Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Terme und Gleichungen

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Dieses Kapitel des Lernpfades soll Dir helfen, dein Wissen über Terme und Gleichungen zu überprüfen und aufzufrischen. Du kannst selbst auswählen, in welcher Reihenfolge du das Kapitel bearbeiten möchtest und welche Aufgaben für dich am geeignetsten sind.

In Aufgaben, die gelb gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben in blauer Farbe sind Forderaufgaben.

Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind besonders anspruchsvolle Knobelaufgaben.

Viel Spaß!

Wiederholung: Terme

Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.

Beispiele:

$1 + 2$

$7x - 9y$

Terme vereinfachen

Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele.

Addieren: $3x + x = 4x$

Subtrahieren: $5y - 2y = 3y$

Multiplizieren: $x \cdot 2x^2 = 2x^3$

Ausmultiplizieren: $z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z$

Ausklammern:

$3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)$.

Terme zusammenfassen

Aufgabe 1

Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

Lösung I

a) $19x$
b) $\frac{11}{15}x$
c) $\frac{8}{2}x+7$
d) $15x - 5y$
f) $x + y$

g) $2x^2 -1$

Lösung II

a) $2x^2 -1$
b) $10\frac{9}{3}x \frac{30}{20}$
c) $12x - 7xy$
d) $14x + 9y$

f) $-2xy +2yz - 4zx$

Lösung III

a) $-8x + 4$
b) $\frac{37y+37}{6}$
c) $\frac{30y+42x+18}{6}$

d) $\frac{80x^3}{10} = 8x^3$

Aufgabe 2

Füge die zugehörigen Terme zusammen.

Aufgabe 3

Fasse die Terme zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

I	II	III
a) $(3x + 2x) \cdot 6x$	a) $2x \cdot (3y - 4x)$	a) $(x^2 - y^2) \cdot (-2x^2 + 2y^2 + 2)$
b) $2 \cdot (3x + 7)$	b) $\frac{1}{3}x + 2 \cdot (\frac{1}{2}y - x)$	b) $[2x - (5y - 2)] - [2 +3 \cdot(x - 2y)]$
c) $(2x + 4y)\cdot 3$	c) $(x + y + z) \cdot x$	c) $x^2 - y - 4 \cdot (y + \frac{5}{4}\cdot x^2)$
d) $3x \cdot (4x+3)$	d) $\frac{2}{5}x \cdot (\frac{3}{7}x + \frac{4}{6})$	d) $[6x-(3-2x)+3] - [x + (3\cdot 2x)]$

Lösung I

a) $30x^2$
b) $6x + 14$
c) $6x + 12y$

d) $12x^2 + 9x$

Lösung II

a) $6xy - 8x^2$
b) $-1\frac{2}{3} + y$
c) $x^2 + xy + xz$

d) $\frac{6}{35}x^2 + \frac{8}{30}$

Lösung III

a) $-2x^4 - 2y^4 + 2x^2 -2y^2$
b) $-x + y$
c) $6x^2 - 5y$

d) $x$

Aufgabe 4

Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

I	II	III
a) $18xy - 9x + 81x$	a) $6x +3x^2 -9xy$	a) $3xyz-9x^2y+12xy^2-6xy$
b) $6x + 3x^2$	b) $\frac{32x^2-16x-64xy}{8x}$	b) $-2x^4y^4 + 2x^2y^2 -2xy^2$
c) $12xy^2 - 2x^2y - xy$	c) $16yx + 36xy - 4yx$	c) $\frac{-3x^2y + 6x^3y^2}{6x^2y-3x^3y^3}$
d) $\frac{3x + 9x^2 - 12xy}{6x}$	d) $\frac{-2xy}{-8x^3y+6xy-2xy^3}$	d) $21xy + 14x^2y - 42xy^2 + 63 x^2y^2$

Tipp 1

Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst.

Tipp 2

Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.

Lösung I

a) $9x \cdot (2y -1 +9) = 9x \cdot (2y +8)$
b) $3x \cdot (2+x)$
c) $xy (12y - 2x - 1)$

d) $3x \cdot (\frac{1+3x+4y}{2})$

Lösung II

a) $3x \cdot (3-3y)$
b) $8x \cdot (4x-2-8y)$
c) $4xy \cdot (4+9-1) = 48xy$

d) $2xy \cdot (\frac{-1}{-4x^2+3-y^2})$

Lösung III

a) $3xy \cdot (z-3x + 4y - 2)$
b) $2xy^2 (-x^3y^2+x-1)$
c) $3x^2y\cdot (\frac{-1+2xy}{2-xy^2})$

d) $7xy (3 + 2x -6y + 9xy)$

Aufgabe 5

Füge die zugehörigen Terme zusammen.

