Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1 Integralrechnung

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Rekonstruktion einer Größe

Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate gegeben, kannst du die Gesamtänderung der zugehörigen Größe bestimmen, indem du den orientierten Flächeninhalt (also mit Berücksichtigung, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt) bestimmen.
Häufige Änderungsraten und zugehörige Größen sind:

Der Graph der Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t ist gegeben. Dann lässt sich die zurückgelegte Strecke s mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
Der Graph des Zuflusses einer Flüssigkeit in Abhängigkeit von der Zeit t ist gegeben. Dann lässt sich das Volumen V mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
Der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit ist gegeben. Dann lässt sich die Größe mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
Der Graph der Temperaturänderung in Abhängigkeit von der Höhe ist gegeben. Dann lässt sich die Temperatur mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.

Übungen zur Rekonstruktion einer Größe

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 50 im Buch.

Die Fläche unter den Kurven gibt jeweils die zurückgelegte Strecke s an. Berechne also die Flächen.
a) Zerlege die Flächen in 3 Teilflächen: A₁ = A_Dreick; A₂ = A_Rechteck und A₃ = A_Dreieck
A = $\tfrac{g·h}{2} + a·b + \tfrac{g·h}{2}$
= $\tfrac{2·2}{2} + 1·2 + \tfrac{1·2}{2}$
= 5 (m)
Alternativ kannst du den Flächeninhalt auch mit der Formel für das Trapez bestimmen:
A_Trapez = $\tfrac{(a+c)h}{2}$ = $\tfrac{(4+1)2}{2}$ = 5 (m).

Löse b) und c) ebenso.

Bestimme jeweils den Flächeninhalt unter der Kurve, oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.

Lösung zur Testaufgabe 1:
a) Zerlege die Fläche in Teilflächen (waagerechte Linie ab 2), zu denen du einen Flächeninhaltsformel kennst, hier also ein Trapez und ein Dreieck.
A = A_Trapez + A_Dreieck
= $\tfrac{(8+6)2}{2}$ + $\tfrac{6·4}{2}$
= 14 + 12 = 26 (m³)
Da zu Beginn schon 10 m³ im Tank waren, sind es nun insgesamt 36 m². b) Pro Minute fließen 3 m³ aus dem Tank, bis 36 m³ herausgeflossen sind dauert es also:
36 : 3 = 12 (min).

Der Graph der Vertikalgeschwindigkeit (also nach oben/unten) in Abhängigkeit von der Zeit ist gegeben. Dann lässt sich die Höhe des Ballons mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
Dabei ist die Geschwindigkeit zu Beginn des Zeitraumes zu berücksichtigen.
Im ersten Zeitraum (von 0-5 Sekunden) steigt die Geschwindigkeit von 1 auf 2 $\tfrac{m}{s}$ , der Ballon steigt also immer schneller nach oben. Dann bleibt sie (von 5-10 s) konstant, der Ballon bewegt sich also mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit weiter aufwärts.
Im Zeitraum von 10 -15 s nimmt die Geschwindigkeit bis auf 0 ab, der Ballon bewegt sich also immer langsamer nach oben, bis er im Zeitraum von 15-20 Sekunden seine Höhe nicht mehr ändert, da die Geschwindigkeit hier 0 ist.
...

Im Zeitraum von 30 - 40 Sekunden steigt der Ballon immer langsamer, bei 35 s hat er seine größte Höhe erreicht, danach sinkt der Ballon wieder mit zunehmender Geschwindigkeit bis er im Zeitraum von 40-60 Sekunden mit gleichmäßiger Geschwindigkeit sinkt.

Um die Höhe des Ballons nach 60 Sekunden zu bestimmen, berechne den orientierten Flächeninhalt, den der Graph der Vertikalgeschwindigkeit mit der x-Achse einschließt. Zerlege dazu die Fläche in geeignete Teilflächen.

