Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Terme und Gleichungen

Info

Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen. Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben in blauer Farbe sind mittlerer Schwierigkeitsgrad.

Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind besonders Knobelaufgaben.

Viel Spaß!

Wiederholung: Terme

Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.

Beispiele:

$1 + 2$

$7x - 9y$

Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele:

Addieren: $3x + x = 4x$

Subtrahieren: $5y - 2y = 3y$

Multiplizieren: $x \cdot 2x^2 = 2x^3$

Ausmultiplizieren: $x \cdot (4x + 3) = 4x^2 + 3x$

Ausklammern:

$3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)$

Terme zusammenfassen

Aufgabe 1.1

Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) $6x + 13x$

b) $\frac{4}{3}x - \frac{3}{5}x$

c) $\frac{5}{2}x + \frac{6}{4}x + 7$

d) $11x - 7y + 4x + 3y$

e) $2x^2+x-2+x-x^2$

f) $(8x - 9y) - (7x -10y)$

Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.

Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: 2x + 3 - 3x - 2

a) $6x + 13x = (6+13)x = 19x$
b) $\frac{4}{3}x - \frac{3}{5}x = \frac{20}{15}x - \frac{9}{15} = \frac{11}{15}x$
c) $\frac{8}{2}x+7$
d) $15x - 4y$
e) $x^2 + 2x - 2$

f) $x + y$

Aufgabe 1.2

Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) $2x^2 - 3 + 3x + 2 - 3x$

b) $\frac{20}{5} + 10x + \frac{9}{3}x - \frac{10}{4}$

c) $6x - (4xy - 6x) - 3xy$

d) $(6x +7y) - (2x - 2y)$

e) $-3xy + 3yz - 5zy + 5yx -zy +xz$

Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.

Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: 2x + 3 - 3x - 2

a) $2x^2 - 3 + 3x + 2 - 3x = 2x^2 + 3x - 3x - 3 + 2 = 2x^2 -1$
b) $10\frac{9}{3}x + \frac{30}{20}$
c) $12x - 7xy$
d) $14x + 9y$

e) $2xy + 3yz +xz$

Aufgabe 1.3

Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) $(x-1) - (-x-5)-10x$

b) $\frac{14+23y}{3} - \frac{3y-3}{2}$

c) $\frac{66y +42x}{6} - \frac{18y-9}{3}$

d) $\frac{8x^3 + 6x^2}{2} + \frac{20x^3 - 15x^2}{5}$

Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.

Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: 2x + 3 - 3x - 2

a) $(x-1) - (-x-5)-10x = x-1 + x + 5 - 10x = -10x+x+x-1+5 = -8x + 4$
b) $\frac{37y+37}{6}$
c) $\frac{30y+42x+18}{6}$

d) $\frac{80x^3}{10} = 8x^3$

Aufgabe 2

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.

Überlege über welchen Weg du den Term am besten vereinfachen kannst. Schaue dir dafür in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" die verschiedneen Wege nochmal an.

Markiere dir die im Term zusammengehörenden Teilterme und sortiere sie der Reihe nach. z.B: 2x + 3 - 3x - 2

Aufgabe 3.1

Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) $(3x + 2x) \cdot 6x$

b) $2 \cdot (3x + 7)$

c) $(2x + 4y)\cdot 3$

d) $3x \cdot (4x+3)$

Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.

a) $(3x + 2x) \cdot 6x = 3x \cdot 6x + 2x \cdot 6x = 18x + 12x =30x^2$
b) $6x + 14$
c) $6x + 12y$

d) $12x^2 + 9x$

Aufgabe 3.2

Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) $2x \cdot (3y - 4x)$

b) $\frac{1}{3}x + 2 \cdot (\frac{1}{2}y - x)$

c) $(x + y + z) \cdot x$

d) $\frac{2}{5}x \cdot (\frac{3}{7}x + \frac{4}{6})$

Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.