Gleichungen

In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch:

Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.

Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).

Beispiele:

$4 = 1 + 3$

$5x = 10$.

Aufgabe 6

Löse folgende Gleichungen:

I	II	III
a) $5x = 15$	a) $x + \frac{1}{2} = 2 - x$	a) $\frac{3}{4}x + \frac{3}{8} = \frac{x}{2}$
b) $20x = 10$	b) $x + 3 + 4x = 13$	b) $\frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 1$
c) $x + \frac{3}{4} = 1$	c) $\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{4}$	c) $x + \frac{3}{7} = - x - \frac{1}{10}$
d) $\frac{1}{2} x + 3 = 8$	d) $\frac{x}{2} + x = 6$

Tipp zu II a)

Bringe zunächst alle Terme mit x zusammen. Beispiel: $x - 1 = 2x$ wird zu $-1 = x$, indem du auf beiden Seiten $-x$ rechnest.

Tipp zu III a)

Falls du bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten hast, betrachte im Kapitel "Terme" die Aufgaben zum Ausklammern.

Lösung zu I

a) $x = 3$ b) $x = \frac{1}{2}$ c) $x = \frac{1}{4}$ d) $x = 10$

Lösung zu II

a) $x = \frac{3}{4}$ b) $x = 2$ c) $x = 3$ d) $x = 4$

Lösung zu III

a) $x = -\frac{1}{2}$ b) $x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$ c) $x = -\frac{37}{120}$

Aufgabe 7

Löse folgende Gleichungen:

I	II	III
a) $x^2 = 25$	a) $\frac{x^2}{4} = 16$	a) $x^2 - 2x + 4 = 0$
b) $x^2 - 2 = 14$	b) $x^2 - 6x = 27$	b) $\frac{x^2}{2} = x - \frac{3}{2}$
c) $x^2 = \frac{1}{4}$	c) $x^2 + 1 = 2x$
d) $x^2 - 10x + 24 = 0$

Tipp zu I d)

Gleichungen der Form $x^2 + px + q = 0$, wobei $p$ und $q$ für Zahlen stehen, kannst du mit der $p$ - $q$ - Formel lösen. Solltest du nicht mehr wissen, wie man mit der Formel arbeitet, kannst du dir das auf dieser Seite noch einmal anschauen: https://www.mathebibel.de/pq-formel

Tipp zu II b)

Bringe die Gleichung in die Form, in der du die $p$ - $q$ - Formel anwenden kannst.

Lösung zu I

a) $x = 5$ b) $x = 4$ c) $x = \frac{1}{2}$ d) x₁ = 6 ; x₂ = 4

Lösung zu II

a) $x = 8$ b) x₁ = 9 ; x₂ = -3 c) $x = 1$ (Es gibt nicht immer zwei Lösungen bei linearen Gleichungen!)

Lösung zu III

a) Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen). b) x₁ = 3 ; x₂ = -1

Aufgabe 8

Linda hat aus 750g Ton 3 Vasen getöpfert, die alle gleich schwer sind. Stelle eine Gleichung auf, mit der man berechnen kann, wieviel jede einzelne der Vasen wiegt.

Lösung

$3x = 750$

Aufgabe 10

Eva kauft sich bei einer Rabattaktion 3 Bücher für 12€. Wieviel hat sie für jedes einzelne Buch bezahlt?

Tipp

Suche zunächst nach der Größe, die du suchst und wähle diese als Unbekannte $x$. In diesem Fall ist die unbekannte Größe der Preis eines einzelnen Buches.

Lösung

Sie hat für jedes Buch 4€ bezahlt.

Aufgabe 11

Linda bezahlt bei ihrem Handytarif 13ct pro Minute oder SMS und hat letzten Monat 8,06€ bezahlt. Anna zahlt 3,90€ Grundgebühr, dafür nur 6ct pro Minute oder SMS. Sie hat letzten Monat 7,80€ bezahlt.

Wer hat im letzten Monat mehr telefoniert bzw. SMS geschickt? Berechne mithilfe von Gleichungen.

Lösung

Linda hat 62 Minuten/SMS verbraucht und Anna 65. Die Gleichungen, mit denen man dies berechnen konnte, sehen so aus: Linda: $0,13x = 8,06$, Anna: $3,90 + 0,06x = 7,80$

Lineare Gleichungssysteme

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend. Falls du dir noch unsicher bist, kannst du hier die Verfahren noch einmal wiederholen:

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren überlegst du dir, welche Variable du eliminieren bzw. auf Null bringen kannst. Dann entscheidest du, was du tun musst, damit die Variable wegfällt.

