Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1 Integralrechnung

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Rekonstruktion einer Größe

Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate gegeben, kannst du die Gesamtänderung der zugehörigen Größe bestimmen, indem du den orientierten Flächeninhalt (also mit Berücksichtigung, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt) bestimmen.
Häufige Änderungsraten und zugehörige Größen sind:

Der Graph der Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t ist gegeben. Dann lässt sich die zurückgelegte Strecke s mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
Der Graph des Zuflusses einer Flüssigkeit in Abhängigkeit von der Zeit t ist gegeben. Dann lässt sich das Volumen V mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
Der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit ist gegeben. Dann lässt sich die Größe mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
Der Graph der Temperaturänderung in Abhängigkeit von der Höhe ist gegeben. Dann lässt sich die Temperatur mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.

Übungen zur Rekonstruktion einer Größe

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 50 im Buch.

Die Fläche unter den Kurven gibt jeweils die zurückgelegte Strecke s an. Berechne also die Flächen.
a) Zerlege die Flächen in 3 Teilflächen: A₁ = A_Dreick; A₂ = A_Rechteck und A₃ = A_Dreieck
A = $\tfrac{g·h}{2} + a·b + \tfrac{g·h}{2}$
= $\tfrac{2·2}{2} + 1·2 + \tfrac{1·2}{2}$
= 5 (m)
Alternativ kannst du den Flächeninhalt auch mit der Formel für das Trapez bestimmen:
A_Trapez = $\tfrac{(a+c)h}{2}$ = $\tfrac{(4+1)2}{2}$ = 5 (m).

Löse b) und c) ebenso.

Bestimme jeweils den Flächeninhalt unter der Kurve, oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.

Lösung zur Testaufgabe 1:
a) Zerlege die Fläche in Teilflächen (waagerechte Linie ab 2), zu denen du einen Flächeninhaltsformel kennst, hier also ein Trapez und ein Dreieck.
A = A_Trapez + A_Dreieck
= $\tfrac{(8+6)2}{2}$ + $\tfrac{6·4}{2}$
= 14 + 12 = 26 (m³)
Da zu Beginn schon 10 m³ im Tank waren, sind es nun insgesamt 36 m². b) Pro Minute fließen 3 m³ aus dem Tank, bis 36 m³ herausgeflossen sind dauert es also:
36 : 3 = 12 (min).

Der Graph der Vertikalgeschwindigkeit (also nach oben/unten) in Abhängigkeit von der Zeit ist gegeben. Dann lässt sich die Höhe des Ballons mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
Dabei ist die Geschwindigkeit zu Beginn des Zeitraumes zu berücksichtigen.
Im ersten Zeitraum (von 0-5 Sekunden) steigt die Geschwindigkeit von 1 auf 2 $\tfrac{m}{s}$ , der Ballon steigt also immer schneller nach oben. Dann bleibt sie (von 5-10 s) konstant, der Ballon bewegt sich also mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit weiter aufwärts.
Im Zeitraum von 10 -15 s nimmt die Geschwindigkeit bis auf 0 ab, der Ballon bewegt sich also immer langsamer nach oben, bis er im Zeitraum von 15-20 Sekunden seine Höhe nicht mehr ändert, da die Geschwindigkeit hier 0 ist.
...

Im Zeitraum von 30 - 40 Sekunden steigt der Ballon immer langsamer, bei 35 s hat er seine größte Höhe erreicht, danach sinkt der Ballon wieder mit zunehmender Geschwindigkeit bis er im Zeitraum von 40-60 Sekunden mit gleichmäßiger Geschwindigkeit sinkt.

Um die Höhe des Ballons nach 60 Sekunden zu bestimmen, berechne den orientierten Flächeninhalt, den der Graph der Vertikalgeschwindigkeit mit der x-Achse einschließt. Zerlege dazu die Fläche in geeignete Teilflächen.

