Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen
2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen
Im Aktiv-Urlaub warten verschiedene Aufgaben auf die Klassen.
Die folgenden Erklärungen zu den Aufgaben 1, 2 und 3 zeigen, dass alle Funktionsgleichungen die Form f(x) = mx + b haben und die Funktionsgraphe immer Geraden sind.
Lineare Funktionen erkennen wir also in den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten wie folgt:
Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du auf den nächsten Seiten.
Weiter geht es mit 2.2) Lineare Funktionen f(x) = mx + b Bedeutung von m und b
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
Im nächsten Kapitel sollen nun die Parameter m und b genauer betrachtet werden.
2.2 Die Steigung m linearer Funktionen
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Beobachte, was geschieht. Welche Bedeutung haben die verschiedenen Dreiecke? Probiere aus.
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung. Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus bleibt immer gleich, dies ist die Steiung m.
Schau dazu das nachfolgende Video an:
Um zunächst nur den Begriff "Steigung m" zu festigen, betrachten wir zunächst proportionale Funktionen. Die Funktionsgleichung hat die Form f(x) = mx und Graphen sind immer Ursprungsgeraden (vgl. Thema Zuordnungen, Klasse 7), denn der y-Achsenabschnitt b fehlt (b = 0).
Beispiel 1: f(x) = 2x, also m = 2 Für das Steigungsdreieck Steigung m = 2 = gehe vom Ursprung aus 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben. Zeichne dann die Gerade.
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