Ein Beispiel:

$I$ $7x + 2y = 9$

$II$ $4x - 2y = 2$

Hier bietet es sich an, die Gleichung I mit der Gleichung II zu addieren, damit die Variable y wegfällt:

$I$ $11x + 0y = 11$

$II$ $4x - 2y = 2$

Nun kannst du die Gleichung I berechnen.

$I$ $11x + 0y = 11$ $|:2$

$I$ $x = 1$

Den errechneten x-Wert kannst du nun in die Gleichung II einsetzen.

$II$ $4 \cdot 1 - 2y = 2$

$II$ $4 - 2y = 2$ $|-4$

$II$ $-2y = -2$ $|:(-2)$

$II$ $y = 1$

Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/additionsverfahren an.

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Term in die andere Geichung ein.

Ein Beispiel:

$I$ $2x + y = 4$

$II$ $5x + 3y = 11$

Hier bietet es sich an die Gleichung I nach der Variablen y aufzulösen.

$I$ $2x + y = 4$ $|-2x$

$I$ $y = 4 - 2x$

Nun setzt du diesen Term für y in Gleichung II ein.

$II$ $5x + 3 (4-2x) = 11$

$II$ $5x + 12 - 6x = 11$

$II$ $12 - x = 11$

$II$ $x = 1$

Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren an.

Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und stellst diese gleich.

Ein Beispiel:

$I$ $x + 2y = 5$

$II$ $x + y = 4$

Löse beide Gleichungen nach x auf.

$I$ $x + 2y = 5$ $|-2y$

$I$ $x = 5 - 2y$

$II$ $x + y = 4$ $|-y$

$II$ $x = 4 - y$

Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzten.

$4 - y = 5 - 2y$

$y = 1$

Den errechneten y-Wert kannst du nun in eine Gleichung deiner Wahl einsetzen und die Gleichung lösen.

$II)$ $x + 1 = 4$ $|-1$

$II)$ $x = 3$

Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/gleichsetzungsverfahren an.

Aufgabe 12

Überlege, welches Verfahren zum Lösen der Gleichungssysteme am sinnvollsten wäre. Denke daran, dass grundsätzlich alle Verfahren zielführend sind.

Aufgabe 13.1

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I$ $2x + 3y =13$

$II$ $8x + 3y = 16$

Lösung a)

$x = \frac{1}{2}$ , $y = 4$

Lösungsweg zu a)

$I$ $2x + 3y =13$

$II$ $8x + 3y = 16$

Addiere Gleichung I zur Gleichung II.

$I$ $2x + 3y =13$

$II$ $6x + 0y = 3$

Berechne die Lösung für Gleichung II.

$II$ $6x + 0y = 3$ $|:6$

$II$ $x = \frac{3}{6}$

$II$ $x = \frac{1}{2}$

Setze den x-Wert in Gleichung I ein.

$I$ $2 \cdot \frac{1}{2} + 3y =13$

$I$ $1 + 3y = 13$ $| -1$

$I$ $3y = 12$

$I$ $y = 4$

Lösung:

$x = \frac{1}{2}$ , $y = 4$.

Lösung b)

$x = 12$ , $y = 3$

Lösungsweg zu b)

$I$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

$II$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$

Multipliziere Gleichung II mit 2.

$I$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II$ $\frac{1}{2}x - 4y = -6$

Addiere die Gleichung I zu Gleichung II.

$I$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II$ $2x + 0y = 24$

Berechne die Lösung für Gleichung II.

$II$ $2x + 0y = 24$ $|:2$

$II$ $x = 12$

Setze den x-Wert in Gleichung I ein.

$I$ $\frac{3}{2} \cdot 12 + 4y = 30$

$I$ $\frac{36}{2} + 4y = 30$

$I$ $18 + 4y = 30$ $| -18$

$I$ $4y = 12$ $| :4$

$I$ $y = 3$

Lösung:

$x = 12$ , $y = 3$.

Lösung c)

$x = 10$ , $y = 20$ , $z = 5$

Lösungsweg zu c)

$I$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

$III$ $-x + y + z =15$

Addiere die Gleichung I und II und die Gleichung I und III.

$I$ $x + \frac{1}{2} y - z = 15$

$II$ $2x + 0y + 0z = 20$

$III$ $0x + \frac{3}{2} y + 0z = 30$

Berechne die Lösung für Gleichung II und III.

$II$ $2x = 20$ $|:2$

$II$ $x = 10$

$III$ $\frac{3}{2}y = 30$ $| \cdot \frac{2}{3}$

$III$ $y = 20$

Setze den x-Wert und den y-Wert in Gleichung I ein.

$I$ $10 + \frac{1}{2} \cdot 20 - z = 15$

$I$ $10 + 10 - z = 15$

$I$ $20 - z = 15$ $| -20$

$I$ $-z = -5$ $| \cdot (-1)$

$I$ $z = 5$

Lösung:

$x = 10$ , $y = 20$ , $z = 5$.

