannst den Schnittpunkt von linearen Funktionen auf zwei Arten bestimmen.

1. Rechnerisch
2. Graphisch

Das graphische Bestimmen des Schnittpunktes kann ungenau sein, da du den Schnittpunkt manchmal nicht exakt ablesen kannst. Durch eine Rechnung erhälst du immer den genauen Schnittpunkt.

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)

Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt der Funktion mit der $x$-Achse. Die Berechnung ist daher oftmals leichter als die Berechnung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen, da der $y$-Wert bereits bekannt ist, dieser ist immer $0$.
Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie du die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmst, dann schau dir die Tipps an. Ansonsten kannst du direkt mit der Aufgabe starten.

Aufgabe 8: Nullstellen bestimmen

Bestimme graphisch und rechnerisch im Heft die Nullstellen der folgenden Funktionen.

Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen

Merke

Zwei lineare Funktionen schneiden sich maximal in einem Punkt, d.h. sie können sich auch in keinem Punkt schneiden. Voraussetzung für das Vorhandensein eines Schnittpunktes ist, dass die beiden Funktionsgleichungen eine unterschiedliche Steigung besitzen

Aufgabe 9: Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen

Bestimme den Schnittpunkt von $f(x)=4x$ und $h(x)=2x+2$. Überlege dir, ob du den Schnittpunkt graphisch oder rechnerisch lösen möchtest.

Schritt 1: Zeichne die Funktionen in ein Koordinatensystem ein.

2. Schritt: Markiere den Schnittpunkt durch ein Kreuz und lies die Koordinaten ab. Beschrifte den Schnittpunkt.

Gehe folgendermaßen vor:
Schritt 1: Setze beide Funktionsgleichungen gleich.
$f(x)=h(x)$
$4x=2x+2$

Schritt 2: Löse die Gleichung nach x auf.
$4x=2x+2 \mid-2x$
$2x=2 \mid:2$
$x=1$

Schritt 3: Bestimme $y$. Setze dazu $x$ in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
$y=f(1)=4\cdot1=4$

Schritt 4: Probe. Setze $x$ auch in die andere Funktionsgleichung ein.
$y=h(1)=2\cdot1+2=2+2=4$

Schritt 5: Gib den Schnittpunkt an.

$f(x)$ und $h(x)$ schneiden sich im Punkt $S(1\mid4)$.

Hier findest du die Lösungswege zu den Fragen aus dem Quiz.

Anwendungsaufgaben / Modellierungsaufgaben

Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.

Aufgabe 10: Abbrennen einer Kerze

Eine Kerze ist 1,5 Stunden nach dem Anzünden 12 cm und 3,5 Stunden nach dem Anzünden noch 6 cm hoch.

a) Zeichne den Graphen der Zuordnung Zeit $\mapsto$ Länge der Kerze.
b) Lies an deiner Zeichnung folgende Werte ab:

• Wie lang war die Kerze zu Beginn?
• Nach welcher Brennzeit ist sie nur noch 1,5 cm hoch?
• Wann ist sie abgebrannt?

c) Bestimme die Änderungsrate und gib die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=mx+b$ an.
Ermittle nun die gesuchten Werte aus b) mithilfe der Gleichung.

Überlege dir, welche Punkte du aus der Aufgabenstellung erhälst. Zeichne sie in ein Koordinatensystem. Dabei befindet sich auf der $x$-Achse die Zeit und auf der $y$-Achse die Höhe der Kerze.

Die Änderungsrate ist die Steigung $m$ der linearen Funktion. Erinnere dich, wie du mithilfe zweier Punkte die Steigung bestimmen kannst.
Den $y$-Achsenabschnitt hast du schon in Teilaufgabe b) herausgefunden. Setze beide Werte in die Funktionsgleichung ein.

Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Aus der Aufgabenstellung erhälst du die beiden Punkte $P(1,5|12)$ und $Q(3,5|6)$. Zeichne diese in dein Koordinatensystem ein und verbinde sie durch eine Gerade, die über die beiden Punkte hinaus geht.

• 'Zu Beginn' bedeutet, dass $x=0$ ist. Also musst du den $y$-Achsenabschnitt ablesen. Dieser ist $b=16,5$. Zu Beginn war die Kerze also 16,5cm hoch.
  