A = 7,5 + 15 + 10 - 22,5 = 10 (m)

Der Ballon befindet sich nach 60 Sekunden noch 10 m über seiner Höhe zu Beginn.

a) Zu bestimmen ist die Fläche a) Gesucht ist die Fläche unter der Kurve bis 90 Minuten vor Spielbeginn, als von 16.50 Uhr bis 17:30 Uhr. Diese Fläche ist ein Dreieck mit der Grundseite 40 (min) und der Höhe 100 (Personen pro Minute). Also A = $\tfrac{40 \cdot 100}{2}$ = 2000 (Personen).
Für die Anzahl der Personen bis 70 Minuten vor Spielbeginn addiere die Trapezfläche von 17:30 Uhr bis 17:50 Uhr dazu (oder Rechteck und Dreieck).
A = 2000 + $\tfrac{(100+200) \cdot 20}{2}$ = 2000 + 3000 = 5000 (Personen). Da der Einlass schon begonnen hat, werden pro Minute 200 Personen eingelassen, also insgesamt 20·200 = 4000 (Personen). Es warten also noch 5000 - 4000 = 1000 (Personen.)
b) In der Zeit von 17:50 Uhr bis 18:30 Uhr wird die maximale Einlassrate überschritten, hier müssen also noch Personen warten (zusätzlich zu den 1000 Personen von 17;50 Uhr). Berechne die Trapezfläche:
A = $\tfrac{(40+20) \cdot 50}{2}$ = 1500

Insgesamt warten also maximal 1000 (aus a)) + 1500 = 2500 (Personen).

Untersumme und Obersumme; Bestimmtes Integral

Integralschreibweise:

Übungen zur Integralschreibweise

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 54-57 im Buch.

1. Bestimme die Integrationsgrenzen: Von wo bis wo soll die Fläche berechnet werden?
2. Bestimme den Integrand: Von welcher Funktion soll die Flächen berechnet werden?
3. Bestimme das Differenzial
a) A = $\int\limits_{1}^{4} f(x) dx$
b) Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, berechne zunächst die Nullstellen der Funktion g(x).
g(x) ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die um 3 Einheiten entlang der y-Achse verschoben wurde, die Funktionsgleichung lautet also
g(x) = -x² + 3
Nullstellen: g(x) = 0
-x² + 3 = 0 |+x²
3 = x² | $\surd$
- $\sqrt{3}$ = x₁; $\sqrt{3}$ =x₂
A = $\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x) dx$
c) A = $\int\limits_{-4}^{-1} h(x) dx$

usw.

S. 54, Nr. 3 https://www.geogebra.org/classic/ccnzw5ng

S. 55, Nr. 4 https://www.geogebra.org/classic/nnrgeh2m

Interpretation: Die Pflanze ist nach 100 Tagen auf eine Größe von ca. 2,07 m gewachsen.

S. 55, Nr. 5a https://www.geogebra.org/m/rqhdk5nq

S. 55, Nr. 5b https://www.geogebra.org/m/awxfwjap

S. 55, Nr. 5c https://www.geogebra.org/m/rqmv8vhy

Stelle dir den Verlauf der Funktionsgraphen im Koordinatensystem vor. Verlaufen sie zwischen den Integrationsgrenzen oberhalb oder unterhalb der x-Achse?
a) f(x) = x² verläuft immer oberhalb der x-Achse, daher ist das Integral positiv.
b) f(x) = -x⁴ verläuft immer unterhalb der x-Achse, daher ist das Integral negativ.
c) f(x) = x³ verläuft symmetrisch links von der y-Achse unterhalb und rechts von der y-Achse oberhalb der x-Achse. Von -4 bis 0 ist mehr Fläche unterhalb der x-Achse als von 0-2 oberhalb, daher ist das Integral negativ.
d) f(x) = (x-2)² ist eine um 2 LE nach rechts verschobene Normalparabel, die Fläche ist immer oberhalb der x-Achse, daher ist das Integral positiv.

e) f(x) =

\sqrt{x-1}

ist die um 1 nach recht verschobene Wurzelfunktion und verläuft oberhalb der x-Achse, daher ist das Integral positiv.

