Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Quadratische Funktionen
In diesem Kapitel geht es darum, Themen aus dem Bereich Quadratische Funktionen zu wiederholen und zu vertiefen.
Dabei schaust du dir an, welchen Einfluss die Parameter auf den Graphen der Funktion haben und machst dich mit Graphen und darauf liegenden Punkten vertraut. Weiter wiederholst du Scheitelpunkt und Nullstellen. Du übst dich im Umgang mit der Normal- und Scheitelpunktform. Anschließend prüfst du deine Kenntnisse an Anwendungsaufgaben. Zu guter letzt kannst du dein Wissen noch in einem finalen Quiz unter Beweis stellen.
In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.
Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben.
Inhaltsverzeichnis
Scheitelpunktform
Fülle den folgenden Lückentext aus. Klicke hierfür auf die Lücke, die du bearbeiten möchtest und wähle die passende Antwort aus. Du kannst deine Antworten überprüfen, indem du unten rechts auf das blaue Symbol klickst. Wenn der Lückentest richtig ausgefüllt ist, kann er dir bei nachfolgenden Aufgaben helfen.
Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung . Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter und veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen.
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Indem du auf die Bilder der Graphen klickst, kannst du sie vergrößern. Außerdem kannst du Paare durch erneutes anklicken auch wieder voneinander trennen.
Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu. Hinweis: Indem du auf die Bilder der Graphen klickst, kannst du sie vergrößern. Außerdem kannst du Paare durch erneutes Anklicken auch wieder voneinander trennen. Es werden drei Karten übrig bleiben.
Gegeben sei die Funktion und die Punkte und
a) Berechne von den oben genannten Punkten die jeweils fehlende x- bzw. y-Koordinate, so dass die Punkte auf der Funktion f liegen.
Die Punkte besitzen, um auf der Funktion zu liegen, folgende Koordinaten:
und
Falls du dir nicht sicher bist, wie man auf die Lösung kommt, findest du hier eine beispielhafte Lösung der Koordinatenberechnung von Punkt A:
1. Da die x-Koordinate des Punktes gegeben ist, setzt man die x-Koordinate für x in die Funktion ein. Man erhält dann:
2. Jetzt muss man den Term noch ausrechnen:
b) Zeichne den Graphen der Funktion f mit den oben genannten Punkte nun in dein Heft.
Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform
Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. Quadratische Funktionen können jedoch auch in der Normalform geschrieben werden. In diesem Abschnitt kannst du dein bisheriges Wissen über die Umwandlung von einer Form in die andere Form wiederholen, auffrischen und üben.
Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst. Wenn dieser Lückentext richtig ausgefüllt ist, kann er dir bei den nachfolgenden Aufgaben oftmals weiterhelfen. Hinweis: Mit dem Symbol rechts oben kannst du den Lückentext in Vollbildmodus bearbeiten. Mit dem blauen Button rechts unten kannst du deine Eingaben überprüfen.
Wandle die Funktionen f und g in deinem Heft in die Normalform um. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu. Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Wandle die Funktionen f und g in deinem Heft in die Scheitelpunktform um. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu. Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
Nullstellen
Gegeben seien folgende Funktionen:
Berechne von beiden Funktionen jeweils die Nullstellen.
Du kannst als Hilfe Zettel und Stift verwenden.
Ein Punkt wird als Nullstelle einer Funktion bezeichnet, wenn seine y-Koordinate gleich 0 ist.
D.h. um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, solltest du die Funktion gleich 0 setzen.
Für die nächsten Schritte gibt es verschiedene Möglichkeiten vorzugehen:
Ist deine Funktion in Scheitelpunktform, so hilft es dir den Term auf einer Seite zu isolieren, um dann die Wurzel ziehen zu können.
liegt in Scheitelpunktform vor, weswegen eine Möglichkeit die Nullstellen zu bestimmen Folgende ist:
liegt in Normalform vor. Es empfiehlt sich also die Funktion so umzuformen,so dass man die pq-Formel anwenden kann.
Betrachte , d.h.
und führe dann eine Äquivalenzumformung durch, indem du durch 5 teilst.
