Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen

Info

In diesem Lernpfadkapitel hast du die Möglichkeit, dein Wissen über lineare Funktionen zu gebrauchen, zu erweitern und dein Verständnis zu vertiefen. Das Kapitel gibt dir eine Übersicht über die Zusammenhänge zwischen linearen Funktionen, die darauf liegenden Punkte und über die Gleichungen und Graphen linearer Funktionen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Wiederholung: Was ist eine Funktion?

Aufgabe: Lückentext

Zur Einführung in das Thema der linearen Funktionen wiederholen wir zunächst, was eine Funktion überhaupt ist. Versuche dazu, den folgenden Lückentext auszufüllen, indem du die Wörter unter dem Text mit der Maus an die passende Stelle im Text ziehst. Anschließend kannst du deine Antworten überprüfen.

Eine Zuordnung $x \mapsto y$ heißt Funktion, wenn jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird.
Funktionen werden häufig mit $f$ bezeichnet.
Durch eine Funktion $f$ wird einer Variablen $x$ ein Funktionswert $f(x)$ zugeordnet.
Wenn es einen Term zur Berechnung der Funktionswerte gibt, dann nennt man ihn den Funktionsterm
und die zugehörige Gleichung heißt Funktionsgleichung.
Stellt man die Zahlenpaare $(x,y)$ als Punkte $P(x|y)$ in einem Koordinatensystem dar, so erhält man den Graphen der Funktion.

Übung: Überprüfe nun, ob die folgenden Zuordnungen eine Funktion beschreiben.

Überprüfe, ob bei der jeweiligen Zuordnung jedem $x$-Wert auch wirklich genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Bei den Fragen stellt jeweils das erste Wort der Zuordnung den $x$-Wert und das zweite Wort den $y$-Wert dar.

1.) Haus $\mapsto$ Adresse (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Da jedem Haus immer genau eine Adresse zugeteilt wird, beschreibt diese Zuordnung eine Funktion.

2.) Mutter $\mapsto$ Kind (!Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Diese Zuordnung beschreibt keine Funktion, da nicht jede Mutter genau ein Kind hat, sondern auch mehrere Kinder haben kann.

3.) Zahl $\mapsto$ Quersumme der Zahl (Ja, die Zuordnung beschreibt eine Funktion.) (!Nein, die Zuordnung beschreibt keine Funktion.)

Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist die Summe ihrer einzelnen Ziffern. Zum Beispiel ist die Quersumme von $251$ gleich $8$, da $2+5+1=8$.

Da jede natürliche Zahl also genau eine Quersumme hat, ist die Zuordnung eine Funktion.

Lineare Funktionen erkennen

Erklärungstext

Merke

Wichtigste Infos zu linearen Funktionen. (Merkkästchen)

Aufgabe 1

Graphen zuordnen, ob lineare Funktion, keine Funktion (oder andere Funktion)

Graph einer linearen Funktion

Aufgabe 2= Zeichnen von Graphen

Zeichne die folgenden Graphen in dein Heft:

a.) $f(x)= 2x- 1$

b.) $f(x) = -3x+ 3$

c.)$f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2,5$

Es gibt zwei mögliche Wege einen Graphen zu zeichnen. Entweder du betrachtest $m$ und $b$ von der Funktionsgleichung $f(x)= mx+b$ genauer. Dieses Verfahren wird dir bei der Möglichkeit 1 genauer erläutert. Oder du setzt Punkte in die Funktionsgleichung ein. Die Möglichkeit 2 zeigt dir hierzu ein Beispiel.

Betrachten wir als Beispiel die Funktionsgleichung $f(x)= -1,5x+4$.

Dabei gibt $b=4$ den Schnittpunkt mit der y- Achse im Koordinatensystem an. Wir wissen also, dass der Graph der Funktion durch den Punkt $P(0|4)$ verläuft.
Nun betrachten wir die Steigung welche durch $m= - 1,5$ gegeben ist. Du kannst dann vom Punkt $P(0,4)$ eine Einheit nach rechts und 1,5 nach unten gehen, weil die Steigung negativ ist.

