Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren 2.0/Terme und Gleichungen

Lernpfad

Terme und Gleichungen

Kurzinfo

Wiederholung: Terme

Lies dir die Inhalte der folgenden Infokästchen sorgfältig durch und nutze sie, wenn du bei späteren Aufgaben ins Stocken kommst.

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) und Klammern enthalten kann.

Beispiele:

$1 + 2$

$7x - 9y$

Terme zu vereinfachen bedeutet, die Terme durch die dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen. Hier sind einige Beispiele.

Addieren: $3x + x = 4x$

Subtrahieren: $5y - 2y = 3y$

Multiplizieren: $x \cdot 2x^2 = 2x^3$

Ausmultiplizieren: $z \cdot (4 + 3) = 4z + 3z$

Ausklammern:

$3x + 12x^2 = x \cdot (3 + 12x)$.

Terme zusammenfassen

Aufgabe 1

Fasse die Terme durch Addieren und Subtrahieren zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

I	II	III
a) $6x + 13x$	a) $2x^2 - 3 + 3x + 2 - 3x$	a) $(x-1) - (-x-5)-10x$
b) $\frac{4}{3}x - \frac{3}{5}x$	b) $\frac{20}{5} + 10x + \frac{9}{3}x - \frac{10}{4}$	b) $\frac{14+23y}{3} - \frac{3y-3}{2}$
c) $\frac{5}{2}x + \frac{6}{4}x + 7$	c) $6x - (4xy - 6x) - 3xy$	c) $\frac{66y +42x}{6} \frac{18y-9}{3}$
d) $11x - 7y + 4x + 3y$	d) $(6x +7y) - (2x - 2y)$	d) $\frac{8x^3 + 6x^2}{2} + \frac{20x^3 - 15x^2}{5}$
e) $2x^2+x-2+x-x^2$	e) $-3xy + 3yz - 5zy + 5yx -zy +xz$
f) $(8x - 9y) - (7x -10y)$

a) $19x$
b) $\frac{11}{15}x$
c) $\frac{8}{2}x+7$
d) $15x - 5y$
f) $x + y$

g) $2x^2 -1$

a) $2x^2 -1$
b) $10\frac{9}{3}x \frac{30}{20}$
c) $12x - 7xy$
d) $14x + 9y$

f) $-2xy +2yz - 4zx$

a) $-8x + 4$
b) $\frac{37y+37}{6}$
c) $\frac{30y+42x+18}{6}$

d) $\frac{80x^3}{10} = 8x^3$

Aufgabe 2

Füge die zugehörigen Terme zusammen.

Aufgabe 3

Fasse die Terme zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

I	II	III
a) $(3x + 2x) \cdot 6x$	a) $2x \cdot (3y - 4x)$	a) $(x^2 - y^2) \cdot (-2x^2 + 2y^2 + 2)$
b) $2 \cdot (3x + 7)$	b) $\frac{1}{3}x + 2 \cdot (\frac{1}{2}y - x)$	b) $[2x - (5y - 2)] - [2 +3 \cdot(x - 2y)]$
c) $(2x + 4y)\cdot 3$	c) $(x + y + z) \cdot x$	c) $x^2 - y - 4 \cdot (y + \frac{5}{4}\cdot x^2)$
d) $3x \cdot (4x+3)$	d) $\frac{2}{5}x \cdot (\frac{3}{7}x + \frac{4}{6})$	d) $[6x-(3-2x)+3] - [x + (3\cdot 2x)]$

a) $30x^2$
b) $6x + 14$
c) $6x + 12y$

d) $12x^2 + 9x$

a) $6xy - 8x^2$
b) $-1\frac{2}{3} + y$
c) $x^2 + xy + xz$

d) $\frac{6}{35}x^2 + \frac{8}{30}$

a) $-2x^4 - 2y^4 + 2x^2 -2y^2$
b) $-x + y$
c) $6x^2 - 5y$

d) $x$

Aufgabe 4

Fasse die Terme durch Ausklammern zusammen, vereinfache dabei soweit wie möglich.

I	II	III
a) $18xy - 9x + 81x$	a) $6x +3x^2 -9xy$	a) $3xyz-9x^2y+12xy^2-6xy$
b) $6x + 3x^2$	b) $\frac{32x^2-16x-64xy}{8x}$	b) $-2x^4y^4 + 2x^2y^2 -2xy^2$
c) $12xy^2 - 2x^2y - xy$	c) $16yx + 36xy - 4yx$	c) $\frac{-3x^2y + 6x^3y^2}{6x^2y-3x^3y^3}$
d) $\frac{3x + 9x^2 - 12xy}{6x}$	d) $\frac{-2xy}{-8x^3y+6xy-2xy^3}$	d) $21xy + 14x^2y - 42xy^2 + 63 x^2y^2$

Überlege welche(n) Faktor/Faktoren du ausklammern kannst.