S. 56, Nr. 11a https://www.geogebra.org/m/tracazj8

S. 56, Nr. 11b https://www.geogebra.org/m/nmbnu9ms

S. 56, Nr. 11c https://www.geogebra.org/m/htxsyfwc

S. 56, Nr. 11d https://www.geogebra.org/m/xaemqdvt

a) Mit dem Integral bestimmst du die Füllhöhe (in mm!) nach 10 Minuten. Die Integrationsgrenzen sind 0 und 10.

b) Das Volumen eines Prismas (Quader) wird berechnet mit V = G · h. Die Höhe entnimmst du Teil a), achte darauf, dass du die Höhe zunächst von der Einheit mm in m umwandelst. Das Ergebnis hat die Einheit m³.

Originallink https://www.geogebra.org/m/qtccvrtg

Du kannst dein Ergebnis mit dem Applet prüfen.

Originallink https://www.geogebra.org/m/huuz9tju

Originallink https://www.geogebra.org/m/yzw9pc8z

Originallink https://www.geogebra.org/m/j5vjjt9u

S. 57, Nr. 21a https://www.geogebra.org/m/rtmspkuk

S. 57, Nr. 21b https://www.geogebra.org/m/xyheyy73

S. 57, Nr. 21c https://www.geogebra.org/m/jjs83ka6

Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung

Stammfunktion skizzieren

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Tipps zu den Aufgaben S. 60-61

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Stammfunktion.

1 F(x) = $\tfrac{1}{2}$ x³
F'(x) = 3· $\tfrac{1}{2}$ x² = $\tfrac{3}{2}$ x³ , also Buchstabe E

Gehe bei den Ziffern 2-5 ebenso vor.

f(x) = 6x²
F(x) = 2x³ ist Stammfunktion von f(x), denn
F'(x) = 3·2x² = 6x² = f(x).
Hauptsatz der Integralrechung: $\int_a^b f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$
$\int\limits_{1}^{2} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_1^2$ = F(2) - F(1) = 2·2³ - 2·1³ = 16 - 2 = 14 (Flächeneinheiten).

b) Dieses Ergebnis bestätigt GeoGebra.

a) f(x) = 3x²; F(x) = $x^a$
F'(x) = a·x^a-1; a=3
b) f(x) = 2x; F(x) = x² - a
F'(x) = 2·x also darf a alle Werte annehmen, a ∈ ℝ

...

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Idee: Da F'(x) = f(X) gilt, beschreibt f(x) die jeweilige Steigung von F(x) an der Stelle x, also das Monotonieverhalten von F(x).
a) Der Graph von f schneidet die x-Achse zweimal. Das Monotonieverhalten von F(x) ändert sich also zweimal. An den Stellen, an denen F'(x) = f(x) das Vorzeichen wechselt.
F hat dort also zwei Extremstellen.
Bei x=0 wechselt F' vom negativen Bereich in den positiven, F fällt also zunächst und steigt dann, dort hat F also einen Tiefpunkt.
Bei x=5 wechselt F' vom positiven in den negativen Bereich, F steigt also zunächst und fällt dann, dort hat F also einen Hochpunkt.
b) Zerlege die Fläche unter dem Graphen in zwei Dreiecke (von x=0 bis x=1 und von x=4 bis x=5), in ein Rechteck von x=1 bis x=4 mit der Höhe 1 und ein Trapez von x=1 bis x=4 mit der Höhe 0,5.
A = $\tfrac{1}{2}$ ·1·1 + 3·1 + $\tfrac{1}{2}$ ·(3+1)·0,5 + $\tfrac{1}{2}$ ·1·1
A = 0,5 + 3 + 1 + 0,5
A = 5 (FE)

c)

Tipp zu S. 61, Nr. 6 I https://www.geogebra.org/m/c9anmg5a

Tipp zu S. 61, Nr. 6 II https://www.geogebra.org/m/fdqkpzuy

Tipp zu S. 61, Nr. 9 https://www.geogebra.org/m/kymjwc79

Interpretation des Integrals im Sachzusammenhang

Die Funktion f(t) beschreibt die Geschwindigkeit eines Gegenstandes im freien Fall (in

\tfrac{m}{s}

nach t Sekunden. Das Integral gibt also die zurückgelegte Strecke in Metern nach t Sekunden an.