A = 7,5 + 15 + 10 - 22,5 = 10 (m)

Der Ballon befindet sich nach 60 Sekunden noch 10 m über seiner Höhe zu Beginn.

a) Zu bestimmen ist die Fläche a) Gesucht ist die Fläche unter der Kurve bis 90 Minuten vor Spielbeginn, als von 16.50 Uhr bis 17:30 Uhr. Diese Fläche ist ein Dreieck mit der Grundseite 40 (min) und der Höhe 100 (Personen pro Minute). Also A = $\tfrac{40 \cdot 100}{2}$ = 2000 (Personen).
Für die Anzahl der Personen bis 70 Minuten vor Spielbeginn addiere die Trapezfläche von 17:30 Uhr bis 17:50 Uhr dazu (oder Rechteck und Dreieck).
A = 2000 + $\tfrac{(100+200) \cdot 20}{2}$ = 2000 + 3000 = 5000 (Personen). Da der Einlass schon begonnen hat, werden pro Minute 200 Personen eingelassen, also insgesamt 20·200 = 4000 (Personen). Es warten also noch 5000 - 4000 = 1000 (Personen.)
b) In der Zeit von 17:50 Uhr bis 18:30 Uhr wird die maximale Einlassrate überschritten, hier müssen also noch Personen warten (zusätzlich zu den 1000 Personen von 17;50 Uhr). Berechne die Trapezfläche:
A = $\tfrac{(40+20) \cdot 50}{2}$ = 1500

Insgesamt warten also maximal 1000 (aus a)) + 1500 = 2500 (Personen).

Untersumme und Obersumme; Bestimmtes Integral

Integralschreibweise:

Übungen zur Integralschreibweise

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 54-57 im Buch.

1. Bestimme die Integrationsgrenzen: Von wo bis wo soll die Fläche berechnet werden?
2. Bestimme den Integrand: Von welcher Funktion soll die Flächen berechnet werden?
3. Bestimme das Differenzial
a) A = $\int\limits_{1}^{4} f(x) dx$
b) Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, berechne zunächst die Nullstellen der Funktion g(x).
g(x) ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die um 3 Einheiten entlang der y-Achse verschoben wurde, die Funktionsgleichung lautet also
g(x) = -x² + 3
Nullstellen: g(x) = 0
-x² + 3 = 0 |+x²
3 = x² | $\surd$
- $\sqrt{3}$ = x₁; $\sqrt{3}$ =x₂
A = $\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x) dx$
c) A = $\int\limits_{-4}^{-1} h(x) dx$

usw.

S. 54, Nr. 3 https://www.geogebra.org/classic/ccnzw5ng

S. 55, Nr. 4 https://www.geogebra.org/classic/nnrgeh2m

Interpretation: Die Pflanze ist nach 100 Tagen auf eine Größe von ca. 2,07 m gewachsen.

S. 55, Nr. 5a https://www.geogebra.org/m/rqhdk5nq

S. 55, Nr. 5b https://www.geogebra.org/m/awxfwjap

S. 55, Nr. 5c https://www.geogebra.org/m/rqmv8vhy

Stelle dir den Verlauf der Funktionsgraphen im Koordinatensystem vor. Verlaufen sie zwischen den Integrationsgrenzen oberhalb oder unterhalb der x-Achse?
a) f(x) = x² verläuft immer oberhalb der x-Achse, daher ist das Integral positiv.
b) f(x) = -x⁴ verläuft immer unterhalb der x-Achse, daher ist das Integral negativ.
c) f(x) = x³ verläuft symmetrisch links von der y-Achse unterhalb und rechts von der y-Achse oberhalb der x-Achse. Von -4 bis 0 ist mehr Fläche unterhalb der x-Achse als von 0-2 oberhalb, daher ist das Integral negativ.
d) f(x) = (x-2)² ist eine um 2 LE nach rechts verschobene Normalparabel, die Fläche ist immer oberhalb der x-Achse, daher ist das Integral positiv.

e) f(x) =

\sqrt{x-1}

ist die um 1 nach recht verschobene Wurzelfunktion und verläuft oberhalb der x-Achse, daher ist das Integral positiv.

S. 56, Nr. 11a https://www.geogebra.org/m/tracazj8

S. 56, Nr. 11b https://www.geogebra.org/m/nmbnu9ms

S. 56, Nr. 11c https://www.geogebra.org/m/htxsyfwc

S. 56, Nr. 11d https://www.geogebra.org/m/xaemqdvt

a) Mit dem Integral bestimmst du die Füllhöhe (in mm!) nach 10 Minuten. Die Integrationsgrenzen sind 0 und 10.

b) Das Volumen eines Prismas (Quader) wird berechnet mit V = G · h. Die Höhe entnimmst du Teil a), achte darauf, dass du die Höhe zunächst von der Einheit mm in m umwandelst. Das Ergebnis hat die Einheit m³.