  
• Die Brennzeit, bei der die Kerze noch 1,5cm hoch ist, beträgt 5 Stunden. Dies erhältst du, indem du den $x$-Wert zum Wert $y=1,5$ abließt. Dieser ist $x=5$.
  
  
• 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich $0$ ist, also $y=0$. Du sollst also die Nullstelle ablesen. Diese ist $x=5,5$. Also ist die Kerze nach 5,5 Stunden abgebrannt.

Die Änderungsrate ist die Steigung $m$ der Geraden. Diese berechnest du mit den oben ermittelten Punkten $P(1,5|12)$ und $Q(3,5|6)$ wie folgt: $m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{6-12}{3,5-1,5}=-\frac{6}{2}=-3$.

Den $y$-Achsenabschnitt hast du schon bei Teilaufgabe b) ermittelt. Dieser war $b=16,5$.

Setze $m$ und $b$ nun in die allgemeine Form $f(x)=mx+b$ ein. Du erhältst dann: $f(x)=-3x+16,5$.

• 'Zu Beginn' bedeutet, dass $x=0$ ist. Also $f(0)=-3\cdot0+16,5=16,5$.
• Du weißt, dass die Höhe noch 1,5cm beträgt. Setze also $f(x)=1,5$. Dann gilt:
  $1,5=-3x+16,5$
  $\Leftrightarrow -15=-3x$
  $\Leftrightarrow x=5$.
• 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich $0$ ist. Setze also $f(x)=0$. Dann gilt:
  $0=-3x+16,5$
  $\Leftrightarrow -16,5=-3x$
  $\Leftrightarrow x=5,5$.

Aufgabe 11: Weg zum Training

Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur 6km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit 4 km/h. Pauk steht schon vor der Sporthalle. Er startet zur gleichen Zeit wie Johannes mit seinem Fahrrad und fährt ihm entgegen. Paul fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 16 km/h. Beide nehmen den selben Weg. Wann und wo treffen sie sich?

Überlege, welche der oben genannten Werte die Steigung und welche den y-Achsenabschnitt der verschiedenen Funktionen darstellt. Male es dir graphisch in einem Koordinatensystem auf und überlege, welche Einheit auf der x- und welche auf der y-Achse steht. Stelle dann die entsprechenden Funktionsgleichungen auf.

Die Geschwindigkeiten der beiden Jungen stellen die Steigungen dar. Setze sie in die Funktionsgleichung $f(x)=mx+b$ ein. Da Paul Johannes entgegenfährt, bedenke, dass dies eine Auswirkung auf die Steigung hat und der y-Achsenabschnitt mit der Entfernung zusammenhängt.

$f_P(x)=-16 \cdot x + 6$ (Pauls Weg) und $f_J(x)=4 \cdot x$ (Johannes' Weg) sind die gesuchten Funktionsgleichungen.

Wenn du beide Funktionsgeichungen aufgestellt hast, setze diese gleich und berechne den x- Wert.

Zeichne die Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem und untersuche, in welchem Punkt sich die Geraden schneiden. Damit du siehst, dass du richtig abgelesen hast, kannst du zur Kontolle den x-Wert in eine der Funktionsgleichungen setzen.

Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit 4km/h stellt die Steigung m der Gleichung dar. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Startpunkt bei 0km. Somit erhält man für Johannes die Gleichung $f_J(x)=4 \cdot x$, wobei x die Zeit in Stunden verkörpert. Paul fährt ihm mit 16 km/h entgegen. Da er in entgegengesetzter Richtung zu Johannes fährt, ist die Steigung der Gleichung negativ. Du bekommst die Gleichung $f_P(x)=-16 \cdot x + b$. Da Paul an der Sporthalle startet, ist der Wert b=6 für den y-Achsenabschnitt. Somit erhält man die Gleichung $f_P(x)=-16 \cdot x + 6$. Jetzt hast du zwei Möglichkeiten:

• Du setzt die Funktionsgleichungen $f_P(x) und f_J(x)$ gleich: $-16 \cdot x + 6 = 4 \cdot x$. Nach Umformungen erhälst du die Gleichung $20 \cdot x= 6$. Mit Auflösen nach x ergibt sich die Gleichung $x=\frac {6}{20}=\frac {3}{10}=0,3$. Dieser x-Wert wird in eine der zwei Gleichungen eingesetzt. Setze x=0,3 in $f_J(x)=4 \cdot x$ ein und berechne das Produkt. Das ergibt $f_J(0,3)=1,2$.

• Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab.

Mit beiden Lösungwegen erhälst du die Werte $x=0,3$ und $f(0,3)=1,2$. Daraus lässt sich schließen, dass sich die beiden in einer Entfernung von 1,2 km von Johannes' Startpunkt nach 0,3h = 18min treffen.

Aufgabe 12: Handytarife

Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C.

Tarif A: Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 Ct./min.
Tarif B: Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 Ct./min.
Tarif C: Flat–Rate 40 € / Monat.

Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag (30 Tage / Monat).

a) Stelle für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf.

b) Zeichne die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

c) Erkläre, was du am Graphen ablesen kannst.

d) Berechne den günstigsten Tarif für Maria.

e) In welchem Punkt herrscht Kostengleichheit für Tarif A und B?

f) Ab welcher Surfzeit ist Tarif C der günstigste?

Versuche zunächst die Einheiten zu normen, also entscheide dich entweder für min. oder h., bzw. ct. oder € .
Es ist üblich eher in € / h zu rechnen. Den ct/ min Wert könntest du dann mit 60 min multiplizieren um auf ct/h zu kommen.
Wie könnte dieser Wert dann in € / h umgewandelt werden?
Nun kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung mit f(x)= dem Wert € /h x+ a (einen noch unbekannten Wert) aufstellen.
Dann überlege dir, was die Freistunden bedeuten?!

Wenn du 5 Stunden frei hast heißt dies, dass du in den 5 Stunden nur die Grundgebühr bezahlen musst.
Welchen Punkt erhalten wir dadurch?
Versuche dies in die Funktionsgleichung mit einzubauen indem du den Punkt einsetzt und die Gleichung auflöst.

Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine x- Achse und, welche Werte deine y-Achse angibst.
Probiere einen geeigneten Maßstab zu wählen indem du vorher einige Werte (auch höhere) in die Funktionsgleichung eingibst.
Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Da werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt.

Bedenke bei den Graphen von f und h jedoch, dass diese in einem bestimmten Bereich konstant sind.

Falls du die Graphen alle in ein Koordinatensystem gezeichnet hast, kannst du einiges an diesen ablesen.

Zum Beispiel welcher Tarif wann am billigsten ist oder wann die Tarife gleich sind. Schaue dir dazu die Schnittpunkte genauer an und probiere diese zu interpretieren.

Um den günstigen Tarif für Maria zu berechnen, müssen wir zunächst aus der Aufgabe herauslesen wie lange Maria im Monat surft.
Sie surft 2h am Tag. Diesen Wert muss man jetzt noch auf den Monat umrechnen. Wie viele Stunden surft Maria in 30 Tagen(einem Monat)?

Nun kannst du den Stunden Wert in die verschiedenen Funktionsgleichungen für x einsetzten, da die x- Achse die Stundenzahl angibt. Wenn du alle Werte der verschiedenen Funtionsgleichungen hast vergleiche diese.

Diesen Punkt kannst du sowohl im Koordinatensystem ablesen (allerdings ist dies sehr ungenau), als auch rechnerisch bestimmen. Ein Schnittpunkt zweier Graphen ist ein Punkt, wo beide den gleichen Wert annehmen. Deshalb kannst du die Funktionen gleichsetzten und nach x auflösen.

Dazu kannst du entweder in das Koordinatensystem schauen, um abzulesen wann die Graphen der anderen Funktionen größer sind als die von Tarif C. Oder du findest dies rechnerisch heraus indem du die Schnittpunkte der Funktionen von f(x) und g(x) mit h(x) bestimmst.

Tarif A=
Zunächst multipliziert man die 1ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. $60 min\cdot 1ct/min= 60 ct/h$
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. $60 ct/min= 0,6 euro/h$. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.$f_1(x)= 0,6x+ a$, wobei a ein noch unbekannter Wert ist.
Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt $A (5|5)$ muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von $f_1$ einsetzten und nach a auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.
$f_1(5)=0,6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2$.
Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also $f(x)= 0,6x+2$. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis $x= 5$ konstant 5 ist.