Stammfunktion bilden

Stammfunktion bestimmen

Lies auf S. 63 den blauen Kasten mit den Regeln zur Bildung einer Stammfunktion.

Übungen zur Stammfunktion

Bearbeite die nachfolgenden LearningApp.

Tipps zu den Aufgaben S. 65-66

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Bestimmung der Stammfunktion.

S. 65, Nr. 1
a) f(x) = x; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$ ; F₂(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$ + 3 (+c, irgendeine Zahl)
b) f(x) = 2x; Faktorregel (2) und Potenzregel (x): F₁(x) = 2· $\tfrac{1}{2}x^2$ = x²; F₂(x) = 2· $\tfrac{1}{2}x^2$ = x² + 2
c) f(x) = x²; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ ; F₂(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ +6
d) f(x) = 3x²; Faktorregel (3) und Potenzregel (x²): F(x) = 3· $\tfrac{1}{3}x^3$ = x³
e) Potenzregel
f) Potenzregel
g) f(x) = 7; f(x) = 7 $x^0$ ; also F₁(x) = 7· $\tfrac{1}{1}x^1$ = 7x; ...
h) f(x) = 0; F(x) = 3 (allgemein c, irgendeine Zahl)
i) f(X) = x² + x; Summenregel und Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ + $\tfrac{1}{2}x^2$
j) Summenregel und Potenzregel
k) f(x) = 0,5x + 1; Summenregel, Faktorregel und Potenzregel: F₁(x) = 0,5· $\tfrac{1}{2}x^2$ + 1x; f₂(x) = ...

l) Summenregel, Faktorregel und Potenzregel

S. 65, Nr. 3 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) f(x) = 5
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 5x
A = $\int\limits_{10}^{20} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{10}^{20}$ = $\left[ 5x \right]_{10}^{20}$
= F(20) - F(10) = 5·20 - 5·10 = 100 - 50 = 50 FE (Flächeneinheiten)
b) f(x) = 2x
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 2· $\tfrac{1}{2}x^2$ = x²
A = $\int\limits_{0}^{3} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{0}^{3}$ = $\left[ x² \right]_{0}^{3}$
= F(3) - F(0) = 3² - 0² = 9 FE (Flächeneinheiten)

Löse c-f ebenso.

S. 65, Nr. 4 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) h(x) = -x²+1
Eine Stammfunktion von h(x) ist H(x) = - $\tfrac{1}{3}x^3$ + x
$\int\limits_{-1}^{1} h(x) dx$
= $\left[ H(x) \right]_{-1}^{1}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 + x \right]_{-1}^{1}$
= H(1) - H(-1)
= - $\tfrac{1}{3}·1^3$ + 1 - (- $\tfrac{1}{3}(-1)^3$ + (-1))
= $\tfrac{2}{3}$ - (- $\tfrac{2}{3}$ )
= $\tfrac{2}{3}$ + $\tfrac{2}{3}$
= $\tfrac{4}{3}$ FE (Flächeneinheiten)
b) k(x) = $\tfrac{3}{4}x^2$ - 3
Eine Stammfunktion von k(x) ist K(x) = $\tfrac{3}{4}·\tfrac{1}{3}x^3$ - 3x = $\tfrac{1}{4}x^3$ - 3x
$\int\limits_{-2}^{2} k(x) dx$
= $\left[ K(x) \right]_{-2}^{2}$
= $\left[ \tfrac{1}{4}x^3 - 3x \right]_{-2}^{2}$
= K(2) - K(-2)
= $\tfrac{1}{4}·2^3$ - 3·2 - ( $\tfrac{1}{4}·(-2)^3$ - 3·(-2))
= 2 - 6 - (-2 - (-6))
= -4 - 4
= -8 FE (Flächeneinheiten)
c) f(x) = $\tfrac{3}{2}x^3 - \tfrac{27}{8}x$
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{3}{2}·\tfrac{1}{4}x^4 - \frac{27}{8}·\tfrac{1}{2}x^2 = \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2$
$\int\limits_{-1,5}^{1,5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-1,5}^{1,5}$
= $\left[ \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2 \right]_{-1,5}^{1,5}$
= F(1,5) - F(-1,5)
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·(-1,5)^4 - \frac{27}{16}·(-1,5)^2$ ) =
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2$ )