Originallink https://www.geogebra.org/m/qtccvrtg

Du kannst dein Ergebnis mit dem Applet prüfen.

Originallink https://www.geogebra.org/m/huuz9tju

S. 57, Nr. 21a https://www.geogebra.org/m/rtmspkuk

S. 57, Nr. 21b https://www.geogebra.org/m/xyheyy73

S. 57, Nr. 21c https://www.geogebra.org/m/jjs83ka6

Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung

Stammfunktion skizzieren

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Tipps zu den Aufgaben S. 60-61

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Stammfunktion.

1 F(x) = $\tfrac{1}{2}$ x³
F'(x) = 3· $\tfrac{1}{2}$ x² = $\tfrac{3}{2}$ x³ , also Buchstabe E

Gehe bei den Ziffern 2-5 ebenso vor.

f(x) = 6x²
F(x) = 2x³ ist Stammfunktion von f(x), denn
F'(x) = 3·2x² = 6x² = f(x).
Hauptsatz der Integralrechung: $\int_a^b f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$
$\int\limits_{1}^{2} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_1^2$ = F(2) - F(1) = 2·2³ - 2·1³ = 16 - 2 = 14 (Flächeneinheiten).

b) Dieses Ergebnis bestätigt GeoGebra.

a) f(x) = 3x²; F(x) = $x^a$
F'(x) = a·x^a-1; a=3
b) f(x) = 2x; F(x) = x² - a
F'(x) = 2·x also darf a alle Werte annehmen, a ∈ ℝ

...

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Idee: Da F'(x) = f(X) gilt, beschreibt f(x) die jeweilige Steigung von F(x) an der Stelle x, also das Monotonieverhalten von F(x).
a) Der Graph von f schneidet die x-Achse zweimal. Das Monotonieverhalten von F(x) ändert sich also zweimal. An den Stellen, an denen F'(x) = f(x) das Vorzeichen wechselt.
F hat dort also zwei Extremstellen.
Bei x=0 wechselt F' vom negativen Bereich in den positiven, F fällt also zunächst und steigt dann, dort hat F also einen Tiefpunkt.
Bei x=5 wechselt F' vom positiven in den negativen Bereich, F steigt also zunächst und fällt dann, dort hat F also einen Hochpunkt.
b) Zerlege die Fläche unter dem Graphen in zwei Dreiecke (von x=0 bis x=1 und von x=4 bis x=5), in ein Rechteck von x=1 bis x=4 mit der Höhe 1 und ein Trapez von x=1 bis x=4 mit der Höhe 0,5.
A = $\tfrac{1}{2}$ ·1·1 + 3·1 + $\tfrac{1}{2}$ ·(3+1)·0,5 + $\tfrac{1}{2}$ ·1·1
A = 0,5 + 3 + 1 + 0,5
A = 5 (FE)

c)

Tipp zu S. 61, Nr. 6 I https://www.geogebra.org/m/c9anmg5a

Tipp zu S. 61, Nr. 6 II https://www.geogebra.org/m/fdqkpzuy

Tipp zu S. 61, Nr. 9 https://www.geogebra.org/m/kymjwc79

Stammfunktion bilden

Stammfunktion bestimmen

Lies auf S. 63 den blauen Kasten mit den Regeln zur Bildung einer Stammfunktion.

Übungen zur Stammfunktion

Bearbeite die nachfolgenden LearningApp.

Tipps zu den Aufgaben S. 65-66

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Bestimmung der Stammfunktion.