Aufgabe 14

Anna und Max sind mit Freunden im Freibad und kaufen etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 €. Max bestellt zwei Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,60 € .

Wie viel kostet ein Burger? Wie viel kostet eine Portion Pommes?

Tipp

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du dir ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Burger stehen, die andere könnte die Anzahl der Portionen Pommes repräsentieren.

Lösung

Ein Burger kostet 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.

Lösungsweg

Die Variable x steht für die Burger. Die Variable y steht für die Portion Pommes. Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I$ $x + 2y = 5,10$

$II$ $2x + 2y = 7,20$

Subtrahiere die Gleichung I von der Gleichung II.

$I$ $x + 2y = 5,10$

$II$ $x + 0y = 2,10$

Setze nun den x-Wert in die Gleichung I ein.

$I$ $2,10 + 2y = 5,10$ $| -2,10$

$I$ $2y = 3$ $|:2$

$I$ $y = 1,50$

Die Lösung des Gleichungssystems ist $x = 2,10$ und $y= 1,50$. Also kostet ein Burger 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.

Aufgabe 15

In einer Jugendherberge gibt es 20 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 92 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Tipp 1

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Viererzimmer, die andere könnte für die Anzahl der Sechserzimmer stehen.

Tipp 2

Überlege dir, wie viele Jugendliche in einem Viererzimmer und wie viele in einem Sechserzimmer übernachten können und wie dies im Verhältnis zu den 92 Jugendlichen steht.

Lösung

Es gibt also 12 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Lösungsweg

Die Variable x steht für die Anzahl der Vierbettzimmer und die Variable y steht für die Anzahl der Sechsbettzimmer. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem:

$I$ $x + y = 20$

$II$ $4x + 6y = 92$

Du kannst dir aussuchen, welches Verfahren du anwenden möchtest.

Mit dem Additionsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:

$I$ $x + y = 20$

$II$ $4x + 6y = 92$

Addiere das (-4)-fache von Gleichung I zu Gleichung II.

$I$ $x + y = 20$

$II$ $0x + 2y = 12$

Löse nun die Gleichung II.

$II$ $2y = 12$ $|:2$

$II$ $y = 6$

Setze den y-Wert in Gleichung I ein.

$I$ $x + 6 = 20$ $|-6$

$I$ $x = 14$

Mit dem Einsetzungsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:

$I$ $x + y = 20$

$II$ $4x + 6y = 92$

Löse Gleichung I nach x auf.

$I$ $x + y = 20$ $|-y$

$I$ $x = 20 - y$

Setze nun die Gleichung für x in II ein und löse nach y auf.

$II$ $4(20-y) + 6y = 92$

$II$ $80 - 4y + 6y = 92$

$II$ $80 + 2y = 92$ $|-80$

$II$ $2y = 12$ $|:2$

$II$ $y = 6$

Es gibt also 12 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 16

Person 1 und Person 2 besitzen zusammen 40 € mehr als Person 3. Person 1 und Person 3 besitzen zusammen 50 € mehr als Person 2. Person 2 und Person 3 besitzen zusammen 10 € mehr als Person 1. Wie viel besitzt jede Person?

Tipp

Person A besitzt das Vermögen a, Person B besitzt das Vermögen b und Person C besitzt das Vermögen c. Wenn Person A und Person B zusammen 30 EURO mehr besitzen als Person C, so gilt

$a + b - c = 30$.

Lösung

Die erste Person hat 45 €, die zweite 25 € und die dritte 30 €.

Lösungsweg

Die Variable x steht für das Vermögen der Person 1. Die Variable y steht für das Vermögen der Person 2 und die Variable z steht für das Vermögen der Person 3. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem

$I$ $x + y - z = 40$

$II$ $x - y + z = 50$

$III$ $-x + y + z = 10$

Du kannst zum Beispiel das Additionsverfahren verwenden, um das Gleichungssystem zu lösen. Addiere dazu die Gleichungen I zur Gleichung II und die Gleichung I zur Gleichung III.

$I$ $x + y - z = 40$

$II$ $2x = 90$

$III$ $2y = 50$

Löse nun die Gleichungen I und II.

$II$ $2x = 90$ $|:2$

$II$ $x = 45$

$III$ $2y = 50$ $|:2$

$III$ $y = 25$

Setze nun den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung I ein.

$I$ $45 + 25 - z = 40$

$I$ $70 - z = 40$ $|-70$

$I$ $- z = -30$ $| \cdot (-1)$

$I$ $z = 30$

Die erste Person hat 45 €, die zweite 25 € und die dritte 30 €.

Aufgabe 17

Teste dein Wissen zu Termen und Gleichungen und löse das Quiz!