= 0 FE (Flächeneinheiten)

S. 65, Nr. 5
a) f(x) = x²
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$
$\int\limits_{-2}^{5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-2}^{5}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{5}$
= F(5) - F(-2)
= $\tfrac{1}{3}·5^3$ - ( $\tfrac{1}{3}(-2)^3$ )
= $\tfrac{125}{3}$ - (- $\tfrac{8}{3}$ )
= $\tfrac{125}{3}$ + $\tfrac{8}{3}$
= $\tfrac{133}{3}$ = 44 $\tfrac{1}{3}$ FE (Flächeneinheiten)

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei mit Abmessungen größer als 12,5 MP

b) f(x) = - $\tfrac{1}{4}·x^4$
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = - $\tfrac{1}{4}·\tfrac{1}{5}·x^5$ = - $\tfrac{1}{20}·x^5$
...

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei mit Abmessungen größer als 12,5 MP

f(x) = $\tfrac{1}{9}x^2$
Stammfunktion: F(x) = $\tfrac{1}{9}\tfrac{1}{3}x^3 = \tfrac{1}{27}x^3$
$\int\limits_{0}^{3} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{0}^{3}$
= $\left[ \tfrac{1}{27}x^3 \right]_{0}^{3}$
= $\tfrac{1}{27}·3^3$ - ( $\tfrac{1}{27}·0^3$ )
= 1 - 0
= 1 (FE)
a) Bedeutung im Sachzusammenhang: x sind die Sekunden, f(x) die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde, dann gibt die Fläche unter dem Graphen von f die Strecke in Metern an, die bis zum Zeitpunkt x zurückgelegt wurde. Es wurde also eine Strecke in 3 Sekunden eine Strecke von 1 m zurückgelegt.
Tipp: Schau die Einheiten von x und f(x) an, sie helfen dir, die Bedeutung des Integrals herauszufinden.
<

b) Bedeutung im Sachzusammenhang: x sind die Stunden, f(x) die Veränderung der Körpertemperatur in °C pro Stunde, dann gibt die Fläche unter dem Graphen von f die Veränderung der Körpertemperatur in °C bis Zeitpunkt x an. Hier hat die Körpertemperatur in 3 Stunden also um 1°C zugenommen.

t sind die Anzahl der Tage, w(t) beschreibt das Wachstum in cm pro Tag, also bedeutet der Wert des Integrals das Wachstum im Zeitraum der ersten 100 Tage.