S. 65, Nr. 1
a) f(x) = x; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$ ; F₂(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$ + 3 (+c, irgendeine Zahl)
b) f(x) = 2x; Faktorregel (2) und Potenzregel (x): F₁(x) = 2· $\tfrac{1}{2}x^2$ = x²; F₂(x) = 2· $\tfrac{1}{2}x^2$ = x² + 2
c) f(x) = x²; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ ; F₂(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ +6
d) f(x) = 3x²; Faktorregel (3) und Potenzregel (x²): F(x) = 3· $\tfrac{1}{3}x^3$ = x³
e) Potenzregel
f) Potenzregel
g) f(x) = 7; f(x) = 7 $x^0$ ; also F₁(x) = 7· $\tfrac{1}{1}x^1$ = 7x; ...
h) f(x) = 0; F(x) = 3 (allgemein c, irgendeine Zahl)
i) f(X) = x² + x; Summenregel und Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ + $\tfrac{1}{2}x^2$
j) Summenregel und Potenzregel
k) f(x) = 0,5x + 1; Summenregel, Faktorregel und Potenzregel: F₁(x) = 0,5· $\tfrac{1}{2}x^2$ + 1x; f₂(x) = ...

l) Summenregel, Faktorregel und Potenzregel

S. 65, Nr. 3 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) f(x) = 5
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 5x
A = $\int\limits_{10}^{20} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{10}^{20}$ = $\left[ 5x \right]_{10}^{20}$
= F(20) - F(10) = 5·20 - 5·10 = 100 - 50 = 50 FE (Flächeneinheiten)
b) f(x) = 2x
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 2· $\tfrac{1}{2}x^2$ = x²
A = $\int\limits_{0}^{3} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{0}^{3}$ = $\left[ x² \right]_{0}^{3}$
= F(3) - F(0) = 3² - 0² = 9 FE (Flächeneinheiten)

Löse c-f ebenso.

S. 65, Nr. 4 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) h(x) = -x²+1
Eine Stammfunktion von h(x) ist H(x) = - $\tfrac{1}{3}x^3$ + x
$\int\limits_{-1}^{1} h(x) dx$
= $\left[ H(x) \right]_{-1}^{1}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 + x \right]_{-1}^{1}$
= H(1) - H(-1)
= - $\tfrac{1}{3}·1^3$ + 1 - (- $\tfrac{1}{3}(-1)^3$ + (-1))
= $\tfrac{2}{3}$ - (- $\tfrac{2}{3}$ )
= $\tfrac{2}{3}$ + $\tfrac{2}{3}$
= $\tfrac{4}{3}$ FE (Flächeneinheiten)
b) k(x) = $\tfrac{3}{4}x^2$ - 3
Eine Stammfunktion von k(x) ist K(x) = $\tfrac{3}{4}·\tfrac{1}{3}x^3$ - 3x = $\tfrac{1}{4}x^3$ - 3x
$\int\limits_{-2}^{2} k(x) dx$
= $\left[ K(x) \right]_{-2}^{2}$
= $\left[ \tfrac{1}{4}x^3 - 3x \right]_{-2}^{2}$
= K(2) - K(-2)
= $\tfrac{1}{4}·2^3$ - 3·2 - ( $\tfrac{1}{4}·(-2)^3$ - 3·(-2))
= 2 - 6 - (-2 - (-6))
= -4 - 4
= -8 FE (Flächeneinheiten)
c) f(x) = $\tfrac{3}{2}x^3 - \tfrac{27}{8}x$
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{3}{2}·\tfrac{1}{4}x^4 - \frac{27}{8}·\tfrac{1}{2}x^2 = \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2$
$\int\limits_{-1,5}^{1,5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-1,5}^{1,5}$
= $\left[ \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2 \right]_{-1,5}^{1,5}$
= F(1,5) - F(-1,5)
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·(-1,5)^4 - \frac{27}{16}·(-1,5)^2$ ) =
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2$ )

= 0 FE (Flächeneinheiten)

S. 65, Nr. 5
a) f(x) = x²
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$
$\int\limits_{-2}^{5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-2}^{5}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{5}$
= F(5) - F(-2)
= $\tfrac{1}{3}·5^3$ - ( $\tfrac{1}{3}(-2)^3$ )
= $\tfrac{125}{3}$ - (- $\tfrac{8}{3}$ )
= $\tfrac{125}{3}$ + $\tfrac{8}{3}$
= $\tfrac{133}{3}$ = 44 $\tfrac{1}{3}$ FE (Flächeneinheiten)