Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Natürliche Zahlen

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Zahlen begegnen dir jeden Tag: Mitglieder einer AG, Besucher im Stadion, verkaufte Handys. Das sind „natürliche“ Zahlen. Wenn du loszählst, 0, 1, 2, 3 und so weiter, erhältst du die natürlichen Zahlen.

In diesem Lernpfadkapitel widmen wir uns den natürlichen Zahlen.

In diesem Kapitel wiederholst du ...

• ... schriftliches Addieren und Subtrahieren natürlicher Zahlen
• ... Fachbegriffe und Rechengesetze für die Addition und Subtraktion
• ... schriftliches Multiplizieren und Dividieren natürlicher Zahlen
• ... Fachbegriffe und Rechengesetze für die Multiplikation und Division

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Addieren und Subtrahieren von natürlichen Zahlen

Fachbegriffe und Rechengesetze

Merksatz zu Fachbegriffen

Addition

Subtraktion

(**) Aufgabe 1: Fachbegriffe zur Addition und Subtraktion

Aufgabenstellung: Gib an, welches Rechengesetz dargestellt wird. Nutze dafür die Buchstaben im unteren Kasten, um die Lücken auszufüllen

Merksatz Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)

Das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) besagt: Beim Addieren kannst du die Summanden vertauschen. Das Ergebnis bleibt gleich. Beispiel: 83 + 92 =92 + 83

Vorsicht bei der Subtraktion

Untersuche das Vertauschen bei der Subtraktion.

Beispiel:

100 - 50 + 45 = 95

100 - 45 + 50 = 105

Also ist 100 - 50 + 45 nicht das gleiche wie 100 - 45 + 50.

Beim Subtrahieren kannst du Minuend und Subtrahend nicht vertauschen. Das Vertauschen von Subtrahend und Minuend führt nicht zum richtigen Ergebniss.

Merksatz Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz)

Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) besagt: Beim Addieren kannst du beliebig Klammern setzen oder weglassen. Das Ergebnis bleibt gleich. (Hinweis: Du rechnest zuerst die Klammer wegen Klammer vor Punkt vor Strich aus).

Beispiel:

26 + 73 + 37 = (26 + 73) + 37

26 + 73 + 37 = 26 + (73 + 37)

Vorsicht bei der Subtraktion

Untersuche das Setzen von Klammern bei der Subtraktion.

Beispiel:

(123 - 73) - 27 = 50 - 27 = 23

123 - (73 - 27) = 123 - 46 = 77

Also ist (123 - 73) - 27 nicht das gleiche wie 123 - (73 - 27).

Beim Subtrahieren kannst du nicht beliebig Klammern setzen. Das Setzen von Klammern bei der Subtraktion führt zu unterschiedlichen Ergebnissen.

(**) Aufgabe 2: Die Rechengesetze

Schriftliche Addition von natürlichen Zahlen

Merksatz zur schriftlichen Addition

Die schriftliche Addition hilft dir, größere und mehrere Zahlen zu addieren.

Schreibe die Zahlen immer stellengerecht untereinander:

Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, ...

Es gibt zwei verschiedene Arten der schriftlichen Addition:

• Die Addition ohne Übertrag

• Die Addition mit Übertrag

Die Addition ohne Übertrag

Du beginnst mit der Addition rechts.

Beispiel:

Die Addition mit Übertrag

Du beginnst wieder rechts mit der Addition.

Beispiel:

(*) Aufgabe 3: Schriftliches Addieren mit großen Zahlen

Schriftliche Subtraktion von natürlichen Zahlen

Merksatz zur schriftlichen Subtraktion

Die schriftliche Subtraktion hilft dir, größere und mehrere Zahlen zu subtrahieren.

Schreibe die Zahlen immer stellengerecht untereinander:

Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, ...

Es gibt zwei verschiedene Arten der schriftlichen Subtraktion:

• Die Subtraktion ohne Übertrag

• Die Subtraktion mit Übertrag

Die Subtraktion ohne Übertrag

Du beginnst mit der Subtraktion rechts. Die untere Zahl wird dabei zur oberen Zahl ergänzt.

Beispiel:

Die Subtraktion mit Übertrag

Du beginnst wieder rechts mit der Subtraktion.

Beispiel:

(*) Aufgabe 4: Schriftliches Subtrahieren

Schaue für eine weiterführende Aufgabenstellung dein Arbeitsblatt an.

