Benutzer:Niklas WWU-6

• Seminar: Digitale Werkzeuge in der Schule
• Projekt: Basiswissen Analysis
• Lernpfad: Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung
• betreut von: Lena Frenken und Maurice Krause

Extrema

Wissen

Im vorherigen Kapitel konntest du etwas über das Monotonie-Verhalten einer Funktion $f$ erfahren. Dieses Wissen wird nun weiter vertieft und du lernst die sogenannten Extremstellen kennen, die in einem starken Zusammenhang mit dem Monotonie-Verhalten stehen.

Eine Funktion $f$, die in einem ersten Abschnitt streng monoton wächst und im darauf folgenden Abschnitt streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen an dem die Funktion weder steigt noch fällt und dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein globales oder lokales Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst.

• Es liegt ein lokales Extremum vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
• Ein globales Extremum liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert.
  

Merke: Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst. Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

Aufgabe 1

Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.

Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.

Extremstellenbestimmung

Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion $f(x)$ gilt:

Notwendiges Kriterium: Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als $x_E$ bezeichnet. Es muss gelten: $f'(x_E) = 0$.

Hinreichendes Kriterium: Die potentiellen Extremstellen werden in $f''(x)$ eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für $f''(x_E)$ kann folgen:

• $f''(x_E) < 0 \Rightarrow$ Es liegt ein Hochpunkt vor.
• $f''(x_E) > 0 \Rightarrow$ Es liegt ein Tiefpunkt vor.

Ordinate bestimmen: Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du $x_E$ in $f(x)$ einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form $E(x_E/f(x_E))$.

Achtung: Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: $f''(x_E) = 0$. Dabei kann es sich um eine sogenannte Sattelstelle handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:

Art der Extremstelle	Notwendiges Kriterium	Hinreichendes Kriterium
Hochpunkt	$f'(x_E) = 0$	$f'(x_E) = 0$ und $f''(x_E)$ < $0$
Tiefpunkt	$f'(x_E) = 0$	$f''(x_E) = 0$ und $f''(x_E)$ > $0$
Sattelpunkt	$f'(x_E) = 0$ und $f''(x_E) = 0$	$f'''(x_E) \neq 0$

Beispiel: Bestimmung von Extremstellen

Wir untersuchen die folgende Funktion $f(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x$ auf Extremstellen.

1. Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: $f'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0$. Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen $x_1 = -2$ und $x_2 = -1$.
2. Das bilden der zweiten Ableitung ergibt: $f''(x) = 4x + 6$
   • $f''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow$ Hochpunkt an der Stelle $x_1 = -2$
   • $f''(-1) = 2 > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt an der Stelle $x_2 = -1$

In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der 1. Aufgabe werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 2 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.

Aufgabe 2

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

a) $f(x) = 2x^{2} - 6x + 4$

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

$f'(x) = 0$, mit $f'(x) = 4x - 6$.

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6$

$\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4$

$\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2}{3}$

Hinreichendes Kriterium

$f''(x_E) < 0$ oder $f''(x_E) > 0$, mit $f''(x) = 4$.

Wir erhalten durch einsetzen: $f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei $x = \frac{2}{3}.$

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: $f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow$ TP $\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)$

b) $g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6$

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

$f'(x) = 0$, mit $f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5$.

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3$

$\;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|$PQ-Formel anwenden

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 1 \pm \frac{163}{100}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -\frac{63}{100}$ und $x_2 = \frac{263}{100}$

Hinreichendes Kriterium

$f''(x_E) < 0$ oder $f''(x_E) > 0$, mit $f''(x) = 6x - 6$.

Wir erhalten durch einsetzen:

$f''\Big(-\frac{63}{100}\Big) = -\frac{489}{50} < 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Hochpunkt bei $x = -\frac{63}{100}.$

$f''\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{489}{50} > 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei $x = \frac{263}{100}.$

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:

$f\Big(-\frac{63}{100}\Big) = \frac{771}{100} \Rightarrow$ HP $\Big(-\frac{63}{100}/\frac{771}{100}\Big)$

$f\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{971}{100} \Rightarrow$ TP $\Big(\frac{263}{100}/\frac{971}{100}\Big)$

c) $h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3}$ mit $a \in [1,5]$

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

$h_{a}'(x) = 0$, mit $h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}$.

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|$ Ausklammern

$\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|$ Satz vom Nullprodukt

$\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0$

$\vee.\;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25$

$\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}$

.$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = -\frac{3}{5}a, x_{2} = 0$ und $x_{4} = \frac{3}{5}a$

Hinreichendes Kriterium

$h_{a}''(x_E) < 0$ oder $h_{a}''(x_E) > 0$, mit $h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x$.

Wir erhalten durch einsetzen:

$h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -540a^{3} + 10,8a < 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Hochpunkt bei $x = -\frac{3}{5}a.$

$h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei $x = 0.$ Dies muss überprüft werden!

$h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 540a^{3} - 10,8a > 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei $x = \frac{3}{5}.$

Achtung: Ob es sich um eine Sattelstelle bei $x = 0$ handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass $h_{a}'''(0) \neq 0$ stimmt. Es gilt $h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}$

$h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow$ Es liegt ein Sattelpunkt vor.

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:

$h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow$ HP $\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)$

$h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow$ SP $(0/0)$

$h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow$ TP $\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)$

Aufgabe 3

Hier kommt noch eine Anwendungsaufgabe hin!