Tarif B=
Zunächst multipliziert man die 0,8ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. $60 min\cdot 0,8ct/min= 48 ct/h$
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. $48 ct/min= 0,48 euro/h$. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.$g_1(x)= 0,48x+ b$, wobei a ein noch unbekannter Wert ist.
Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt $B (10|10)$ muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von $g_1$ einsetzten und nach b auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten.
$g_1(10)=0,48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4,8+b=10 \Longleftrightarrow b=5,2$.
Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also $g(x)= 0,48x+5,2$. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis $x= 10$ konstant 10 ist.

Tarif C=
Da dies eine Flatrate ist, wird ein Wert für jeden Monat festgesetzt und dieser Wert verändert sich auch nicht wenn mehr oder weniger Stunden gesurft wird. Deshalb ist die Funktion eine Konstante.

$h(x)= 40$ ist die Funktionsgleichung zum Tarif C.

In dieser Grafik entspricht $f_A= f(x)$, $f_b= g(x)$ und $f_c= h(x)$

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Der Schnittpunkt $A=(0|5)$ sagt aus, dass der Tarif A selbst wenn man gar keine Zeit im Internet surft man dennoch 5 € bezahlen muss.
Der Punkt $B=(5|5)$ ist uns bereits aus dem Teil a bekannt. Bis zu diesem Punkt läuft der Graph konstant, da die ersten 5 Stunden frei sind, danach verläuft die Funktion linear.
Der Punkt $C=(0|10)$ ist beim Tarif B der Schnittpunkt mit der y-Achse. Auch hier gilt also, dass selbst wenn Maria gar nicht im Internet surft sie dennoch 10 € bezahlen muss.
Den Punkt $D=(10|10)$ kennen wir schon aus dem Teil a dieser Aufgabe. Bis zu diesem Punkt läuft die Funktion des Tarifs B konstant, da die ersten 10 Stunden frei sind.
Der Punkt $E=(26,67|18)$ ist der Schnittpunkt der beiden Funktion f(x) und g(x). Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer.
Der Punkt$F=(63,33|40)$ ist der Schnittpunkt der Funktionen f(x) und h(x). An diesem Punkt sind die beiden Tarife A und C also gleich teuer für Maria.

Der Punkt $G=(2,5|40)$ ist der Schnittpunkt der Funktionen g(x) und h(x). Die beiden Tarife sind in diesem Punkt gleich teuer.

Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft 2h/Tag. Da ein Monat 30 Tage hat, kann man, kann man 30 und 2 multiplizieren und erhält 60 h/Monat.
Nun setzten wir die 60 h als x- Wert in die Funktionsgleichungen von f(x),g(x) und h(x) ein und vergleichen das Ergebnis.
$f(60)= 0,6\cdot60+2 =36+2=38$
$g(60)= 0,48\cdot60+5,2=28,8+5,2=34$
$h(60)= 40$

Da Maria circa 60h im Monat surft wäre der Tarif B mit 34€ am günstigsten für sie.

Hier ist nach dem Schnittpunkt von f(x) und g(x) gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach x auf. $f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0,6x+2=0,48x+5,2 \Longleftrightarrow 0,12x+2= 5,2 \Longleftrightarrow 0,12x= 3,2 \Longleftrightarrow x= 26,66666666 (\frac{80}{3})$

In den Punkt x= 26,66666666 sind die Tarife A und B kostengleich.

Um dies herauszufinden brauchen wir die Schnittpunkte der Funktionsgleichungen f(x),g(x) mit h(x), da f und g danach größer als h sind und somit h (also der Tarif C) dann der günstigste wäre. $f(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0,6x+2=40 \Longleftrightarrow 0,6x=38 \Longleftrightarrow x= 63,33333333 (\frac{190}{3})$
$g(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0,48x+5,2=40 \Longleftrightarrow 0,48x= 34,8 \Longleftrightarrow x= 72,5 (\frac{145}{2})$

Man kann also sehen, dass der Tarif A bereits bei circa 64 h teurer wird als Tarif C. Der Tarif B ist bei 72,5h gleich teuer wie Tarif C. Also ab circa 73 h Internet Nutzung ist der Tarif C der günstigste.