Gemischte Aufgaben (Addition, Subtraktion, Fachbegriffe)

Hinweis: Verfahren bei Textaufgaben

Suche bei Anwendungsaufgaben nach Signalwörtern. Übersetze den Text in eine Rechnung, rechne aus und schreibe einen Antwortsatz in dein Heft.

Diese Signalwörter sagen dir, dass du subtrahierst:

• vermindert
• weniger
• Abnahme
• wegnehmen
• verringern
• abziehen

Diese Signalwörter sagen dir, dass du addierst:

• vermehrt
• mehr
• Zuwachs
• dazu
• hinzufügen

(**) Aufgabe 5: Laufen

Bearbeite folgende Aufgabenstellung auf deinem Arbeitsblatt:

Aysen trainiert und läuft dreimal in der Woche. Am Montag läuft sie 2 km, dazu kommen am Mittwoch 3 km, aber am Freitag kommt weniger dazu als zuvor, nur 800 m. Wie viel ist sie am Ende der Woche gelaufen?

1. Überlege zuerst: Welche Einheiten (z.B. Meter, Kilometer) kommen in der Aufgabe vor?

2. Wandel die Einheiten der Strecken in eine sinnvolle und gemeinsame Einheit um. D.h. notiere die einzelnen zurückgelegten Strecken von Aysen in Metern, Kilometern...

3. Jetzt kannst du alle Werte ganz einfach miteinander addieren.

4. Gib das Ergebnis in Metern, also m, an.

Rechnung: 2 km + 3 km + 800 m = 2000 m + 3000 m + 800 m = 5800 m

Aysen ist am Ende der Woche insgesamt 5800 m, also 5,8 km gelaufen.

(***) Aufgabe 6: Knobelaufgabe

Multiplizieren und Dividieren von natürlichen Zahlen

(*) Aufgabe 1: Multiplikation Pferderennen

(*) Aufgabe 2: Division Zuordnen

Fachbegriffe und Rechengesetze

Merksatz zu den Fachbegriffen der Multiplikation und Division

Multiplizieren oder "mal rechnen" bedeutet, dass du eine Zahl mehrmals addierst. Zum Beispiel, wenn du 3•4 rechnest, bedeutet das, dass du die Zahl 3 viermal addierst. Also: 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Das ist das Ergebnis von 3•4. Das Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation und das Vielfache ist das Ergebnis der Multiplikation einer Zahl mit einer anderen ganzen Zahl.

Division oder "geteilt durch rechnen" bedeutet, dass du etwas in gleich große Teile aufteilst. Stell dir vor, du hast 12 Gummibärchen und möchtest sie auf 3 Freunde aufteilen. Du würdest 12 durch 3 teilen, um herauszufinden, wie viele Gummibärchen jeder Freund bekommt. In diesem Fall würden alle 3 Freunde Gummibärchen bekommen, weil 12 : 3 = 4. Das ist die Division! Es hilft uns, Dinge fair aufzuteilen. Der Divisor ist die Zahl, durch die du teilst und der Quotient ist das Ergebnis, wenn du Zahlen miteinander teilst. Achtung: Du darfst nicht durch Null teilen!

(*) Aufgabe 3: Fachbegriffe zur Multiplikation und Division

(**) Aufgabe 4: Vorteilhaftes Rechnen

Rechne vorteilhaft, indem du das Vertauschungsgesetz anwendest und notiere deine Ergebnisse im Heft:

$4\cdot9\cdot5=$

$15\cdot7\cdot2=$

$2\cdot7\cdot4=$

$5\cdot7\cdot5=$

Rechnungen:

$4\cdot9\cdot5=4\cdot5\cdot9=20\cdot9=180$

$15\cdot7\cdot2=15\cdot2\cdot7=30\cdot7=210$

$2\cdot7\cdot4=2\cdot4\cdot7=8\cdot7=56$

$5\cdot7\cdot5=5\cdot5\cdot7=25\cdot7=175$

Merksatz Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)

Das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) besagt: Beim Multiplizieren kannst du die Faktoren vertauschen. Das Ergebnis bleibt gleich. Beispiel: $7\cdot8=8\cdot7$

Vorsicht bei der Division

Untersuche das Vertauschen bei der Division.