a) $2x \cdot (3y - 4x) = 2x \cdot 3y - 2x \cdot 3x = 6xy - 8x^2$
b) $-1\frac{2}{3} + y$
c) $x^2 + xy + xz$

d) $\frac{6}{35}x^2 + \frac{8}{30}x$

Aufgabe 3.3

Fasse die Terme durch Ausmultiplizieren zusammen. Vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) $(x^2 - y^2) \cdot (-2x^2 + 2y^2 + 2)$

b) $[2x - (5y - 2)] - [2 +3 \cdot(x - 2y)]$

c) $x^2 - y - 4 \cdot \left(y + \frac{5}{4}\cdot x^2\right)$

d) $[6x-(3-2x)+3] - [x + (3\cdot 2x)]$

Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Faktor vor der Klammer mit jedem in der Klammer multiplizieren. in der Wiederholung "Terme - Vereinfachen" siehst du ein Beispiel für das Ausmultiplizieren.

a) $(x^2 - y^2) \cdot (-2x^2 + 2y^2 + 2)= x^2 \cdot -2x^2 + x^2 \cdot 2y^2 + x^2 \cdot 2 - y^2 \cdot -2x^2 -y^2\cdot2y^2 - y^2\cdot 2 = -2x^4 + 2x^2+ 4x^2y^2 - 2y^2 - 2y^4$
b) $-x + y$
c) $4x^2 - 5y$

d) $x$

Aufgabe 4.1

Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) $18xy - 9x + 81x$

b) $6x + 3x^2$

c) $12xy^2 - 2x^2y - xy$

d) $\frac{3x + 9x^2 - 12xy}{6x}$

Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst.

Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T₁₂ = {1,2,3,4, 6 ,12} und T₁₈ = {1,2,3,6,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.

a) $9x \cdot (2y -1 +9) = 9x \cdot (2y +8)$
b) $3x \cdot (2+x)$
c) $xy \cdot(12y - 2x - 1)$

d) $3x \cdot \left(\frac{1+3x-4y}{2}\right)$

Aufgabe 4.2

Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) $6x +3x^2 -9xy$

b) $\frac{32x^2-16x-64xy}{8x}$

c) $16yx + 36xy - 4yx$

d) $\frac{-2xy}{-8x^3y+6xy-2xy^3}$

Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst.

Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T₁₂ = {1,2,3,4, 6 ,12} und T₁₈ = {1,2,3,6,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.

a) $3x \cdot (2+x-3y)$
b) $8x \cdot (4x-2-8y)$
c) $4xy \cdot (4+9-1) = 48xy$

d) $2xy \cdot \left( \frac{-1}{-4x^2+3-y^2} \right)$

Aufgabe 4.3

Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

a) $3xyz-9x^2y+12xy^2-6xy$

b) $-2x^4y^4 + 2x^2y^2 -2xy^2$

c) $\frac{-3x^2y + 6x^3y^2}{6x^2y-3x^3y^3}$

d) $21xy + 14x^2y - 42xy^2 + 63 x^2y^2$

Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst.

Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die die Teilermengen zweier/mehrerer Zahlen gemein haben. Beispiel: Wir suchen den ggT der Zahlen 12 und 18. Dafür suchen wir alle Zahlen die die Zahl 12 bzw 18 teilen (Teilermengen). T₁₂ = {1,2,3,4, 6 ,12} und T₁₈ = {1,2,3,6,9,18}. Damit ergibt sich, dass 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 18 ist.

a) $3xy \cdot (z-3x + 4y - 2)$
b) $2xy^2 \cdot (-x^3y^2+x-1)$
c) $3x^2y\cdot \left(\frac{-1+2xy}{2-xy^2}\right)$

d) $7xy \cdot(3 + 2x -6y + 9xy)$

Aufgabe 5

Füge die zugehörigen Terme zusammen. Nutze Stift und Papier zur Hilfe.

Klammere oder Multipliziere die Terme aus. Achte insbesondere auf Vorzeichen.

Schaue dir nochmal oben die Wiederholung an, in der das Ausmultiplizieren und Ausklammern erwähnt wird.

Wiederholung: Gleichungen

In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch:

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.

Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).

Beispiele:

$4 = 1 + 3$

$5x = 10$.

