Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Von der mittleren zur momentanen (lokalen) Änderungsrate

Aufgabe 1: Die durchschnittliche Änderungsrate

Wie groß ist die durchschnittliche Änderung für...

1. $f(x)=x^2$ im Intervall $[3, 5]$ und im Intervall $[-1, 1]$
2. $g(x)=1-x^2$ im Intervall $[1, 3]$
3. $h(x)=-\frac{1}{8}x^2+2x$ im Intervall $[2, 10]$
4. $i(x)=x^3+4x$ im Intervall $[-5, 6]$
5. $j(x)=x^4+2x^2-x$ im Intervall $[-6, -2]$ ?

<popup name="Hilfe 1">

Differenzenquotient? Was war das denn nochmal?

Der Quotient $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ wird Differenzenquotient genannt. Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Geraden (Sekante)durch die Punkte $P(a|f(a))$ und $Q(b|f(b))$. </popup>

<popup name="Hilfe 2"> </popup>

Das Wetter in Münster und Lumbashi

Temperature curve, Münster, Lubumbashi

Aufgabe 2: Unterscheidung von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

<popup name="Weitere Hilfestellung 1"> Im Kontext der verstrichenen Zeit in Abhängigkeit einer anderen Größe muss die momentane Änderungsrate angewendet werden, wenn es sich um einen Zeitpunkt handelt. Bei einer Zeitspanne wird die durchschnittliche Änderungsrate benötigt. </popup>

<popup name="Weitere Hilfestellung 2"> In diesem Video wird noch einmal am Beispiel der Geschwindigkeit erläutert, wie die Entscheidung zwischen momentaner Änderungsrate und durchschnittlicher Änderungsrate zu treffen ist:

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Aufgabe 3: Von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate - eine Fahrradtour durch Münster

Eine Gruppe Touristen macht eine Sightseeing-Tour mit dem Fahrrad durch Münster. Weil an dem Tag Kirmes ist, können sie nicht direkt vor das Schloss fahren. Nach einem Fotostop am Schloss gehen sie zu ihren Fahrrädern zurück und fahren weiter zum Dom.

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a) Bestimme die Zeitpunkte, zu denen die folgenden Streckenabschnitte erreicht werden. Schau dir dazu das Video noch einmal genau an.

• Start in der Nähe des Schlosses (0m zurückgelegt)
• Anhalten vor der Ampel (80m vom Startpunkt entfernt)
• Weiterfahrt an der Ampel
• Halt vor der Müllabfuhr (230m vom Startpunkt entfernt)
• Weiterfahrt nachdem die Müllabfuhr weggefahren ist
• Ankunft am Dom (700m vom Startpunkt entfernt)

b) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der die Touristen die Strecke vom Schloss bis zum Dom zurückgelegt haben.

c) Wie schnell waren die Touristen zwischen

• Schloss und Ampel?
• Ampel und Halt vor der Müllabfuhr?
• Weiterfahrt (nachdem die Straße wieder frei ist) bis zum Anhalten vor dem Dom?

d) Beantworte die folgenden Fragen.

Halten sich die Touristen zwischen Weiterfahrt nach dem Müllabfuhr-Halt und Dom an die Schrittgeschwindigkeit von 6km/h? (!Ja) (Nein)

Stimmt diese Aussage für alle Teilbereiche der Strecke? (!Ja) (Nein)

e) Wie schnell sind die Touristen beim Abbiegen von der Straße auf den Rad- und Fußgängerweg vor der eingerüsteten Überwasserkirche? Nutze dafür den Schieberegler. Das Applet stellt nur das Abbiegen dar, wobei auf der x-Achse die Zeit in Sekunden und auf der y-Achse die zurückgelegte Strecke in Metern eingetragen ist.

Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site. <popup name="Hinweis zu 3a"> Die Zeitangaben sind hier nicht eindeutig. Ob du denkst, dass die Radfahrer schon eine Sekunde früher oder später an einem Ort angekommen sind, ist auch nicht wichtig. </popup> <popup name="Hinweis zu 3b"> Achte genau auf die Einheiten! </popup> <popup name="Hilfe zu 3b"> Meter pro Sekunde (m/s) kannst du in Kilometer pro Stunde (km/h) umrechnen, in dem du einzeln die Meter in Kilometer und die Sekunden in Stunden umrechnest. </popup>