Beispiel:

$1\div2=0,5\neq2=2\div1$

Also ist $1\div2=0,5$ nicht das gleiche wie $2\div1=2$.

Beim Dividieren kannst du Dividend und Divisor nicht vertauschen. Das Vertauschen von Dividend und Divisor führt nicht zum richtigen Ergebniss.

Merksatz Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz)

Das Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) besagt: Beim Multiplizieren kannst du beliebig Klammern setzen oder weglassen. Das Ergebnis bleibt gleich. (Hinweis: Du rechnest zuerst die Klammer wegen Klammer vor Punkt vor Strich aus).

Beispiel:

$6\cdot5\cdot8=240$

$(6\cdot5)\cdot8=30\cdot8=240$

$6\cdot(5\cdot8)=6\cdot40=240$

Vorsicht bei der Division

Untersuche das Setzen von Klammern bei der Division.

Beispiel:

$(50\div10)\div5=5\div5=1$

$50\div(10\div5)=50\div2=25$

Also ist $(50\div10)\div5$ nicht das gleiche wie $50\div(10\div5)$.

Beim Dividieren kannst du nicht beliebig Klammern setzen. Das Setzen von Klammern bei der Division führt zu unterschiedlichen Ergebnisse.

Schriftliche Multiplikation von natürlichen Zahlen

Merksatz schriftliches Multiplizieren

Für schriftliches Multiplizieren werden wir unsere Faktoren in Einer, Zehner und Hunderter (ggf. auch Tausender und höher, falls die Aufgabe dies verlangt) zerlegen. Die schriftliche Multiplikation basiert dann darauf, die einzelnen Ziffern zu multiplizieren und die Ergebnisse schließlich zu addieren.

Wichtig:

1) Wir rechnen von hinten nach vorne

2) Beginne mit der rechten Ziffer der hinteren Zahl (der Einerstelle) und multipliziere sie mit jeder Ziffer der vorderen Zahl

(***) Aufgabe 5: Schriftliches Multiplizieren mit großen Zahlen

Multipliziere schriftlich mithilfe der App.

Schriftliche Division von natürlichen Zahlen

Merksatz schriftliches Dividieren

Vorgehen:

1)Du teilst die Ziffer der linken Zahl durch die rechte Zahl (Divisor ) und schreibst das Ergebnis hinter das Gleichheitszeichen.

2) Du multiplizierst das Teilergebnis mit dem Divisor und schreibst es mit Minus unter linke Zahl.

3) Du subtrahierst (Minus-Rechnen)

4) Du holst die weiteren Ziffern "herunter" und wiederholst die Schritte

(**) Aufgabe 6: Schriftliches Dividieren mit großen Zahlen

Dividiere schriftlich mithilfe der App.

Gemischte Aufgaben (Multiplikation, Division, Fachbegriffe)

Hinweis: Verfahren bei Textaufgaben

Suche bei Anwendungsaufgaben nach Signalwörtern. Übersetze den Text in eine Rechnung, rechne aus und schreibe einen Antwortsatz in dein Heft.

Diese Signalwörter sagen dir, dass du multiplizierst:

• ...mal so viel
• das ...-fache
• multiplizieren
• verdoppeln
• vervielfachen
• je

Diese Signalwörter sagen dir, dass du dividierst:

• aufteilen
• halbieren
• austeilen
• durch
• dividieren

(**) Aufgabe 7: Erkennen von Signalwörtern der Multiplikation und Division

Schau dir dein Arbeitsblatt für die weiterführende Aufgabe an.

(**) Aufgabe 8: Ein Ausflug zum Möhnesee

Bearbeite folgende Aufgabenstellung auf deinem Arbeitsblatt: Tom, Karl, Tina, Cleo, Max, Sophia und Sarah wollen sich für einen Ausflug zum Möhnesee im Sauerland ein Schlauchboot kaufen. Für das Schlauchboot müssen sie zusammen 371€ bezahlen. Den Preis möchten die Freunde untereinander aufteilen. Wie viel muss jede bzw. jeder zahlen?

Schaue nochmal bei den Signalwörtern nach, auf welche Grundrechenart das Wort "aufteilen" hindeutet.

Rechnung: $371\div7=53$

Jede bzw. jeder muss 53€ bezahlen.

(***) Aufgabe 9: Wer wird Multiplikations- und Divisionsmeister?

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