Aufgabe 6.1

Löse folgende lineare Gleichungen.

a) $5x = 15$

b) $20x = 10$

c) $x + \frac{3}{4} = 1$

d) $\frac{1}{2} x + 3 = 8$

Überlege dir, was du rechnen musst, damit das $x$ alleine auf einer der Seite der Gleichung steht.

Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne $x$, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem $x$

a) $x = 3$
b) $x = \frac{1}{2}$
c) $x = \frac{1}{4}$
d) $x = 10$

Aufgabe 6.2

Löse folgende lineare Gleichungen.

a) $x + \frac{1}{2} = 2 - x$

b) $x + 3 + 4x = 13$

c) $\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{4}$

d) $\frac{x}{2} + x = 6$

Überlege dir, was du rechnen musst, damit das $x$ alleine auf einer der Seite der Gleichung steht.

Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne $x$, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem $x$

a) $x = \frac{3}{4}$
b) $x = 2$
c) $x = 3$
d) $x = 4$

Aufgabe 6.3

Löse folgende lineare Gleichungen.

a) $\frac{3}{4}x + \frac{3}{8} = \frac{x}{2}$

b) $\frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 1$

c) $x + \frac{3}{7} = - x - \frac{1}{10}$

Überlege dir, was du rechnen musst, damit das $x$ alleine auf einer der Seite der Gleichung steht. (Bei Schwierigkeiten betrachte im Kaptiel "Terme" die Aufgaben zum Ausklammern.)

Sortiere dazu erst die Summanden mit und ohne $x$, indem du sie addierst, subtrahierst und zusammenfasst. Anschließend dividierst du die Gleichung durch den Vorfaktor des Summanden mit dem $x$

a) $x = -\frac{1}{2}$
b) $x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$
c) $x = -\frac{37}{120}$

Aufgabe 7.1

Löse folgende quadratische Gleichungen.

a) $x^2 = 25$

b) $x^2 - 2 = 14$

c) $x^2 = \frac{1}{4}$

d) $x^2 - 10x + 24 = 0$

Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere in einem ersten Schritt die Summanden beispielsweise wie in Aufgabe 6.

Gleichungen der Form $x^2 + px + q = 0$, wobei $p$ und $q$ für Zahlen stehen, kannst du mit der $p$ - $q$ - Formel lösen. Solltest du nicht mehr wissen, wie man mit der Formel arbeitet, kannst du dir das auf dieser Seite noch einmal anschauen: https://www.mathebibel.de/pq-formel

a) $x_1 = 5 ; x_2 = -5$
b) $x_1 = 4 ; x_2 = -4$
c) $x_1 = \frac{1}{2} ; x_2 = - \frac{1}{2}$
d) $x_1 = 6 ; x_2 = 4$

Aufgabe 7.2

Löse folgende quadratische Gleichungen.

a) $\frac{x^2}{4} = 16$

b) $x^2 - 6x = 27$

c) $x^2 + 1 = 2x$

Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir zuerst die Summanden. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die $p$ - $q$ - Formel anwenden kannst.

a) $x_1 = 8 ; x_2 = -8$
b) $x_1 = 9 ; x_2 = -3$
c) $x = 1$ (Es gibt nicht immer zwei Lösungen bei quadratischen Gleichungen!)

Aufgabe 7.3

Löse folgende quadratische Gleichungen.

a) $x^2 - 2x + 4 = 0$

b) $\frac{x^2}{2} = x + \frac{3}{2}$

Eine quadratische Gleichung kann 2, 1 oder 0 Lösungen haben. Sortiere dir die Summanden der Gleichung. Bringe die Gleichung zum Beispiel in die Form, in der du die $p$ - $q$ - Formel anwenden kannst.

a) Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen). Berechnet man die Lösung der Gleichung mit der $p$ - $q$ - Formel $x_{1/2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-2}{2} \right) ^2 -4}= 1 \pm \sqrt{-3}$, so sieht man, dass der Radiant negativ ist und somit die Gleichung nicht in den reellen Zahlen gelöst werden kann.
b) $x_1 = 3 ; x_2 = -1$

Aufgabe 8

Linda hat aus 750g Ton 3 Vasen getöpfert, die alle gleich schwer sind. Stelle eine Gleichung auf, mit der man berechnen kann, wieviel jede einzelne der Vasen wiegt.