( An dem Punkt könntest du, wenn dir 1,5 nicht so gut passt, auch ein Vielfaches nehmen. Du darfst dann aber nicht vergessen auch zunächst das Vielfache nach rechts zu gehen)

Betrachten wir erneut die Funktionsgleichung $f(x)= -1,5x+4$
Bei diesem Verfahren setzt du zwei verschiedene x-Werte in die Gleichung ein. Versuche einfache Werte zu wählen.
Du könntest zum Beispiel $x=0$ wählen. Dann wäre $f(0)=-1,5\cdot0+4= 0.$ Dies wäre der Punkt $A(0|4)$.
Als nächstes wählst du eine andere Zahl, z.B. $x=4$. Dann wäre $f(4)= -1,5\cdot4+4=-6+4= -2$. Dies wäre der Punkt $B(4|-6)$.

Nun zeichne beide Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde diese mit einer Geraden durch die Punkte.

Möglichkeit 1=
Die Funktionsgleichung $f(x)=2x-1$ schneidet die y- Achse im Punkt $P(0|-1)$,da $b=-1$ den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=2$. Wir können vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und 2 nach oben gehen, da die Steigung positiv ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2 =
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene x- Werte. Zunächst könnte man $x= 0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)=2\cdot0-1=-1$, also den Punkt $A=(0|-1)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x=\frac{1}{2}$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(\frac{1}{2})=2\cdot\frac{1}{2}-1= 1-1=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(\frac{1}{2}|0)$.

Nun muss man im letzten Schritt die beiden Punkte verbinden und erhält den Graphen der Funktion.

Möglichkeit 1=
Die Funktionsgleichung $f(x) = -3x+ 3$ schneidet die y- Achse im Punkt $P(0|3)$,da $b=3$ den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=-3$. Wir können vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und 3 nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2 =
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene x- Werte. Zunächst könnte man $x= 0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)=-3\cdot0+3=3$, also den Punkt $A=(0|3)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x=1$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(1)=-3\cdot1+3= -3+3=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(1|0)$.

Nun muss man im letzten Schritt die beiden Punkte verbinden und erhält den Graphen der Funktion.

Möglichkeit 1=
Die Funktionsgleichung $f(x)= -\frac{5}{6}x+ 2,5$ schneidet die y- Achse im Punkt $P(0|2,5)$,da $b=2,5$ den Schnittpunkt mit der y-Achse angibt. Diesen Wert kannst du also direkt ablesen.
Nun betrachten wir die Steigung $m=-\frac{5}{6}$. Wir könnten vom Punkt $P$ nun eine Einheit nach rechts und $\frac{5}{6}$ nach unten gehen, da die Steigung negativ ist.
Da dies allerdings schwierig und ungenau abzulesen ist, bietet es sich hier an stattdessen ein Vielfaches der Steigung zu gehen. Multiplizieren wir die Steigung z.B. mit 3 erhalten wir $\frac{5}{6}\cdot3=\frac{15}{6} =\frac{5}{2}=2,5$. Dieser Wert ist deutlich einfacher einzuzeichnen in ein Koordinatensystem. Wir gehen nun also von dem Punkt $P$ 3 Einheiten nach rechts, weil wir die Steigung ja mit 3 multipliziert haben. Dann gehen wir 2,5 Einheiten nach unten, da die Steigung negativ ist. Nun sind wir bei dem Punkt $Q=(3|0)$ ausgekommen, welchen man gut in ein Koordinatensystem einzeichnen kann.
Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man den Graph der Funktion.

Möglichkeit 2 =
Bei dieser Lösungsmöglichkeit wählen wir zwei verschiedene x- Werte. Zunächst könnte man $x= 0$ in die Funktionsgleichung einsetzten und man erhält $f(0)= -\frac{5}{6}\cdot0+ 2,5= 2,5$, also den Punkt $A=(0|2,5)$.
Als nächstes könnte man z.B. $x=3$ wählen. Dann erhält man durch einsetzten in die Funktionsgleichung $f(3)=-\frac{5}{6}\cdot3+ 2,5=-\frac{15}{6}+ 2,5= -\frac{5}{2}+2,5=-2,5+2,5=0$. Dies wäre dann der Punkt $B=(3|0)$.

Nun muss man im letzten Schritt die beiden Punkte verbinden und erhält den Graphen der Funktion.