Achte bei Tipp 1 auf den größten gemeinsamen Teiler.

a) $9x \cdot (2y -1 +9) = 9x \cdot (2y +8)$
b) $3x \cdot (2+x)$
c) $xy (12y - 2x - 1)$

d) $3x \cdot (\frac{1+3x+4y}{2})$

a) $3x \cdot (3-3y)$
b) $8x \cdot (4x-2-8y)$
c) $4xy \cdot (4+9-1) = 48xy$

d) $2xy \cdot (\frac{-1}{-4x^2+3-y^2})$

a) $3xy \cdot (z-3x + 4y - 2)$
b) $2xy^2 (-x^3y^2+x-1)$
c) $3x^2y\cdot (\frac{-1+2xy}{2-xy^2})$

d) $7xy (3 + 2x -6y + 9xy)$

Aufgabe 5

Füge die zugehörigen Terme zusammen.

Gleichungen

In diesem Abschnitt kannst du trainieren, wie du lineare und quadratische Gleichungen aufstellst und löst. Falls du nicht mehr genau weißt, was eine Gleichung ist, lies dir die kurze Erklärung noch einmal durch:

Eine Gleichung ist eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens ("=") symbolisiert wird.

Gleichungen sind entweder wahr (5 = 5) oder falsch (5 = 6).

Beispiele:

$4 = 1 + 3$

$5x = 10$.

Aufgabe 6

Löse folgende Gleichungen:

I	II	III
a) $5x = 15$	a) $x + \frac{1}{2} = 2 - x$	a) $\frac{3}{4}x + \frac{3}{8} = \frac{x}{2}$
b) $20x = 10$	b) $x + 3 + 4x = 13$	b) $\frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 1$
c) $x + \frac{3}{4} = 1$	c) $\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{4}$	c) $x + \frac{3}{7} = - x - \frac{1}{10}$
d) $\frac{1}{2} x + 3 = 8$	d) $\frac{x}{2} + x = 6$

Bringe zunächst alle Terme mit x zusammen. Beispiel: $x - 1 = 2x$ wird zu $-1 = x$, indem du auf beiden Seiten $-x$ rechnest.

Falls du bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten hast, betrachte im Kapitel "Terme" die Aufgaben zum Ausklammern.

a) $x = 3$ b) $x = \frac{1}{2}$ c) $x = \frac{1}{4}$ d) $x = 10$

a) $x = \frac{3}{4}$ b) $x = 2$ c) $x = 3$ d) $x = 4$

a) $x = -\frac{1}{2}$ b) $x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$ c) $x = -\frac{37}{120}$

Aufgabe 7

Löse folgende Gleichungen:

I	II	III
a) $x^2 = 25$	a) $\frac{x^2}{4} = 16$	a) $x^2 - 2x + 4 = 0$
b) $x^2 - 2 = 14$	b) $x^2 - 6x = 27$	b) $\frac{x^2}{2} = x - \frac{3}{2}$
c) $x^2 = \frac{1}{4}$	c) $x^2 + 1 = 2x$
d) $x^2 - 10x + 24 = 0$

Gleichungen der Form $x^2 + px + q = 0$, wobei $p$ und $q$ für Zahlen stehen, kannst du mit der $p$ - $q$ - Formel lösen. Solltest du nicht mehr wissen, wie man mit der Formel arbeitet, kannst du dir das auf dieser Seite noch einmal anschauen: https://www.mathebibel.de/pq-formel

Bringe die Gleichung in die Form, in der du die $p$ - $q$ - Formel anwenden kannst.

a) $x = 5$ b) $x = 4$ c) $x = \frac{1}{2}$ d) x₁ = 6 ; x₂ = 4

a) $x = 8$ b) x₁ = 9 ; x₂ = -3 c) $x = 1$ (Es gibt nicht immer zwei Lösungen bei linearen Gleichungen!)

a) Diese Aufgabe hat keine Lösung (in den reellen Zahlen). b) x₁ = 3 ; x₂ = -1

Aufgabe 8

Linda hat aus 750g Ton 3 Vasen getöpfert, die alle gleich schwer sind. Stelle eine Gleichung auf, mit der man berechnen kann, wieviel jede einzelne der Vasen wiegt.

$3x = 750$

Aufgabe 10

Eva kauft sich bei einer Rabattaktion 3 Bücher für 12€. Wieviel hat sie für jedes einzelne Buch bezahlt?

Suche zunächst nach der Größe, die du suchst und wähle diese als Unbekannte $x$. In diesem Fall ist die unbekannte Größe der Preis eines einzelnen Buches.

Sie hat für jedes Buch 4€ bezahlt.

Aufgabe 11

Linda bezahlt bei ihrem Handytarif 13ct pro Minute oder SMS und hat letzten Monat 8,06€ bezahlt. Anna zahlt 3,90€ Grundgebühr, dafür nur 6ct pro Minute oder SMS. Sie hat letzten Monat 7,80€ bezahlt.

Wer hat im letzten Monat mehr telefoniert bzw. SMS geschickt? Berechne mithilfe von Gleichungen.

Linda hat 62 Minuten/SMS verbraucht und Anna 65. Die Gleichungen, mit denen man dies berechnen konnte, sehen so aus: Linda: $0,13x = 8,06$, Anna: $3,90 + 0,06x = 7,80$