Benenne die Größe, die du suchst, mit x.

$3x = 750$ In der Gleichung steht das $x$ für das Gewicht einer Vase. Wird dieses mal 3 genommen, erhält man das Gesamtgewicht von 750.

Aufgabe 9

Aufgabe 10

Eva kauft sich bei einer Rabattaktion 3 Bücher für 12€. Wieviel hat sie für jedes einzelne Buch bezahlt?

Suche zunächst nach der Größe, die du suchst und wähle diese als Unbekannte $x$.

In diesem Fall ist die unbekannte Größe der Preis eines einzelnen Buches.

Sie hat für jedes Buch 4€ bezahlt.

Die Gleichung, mit der sich dies berechnen ließ, war: $3x = 12$, wenn man auf jeder Seite durch 3 teilt, erhält man das Ergebnis.

Aufgabe 11

Linda bezahlt bei ihrem Handytarif 13ct pro Minute oder SMS und hat letzten Monat 8,06€ bezahlt. Anna zahlt 3,90€ Grundgebühr, dafür nur 6ct pro Minute oder SMS. Sie hat letzten Monat 7,80€ bezahlt.

Wer hat im letzten Monat mehr telefoniert bzw. SMS geschickt (SMS und telefonieren müssen nicht getrennt berechnet werden)? Berechne mithilfe von Gleichungen.

Linda hat 62 Minuten/SMS verbraucht und Anna 65. Die Gleichungen, mit denen man dies berechnen konnte, sehen so aus: Linda: $0,13x = 8,06$, Anna: $3,90 + 0,06x = 7,80$

Wiederholung: Lineare Gleichungssysteme

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen:

Beim Additionsverfahren überlegst du dir, welche Variable du eliminieren bzw. auf Null bringen kannst. Dann entscheidest du, was du tun musst, damit die Variable wegfällt.

Ein Beispiel:

$I$ $7x + 2y = 9$

$II$ $4x - 2y = 2$

Hier bietet es sich an, die Gleichung I mit der Gleichung II zu addieren, damit die Variable y wegfällt:

$I$ $11x + 0y = 11$

$II$ $4x - 2y = 2$

Nun kannst du die Gleichung I berechnen.

$I$ $11x + 0y = 11$ $|:11$

$I$ $x = 1$

Den errechneten x-Wert kannst du nun in die Gleichung II einsetzen.

$II$ $4 \cdot 1 - 2y = 2$

$II$ $4 - 2y = 2$ $|-4$

$II$ $-2y = -2$ $|:(-2)$

$II$ $y = 1$

Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/additionsverfahren an.

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Term in die andere Geichung ein.

Ein Beispiel:

$I$ $2x + y = 4$

$II$ $5x + 3y = 11$

Hier bietet es sich an die Gleichung I nach der Variablen y aufzulösen.

$I$ $2x + y = 4$ $|-2x$

$I$ $y = 4 - 2x$

Nun setzt du diesen Term für y in Gleichung II ein.

$II$ $5x + 3 (4-2x) = 11$

$II$ $5x + 12 - 6x = 11$

$II$ $12 - x = 11$

$II$ $x = 1$

Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren an.

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und stellst diese gleich.

Ein Beispiel:

$I$ $x + 2y = 5$

$II$ $x + y = 4$

Löse beide Gleichungen nach x auf.

$I$ $x + 2y = 5$ $|-2y$

$I$ $x = 5 - 2y$

$II$ $x + y = 4$ $|-y$

$II$ $x = 4 - y$

Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzen.

$4 - y = 5 - 2y$

$y = 1$

Den errechneten y-Wert kannst du nun in eine Gleichung deiner Wahl einsetzen und die Gleichung lösen.

$II$ $x + 1 = 4$ $|-1$

$II$ $x = 3$

Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/gleichsetzungsverfahren an.