Stammfunktion: W(t) = 0,001·

\tfrac{1}{3}t^3

=

\tfrac{1}{3000}t^3

a) f(t) beschreibt die Zuflussrate. Um den Zeitpunkt der größten Zuflussrate zu ermitteln, muss das Extremum der Funktion bestimmt werden, also:
notwendige Bedingung für Extremstellen: f'(t) = 0
hinreichende Bedingung für Extremstellen: f"(t) $\gtrless$ 0
Bestimme die 1. und 2. Ableitung von f(t) und berechne die Extremstelle bzw. nutze ein MMS.
Lösung HP bei t₁ ≈ 2,79 HP(2,79|4,82); TP bei t₂ ≈ 9,21.
Randbetrachtung: f(0) = 0 < 4,82 und f(12) = 3 < 4,82. b) Stammfunktion F(t) = $\tfrac{1}{20}$ · $\tfrac{1}{4}$ t⁴ - $\tfrac{9}{10}$ · $\tfrac{1}{3}$ t³ + $\tfrac{77}{20}$ · $\tfrac{1}{2}$ t²
= $\tfrac{1}{80}$ t⁴ - $\tfrac{9}{30}$ t³ + $\tfrac{77}{40}$ t²
Bestimmen der Wassermenge im Tank nach 12 Tagen:
$\int\limits_{0}^{12} f(t) dt$
= $\left[ F(t) \right]_{0}^{12}$
= $\left[ \tfrac{1}{80}t^4 - \tfrac{9}{30}·t³ + \tfrac{77}{40}t² \right]_{0}^{12}$
= $\tfrac{1}{80}$ ·12⁴ - $\tfrac{9}{30}$ ·12³ + $\tfrac{77}{40}$ ·12² - ( $\tfrac{1}{80}$ ·0⁴ - $\tfrac{9}{30}$ ·0³ + $\tfrac{77}{40}$ ·0²)
= 18 - 0
= 18 (m³)
Da zu Beginn schon 4 m³ Wasser im Tank waren, sind nach 12 Tagen insgesamt 22 m³ Wasser im Tank.
c) Die Stammfunktion F(t) beschreibt die Wassermenge, die nach t Stunden im Tank hinzugekommen ist. Um die maximale Wassermenge im Tank zu bestimmen, müssen wir die Extremstellen der Stammfunktion (also die Nullstellen von f(t)) bestimmen.
Bestimme die Extremstellen von F(t) mit einer MMS:
t₁ = 7; t₂ = 11 Wegen des Vorzeichenwechsels von f(x) liegt bei t₁ = 7 ein Maximum vor und bei t₂ = 11 ein Minimum.
HP (7|21,44)

Randbetrachtung: F(0) = 0; F(12) = 18 < 21,44.

Die Funktion f(t) beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit einer Fichte in den ersten 30 Jahren (in Meter pro Jahr, t in Jahren).
a) f(10) gibt die Wachstumsgeschwindikgeit der Fichte im 10. Jahr an, also mit welcher Geschindigkeit wächst die Fichte in diesem Jahr.
b) Um die höchste Wachstumsgeschwindigkeit zu berechnen, musst du die Extremstellen von f(t) berechnen.
c) Um die Höhe der Fichte nach 30 Jahren zu berechnen, benötigst du zunächst das gesamte Wachstum in den 30 Jahren und addierst dazu die Anfangshöhe von 1m.
Berechne das Integral von 0 bis 30.

d) Die Stammfunktion beschreibt das Wachstum (in Metern) der Fichte nach t Jahren. Zu Beginn ist sie 1m groß, also muss sie noch 9 m wachsen, damit sie 10 m hoch ist. Gesucht ist also t für F(t) = 9.

f(x) = 2x
F(x) = 2· $\tfrac{1}{2}$ x² + c = x² + c
F(1) = 2, also
2 = 1² + c |-1 1 = c
F(x) = x² + 1

Gehe bei b) bis e) ebenso vor.

f(x) = 0,1(x²-1)(x-3)(x+4)
Um die Stammfunktion zu bilden, löse die Klammern auf (ausmultiplizieren).
f(x) = 0,1(x² - 1)(x - 3)(x + 4)
    = 0,1(x³ - 3x² - 1x + 3)(x + 4)
    = 0,1 ( $x^4$ + 4x³ - 3x³ - 12x² - x² - 4x + 3x + 12)
    = 0,1 ( $x^4$ + x³ -13x² - x + 12)
    = 0,1 $x^4$ + 0,1x³ -1,3x² - 0,1x + 1,2
In dieser Darstellung kannst du die Stammfunktion (wie immer) bilden.

Berechne dann den orientierten Flächeninhalt, indem du die Integrale jeweils mit den Nullstellen als Integrationsgrenzen berechnest.

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