Du erhälst die Gleichung
Durch Anwenden der pq-Formel folgt
Anwendungsaufgaben
Das Geheimnis der bemerkenswerten Sprungkraft von Fröschen liegt in den Sehnen ihrer Hinterbeine, die zunächst durch Muskelkraft gespannt werden und den Frosch dann explosiv vorwärts katapultieren können. Frösche können damit ein Vielfaches ihrer Körpergröße weit springen. So kann der Grasfrosch beispielsweise bis zu 1 Meter weit springen. In den Rieselfeldern in Münster wurde vor ein paar Tagen der Sprung eines solchen Grasfrosches beobachtet. Er ist von einem 18cm hohen Stein am Ufer eines Teichs ins Wasser gesprungen. Die Flugbahn des Frosches lässt sich näherungsweise durch folgende quadratische Funktion beschreiben: wobei die Entfernung des Frosches vom Ufer des Teichs und die Höhe des Frosches (jeweils in cm) beschreibt.
a) Wie hoch springt der Frosch? Und nach wie vielen Zentimetern erreicht der Frosch seinen höchsten Punkt?
1) Umwandlung in Scheitelpunktform
2) Scheitelpunkt ablesen
Der Scheitelpunkt der Funktion ist .
3) Interpretieren im Anwendungskontext
b) In welcher Entfernung vom Ufer des Teichs taucht der Frosch ins Wasser ein?
1) Nullstellen berechnen durch quadratische Ergänzung
Also folgt und .
2) Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel
Also folgt und .
c) Zeichne die Flugbahn des Frosches in dein Heft.
Zeichne zunächst den Scheitelpunkt , den y-Achsenabschnitt und die Nullstelle ein.
Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen.
In der Leichtathletik nennt man die momentan praktizierte Technik beim Hochsprung den sogenannten Fosbury-Flop. Der Springer schwingt sich hierbei rückwärts über die Latte. Dabei beschreibt die Flugbahn des Körperschwerpunktes eine Parabel. Wenn man aufrecht steht liegt der Körperschwerpunkt bei etwa 60% der Körpergröße. Bei der letzten Leichtathletik-Weltmeisterschaft in Doha diesen Jahres konnten bei einem Sprung eines männlich Sportlers (ca. 1,92cm groß) folgende Werte seiner Flugbahn aufgezeichnet werden: . Dabei beschreibt der x-Wert die Entfernung des Springers vom Absprungsort und der y-Wert die Höhe des Springers (jeweils in Meter).
a) Bestimme die dazugehörige Flugparabel .
1) Lineares Gleichungssystem aufstellen
2) Zweite Gleichung nach auflösen
3) in die dritte Gleichung einsetzen und nach auflösen
4) in die Gleichung einsetzen
5) Quadratische Funktion aufstellen
b) Wie hoch springt der Sportler? Und in welcher Entfernung vom Absprungspunkt erreicht er seinen höchsten Punkt?
1) Umwandlung in Scheitelpunktform
2) Scheitelpunkt ablesen
Der Scheitelpunkt der Funktion ist .
3) Interpretieren im Anwendungskontext
c) Hinter der Latte befindet sich eine hohe Matte. In welcher Entfernung zum Absprungsort landet der Sportler auf der Matte?
1) Quadratische Funktion mit gleichsetzen und nach auflösen
Also folgt und .
2) Interpretieren im Anwendungskontext
Da wir davon ausgehen können, dass der Sportler nach vorne springt, ergibt nur Sinn. Der Sportler landet also in einer Entfernung von zum Absprungspunkt auf der Matte.
d) Bei einem optimalen Sprung liegt der Scheitelpunkt genau über der Latte. Der Abstand zur Latte muss mindestens betragen, damit diese nicht gerissen wird. Wir gehen davon aus, dass unser Sportler einen optimalen Sprung getätigt hat, d.h. die Latte war vom Absprungsort entfernt und hatte eine Höhe von . Hätte der Sportler es auch noch über die Latte geschafft, ohne sie zu reißen, wenn er früher abgesprungen wäre?
1) Verschiebung der quadratischen Funktion an der x-Achse um nach links
2) Für den Wert einsetzen
3) Interpretieren im Anwendungskontext
e) Zeichne beide Flugbahnen des Sportlers in dein Heft.
Zeichne zunächst den Scheitelpunkt , den y-Achsenabschnitt und den Schnittpunkt mit der Matte der ersten Funktion ein.
Lege danach eine Wertetabelle an und berechne weitere Punkte des Funktionsgraphen.
Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Absprung des Sportlers beginnt und mit dem Auftreffen des Sportlers auf der Matte endet. Auf der x-Achse trägst du die Sprungweite des Sportlers in Metern ab, auf der y-Achse die Höhe des Sportlers in Metern.
Der zweite Funktionsgraph ist lediglich um 0.2 nach links verschoben. Ansonsten stimmt er komplett mit dem ersten Funktionsgraphen überein.
Schaffst du es abschließend durch alle Fragen?