Aufgabe 12.1: Lineare Gleichungssysteme lösen

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I$ $2x + 3y =13$

$II$ $8x + 3y = 16$

$x = \frac{1}{2}$ , $y = 4$

$I$ $2x + 3y =13$

$II$ $8x + 3y = 16$

Subtrahiere Gleichung I von der Gleichung II.

$I$ $2x + 3y =13$

$II$ $6x + 0y = 3$

Berechne die Lösung für Gleichung II.

$II$ $6x + 0y = 3$ $|:6$

$II$ $x = \frac{3}{6}$

$II$ $x = \frac{1}{2}$

Setze den x-Wert in Gleichung I ein.

$I$ $2 \cdot \frac{1}{2} + 3y =13$

$I$ $1 + 3y = 13$ $| -1$

$I$ $3y = 12$ $| :3$

$I$ $y = 4$

Lösung:

$x = \frac{1}{2}$ , $y = 4$.

Aufgabe 12.2: Lineare Gleichungssysteme lösen

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

$II$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$

$x = 12$ , $y = 3$

$I$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

$II$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$

Multipliziere Gleichung II mit 2.

$I$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II$ $\frac{1}{2}x - 4y = -6$

Addiere die Gleichung I zur Gleichung II.

$I$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II$ $2x + 0y = 24$

Berechne die Lösung für Gleichung II.

$II$ $2x + 0y = 24$ $|:2$

$II$ $x = 12$

Setze den x-Wert in Gleichung I ein.

$I$ $\frac{3}{2} \cdot 12 + 4y = 30$

$I$ $\frac{36}{2} + 4y = 30$

$I$ $18 + 4y = 30$ $| -18$

$I$ $4y = 12$ $| :4$

$I$ $y = 3$

Lösung:

$x = 12$ , $y = 3$.

Aufgabe 12.3: Lineare Gleichungssysteme lösen

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

$III$ $-x + y + z =15$

$x = 10$ , $y = 20$ , $z = 5$

$I$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

$III$ $-x + y + z =15$

Addiere die Gleichung I und II und die Gleichung I und III.

$I$ $x + \frac{1}{2} y - z = 15$

$II$ $2x + 0y + 0z = 20$

$III$ $0x + \frac{3}{2} y + 0z = 30$

Berechne die Lösung für Gleichung II und III.

$II$ $2x = 20$ $|:2$

$II$ $x = 10$

$III$ $\frac{3}{2}y = 30$ $| \cdot \frac{2}{3}$

$III$ $y = 20$

Setze den x-Wert und den y-Wert in Gleichung I ein.

$I$ $10 + \frac{1}{2} \cdot 20 - z = 15$

$I$ $10 + 10 - z = 15$

$I$ $20 - z = 15$ $| -20$

$I$ $-z = -5$ $| \cdot (-1)$

$I$ $z = 5$

Lösung:

$x = 10$ , $y = 20$ , $z = 5$.

Textaufgaben mit Hilfe linearer Gleichungssysteme lösen

Aufgabe 13: Textaufgaben und Gleichungssysteme zuordnen

Überlege, welches lineare Gleichungssystem zu der jeweiligen Textaufgabe passt. Es gibt mehr Gleichungsysteme als du benötigst.

Hinweis: Mit dem blauen Button rechts unten kannst du deine Eingaben überprüfen. Mit dem Symbol rechts oben kannst du die Aufgabe im Vollbildmodus bearbeiten.

Aufgabe 14: Beim Imbiss

Anna und Max sind mit Freunden im Freibad und kaufen etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 €. Max bestellt zwei Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,20 € . Wie viel kostet ein Burger? Wie viel kostet eine Portion Pommes?

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Burger stehen, die andere könnte die Anzahl der Portionen Pommes repräsentieren.

Ein Burger kostet 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.

Die Variable x steht für die Burger. Die Variable y steht für die Portion Pommes. Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I$ $x + 2y = 5,10$

$II$ $2x + 2y = 7,20$

Subtrahiere die Gleichung I von der Gleichung II.