Aufgabe 3: Funktionsgleichungen und Graphen verbinden

Graphen mit Funktionsgleichungen verbinden

Bestimmung von Funktionsgleichungen

Merke: Das Steigungsdreieck

Die Steigung einer linearen Funktion erhält man mithilfe des Steigungsdreiecks, von welchem zwei Punkte auf dem Graphen liegen. Das Steigungsdreieck kennzeichnet, dass die Steigung dem Verhältnis des Höhen- und Längenunterschiedes beider Punkte entspricht.
Die Steigung berechnest du folgendermaßen:
1. Du suchst zwei beliebige Punkte $P(x_1|f(x_1))$ und $Q(x_2|f(x_2))$, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte P unc Q: Höhenunterschied: $f(x_2)-f(x_1)$
3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte P und Q: Längenunterschied: $x_2-x_1$
4. Für die Steigung der Geraden gilt dann: $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

In dieser Grafik kannst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b verändern. Um Details besser zu sehen, kannst du die Darstellung nach links oder rechts verschieben oder rein oder herauszoomen

Aufgabe: Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen

Nutze die je in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form $f(x)= m\cdot x+b$.
a)
b)
c)
d) Wertetabelle

Überlegt euch, welche Infos ihr habt. (Platzhalter)

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Aufgabe: Funktionsgleichung mit Hilfe von einem Punkt und der Steigung bestimmen

In den folgenden Teilaufgaben ist dir jeweils die Steigung der Geraden und einen Punkt, der auf der Geraden liegt, gegeben. Bestimme die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form $f(x) = m\cdot x + b$ in deinem Heft.

Setze die gegebene Steigung und den Punkt in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + b$ ein.

a) Die Steigung ist $m = 5$ und der Punkt $P(-1|-7)$.

1. Setze als erstes für die Steigung $m = 5$ ein, sodass die Gleichung $f(x) = 5x + b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(-1|-7)$. Dann erhälst du mit $x = -1$ und $f(x) = -7$ die Gleichung $-7 = 5\cdot(-1) + b$ erhältst.
3. Bestimme mit Auflösung nach $b$ den Wert $b = -2$. Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung $f(x) = 5x - 2$ ergibt.

b) Die Steigung ist $m = 4,5$ und der Punkt $P(4|18,5)$.

1. Setze als erstes für die Steigung $m = 4,5$ ein, sodass die Gleichung $f(x) = 4,5\cdot x + b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(4|18,5)$. Dann erhälst du mit $x = 4$ und $f(x) = 18,5$ die Gleichung $18,5 = 4,5\cdot4 + b$ erhältst.
3. Bestimme mit Auflösung nach $b$ den Wert $b = 0,5$. Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung $f(x) = 4,5\cdot x + 0,5$ ergibt.

c) Die Steigung ist $m = \frac{2}{3}$ und der Punkt $P(-3|-\frac{4}{5})$

1. Setze als erstes für die Steigung $m = \frac {2}{3}$ ein, sodass die Gleichung $f(x) = \frac{2}{3}\cdot x + b$ entsteht.
2. Nutze die Angabe des Punktes $P(-3|-\frac{4}{5})$. Dann erhälst du mit $x = -3$ und $f(x) =-\frac{4}{5}$ die Gleichung $-\frac{4}{5}= \frac{2}{3}\cdot(-3) + b$ erhältst.
3. Bestimme mit Auflösung nach $b$ den Wert $b =\frac{6}{5}$. Schließlich erhälst du, wenn du die Werte für m und b einsetzt, die Geradengleichung $f(x) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}$ ergibt.

Liegen die Punkte auf dem Graphen?

Aufgabe 6

Prüfe rechnerisch oder durch zeichnen der Graphen der Funktionsgleichungen, ob die Punkte auf den Graphen der Funktionsgleichungen liegen.

Schnittpunkte von linearen Funktionen

Linearen Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse, den $y$-Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die $x$-Achse. Diesen Punkt nennt man auch die Nullstelle der Funktion, da der zugehörige $y$-Wert an dieser Stelle immer gleich $0$ ist.
Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden. Beide Fälle werden nun näher erklärt und du kannst an den Aufgaben überprüfen, ob du verstanden hast, wie du die Schnittpunkte bestimmst.

Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen

Merke

Zwei lineare Funktionen schneiden sich maximal in einem Punkt, d.h. sie können sich auch in keinem Punkt schneiden. Voraussetzung für das Vorhandensein eines Schnittpunktes ist, dass die beiden Funktionsgleichungen eine unterschiedliche Steigung besitzen

Aufgabe: Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen

Anwendungsaufgaben/ Modellierungsaufgaben

Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.

Aufgabe: Abbrennen einer Kerze

Eine Kerze ist 1,5 Stunden nach dem Anzünden 12 cm und 3,5 Stunden nach dem Anzünden noch 6 cm hoch.

a) Warum handelt es sich hierbei um eine lineare Funktion?
b) Zeichne den Graphen der Zuordnung Zeit $\rightarrow$ Länge der Kerze.
c) Lies ab: Wie lang war die Kerze zu Beginn? Nach welcher Brennzeit ist sie nur noch 1,5 cm hoch? Wann ist sie abgebrannt?
d) Bestimme die Änderungsrate und gib die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=mx+b$ an. Ermittle nun die gesuchten Werte aus c) mithilfe der Gleichung. Vergleiche.

Überlegt euch, welche Infos ihr habt. (Platzhalter)

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b) ohne "Lies ab" sondern Lösungsweg frei wählbar, dann müsste c) aber anders formuliert werden.

Aufgabe: Weg zum Training

Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur 6km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit 4 km/h. Pauk steht schon vor der Sporthalle. Er startet zur gleichen Zeit wie Johannes mit seinem Fahrrad und fährt ihm entgegen. Paul fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 16 km/h. Beide nehmen den selben Weg. Wann und wo treffen sie sich?

Überlege, welche Werte oben die Steigung und welche den y-Achsenabschnitt der verschiedenen Funktionen darsteellt. Male es dir graphisch auf.

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Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit 4km/h stellt die Steigung m der Gleichung da. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Staatspunkt bei 0km. Somit erhält man für Johannes die Gleichung $f_J(x)=4 \cdot x$. Paul fährt ihm mit 16 km/h entgegen. Da er in entgegengesetzter Richtung zu Johannes fährt, ist die steiggung der Gleichung negativ. Du bekommst die Gleichung $f_P(x)=-16 \cdot x + b$. Da Paul an der Sporthalle startet, ist der Wert b=6 für den y-Achsenabschnitt. Somit erhält man die Gleiichung $f_J(x)=-16 \cdot x + 6$. Jetzt hast du zwei Möglichkeiten:
1.

2. Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab.

Mit beiden Lösungwegen erhälst du die Werte x=0,3 und y=1,2.

Aufgabe: Handytarife

Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A, B und C.

Tarif A: Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 5 Stunden frei, dann 1 Ct./min.
Tarif B: Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,8 Ct./min.
Tarif C: Flat–Rate 40 € / Monat.

Maria surft im Durchschnitt zwei Stunden am Tag. (30 Tage /Monat).

a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf.

b) Zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

c) Erklären Sie, was alles aus den Graphen ablesbar ist (Interpretation).

d) Berechnen Sie den günstigsten Tarif für Maria.

e) In welchem Punkt herrscht Kostengleichheit für Tarif A und B?

f) Ab welcher Surfzeit ist Tarif C der günstigste?

Versuche zunächst die Einheiten zu normen, also entscheide dich entweder für min. oder h., bzw. ct. oder € .
Es ist üblich eher in € / h zu rechnen. Den ct/ min Wert könntest du dann mit 60 min multiplizieren um auf ct/h zu kommen.
Wie könnte dieser Wert dann in € / h umgewandelt werden?
Nun kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung mit f(x)= dem Wert € /h x+ a (einen noch unbekannten Wert) aufstellen.
Dann überlege dir, was die Freistunden bedeuten?!

Wenn du 5 Stunden frei hast heißt dies, dass du in den 5 Stunden nur die Grundgebühr bezahlen musst.
Welchen Punkt erhalten wir dadurch?
Versuche dies in die Funktionsgleichung mit einzubauen indem du den Punkt einsetzt und die Gleichung auflöst.

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