$I$ $x + 2y = 5,10$

$II$ $x + 0y = 2,10$

Setze nun den x-Wert in die Gleichung I ein.

$I$ $2,10 + 2y = 5,10$ $| -2,10$

$I$ $2y = 3$ $|:2$

$I$ $y = 1,50$

Die Lösung des Gleichungssystems ist $x = 2,10$ und $y= 1,50$. Also kostet ein Burger 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.

Aufgabe 15: In der Jugendherberge

In einer Jugendherberge gibt es 20 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 92 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Viererzimmer, die andere könnte für die Anzahl der Sechserzimmer stehen.

Überlege dir, wie viele Jugendliche in einem Viererzimmer und wie viele in einem Sechserzimmer übernachten können und wie dies im Verhältnis zu den 92 Jugendlichen steht.

Es gibt also 14 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Die Variable x steht für die Anzahl der Vierbettzimmer und die Variable y steht für die Anzahl der Sechsbettzimmer. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem:

$I$ $x + y = 20$

$II$ $4x + 6y = 92$

Du kannst dir aussuchen, welches Verfahren du anwenden möchtest.

Mit dem Additionsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:

$I$ $x + y = 20$

$II$ $4x + 6y = 92$

Addiere das (-4)-fache von Gleichung I zu Gleichung II.

$I$ $x + y = 20$

$II$ $0x + 2y = 12$

Löse nun die Gleichung II.

$II$ $2y = 12$ $|:2$

$II$ $y = 6$

Setze den y-Wert in Gleichung I ein.

$I$ $x + 6 = 20$ $|-6$

$I$ $x = 14$

Mit dem Einsetzungsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:

$I$ $x + y = 20$

$II$ $4x + 6y = 92$

Löse Gleichung I nach x auf.

$I$ $x + y = 20$ $|-y$

$I$ $x = 20 - y$

Setze nun die Gleichung für x in II ein und löse nach y auf.

$II$ $4(20-y) + 6y = 92$

$II$ $80 - 4y + 6y = 92$

$II$ $80 + 2y = 92$ $|-80$

$II$ $2y = 12$ $|:2$

$II$ $y = 6$

Setzte nun den y-Wert in Gleichung I ein, um x zu berechnen.

$I$ $x = 20 - 6$

$I$ $x = 14$

Es gibt also 14 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 16: Die Spardose

Valerie und Miriam besitzen zusammen 40 € mehr als Jakob. Valerie und Jakob besitzen zusammen 50 € mehr als Miriam. Miriam und Jakob besitzen zusammen 10 € mehr als Valerie. Wie viel besitzt jede Person?

Person A besitzt das Vermögen a, Person B besitzt das Vermögen b und Person C besitzt das Vermögen c. Wenn Person A und Person B zusammen 30 € mehr besitzen als Person C, so gilt

$a + b - c = 30$.

Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob 30 €.

Die Variable x steht für das Vermögen von Valerie. Die Variable y steht für das Vermögen von Miriam und die Variable z steht für das Vermögen von Jakon. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem

$I$ $x + y - z = 40$

$II$ $x - y + z = 50$

$III$ $-x + y + z = 10$

Du kannst zum Beispiel das Additionsverfahren verwenden, um das Gleichungssystem zu lösen. Addiere dazu die Gleichungen I zur Gleichung II und die Gleichung I zur Gleichung III.

$I$ $x + y - z = 40$

$II$ $2x = 90$

$III$ $2y = 50$

Löse nun die Gleichungen II und III.

$II$ $2x = 90$ $|:2$

$II$ $x = 45$

$III$ $2y = 50$ $|:2$

$III$ $y = 25$

Setze nun den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung I ein.

$I$ $45 + 25 - z = 40$

$I$ $70 - z = 40$ $|-70$

$I$ $- z = -30$ $| \cdot (-1)$

$I$ $z = 30$

Valerie hat 45 €, Miriam 25 € und Jakob hat 30 €.

Aufgabe 17

Teste dein Wissen zu Termen und Gleichungen und löse das Quiz! (Beachte die Glühlampe für einen Tipp.)