Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik10/Potenzfunktionen

Einstieg ins Thema

    Wiederholung Potenzgesetze

Höre Dir zum Einstieg mal den Song zu den Potenzgesetzen an

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    Lernpfad aus Österreich

Wer sich tiefgründig in die Potenzgesetze einarbeiten will, klickt den Link an und arbeitet dort die Seiten durch.
Lernpfad Potenzgesetze

Der Pfad enthält auch Material zum neuen Thema Potenzfunktionen

Potenzgesetze

    Potenzgesetze

Für alle a, b $\in \R$ und für alle n, m $\in \N$ gilt:


$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$
$a^m : a^n = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{m\cdot n}$
$(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n$

$(\dfrac {a}{b})^n = \frac {a^n}{b^n}$

Übung: Finde passende Pärchen.

Wissensquiz

Potenzgesetze wörtlich formulieren.

Hier findest Du eine ganze Sammlung von Übungen.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

$Berechne \qquad 3^{-4}.$

$\frac {1}{81}$

Aufgabe 2

$Berechne \qquad (-2)^5.$

$-32$

Aufgabe 3

$Berechne \qquad (\sqrt{3}-\sqrt{27}) \cdot \sqrt{3}.$

$-6$

Aufgabe 4

$Berechne \qquad a^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{ a} .$

$a$

Aufgabe 5

$Berechne \qquad 6^{\frac{2}{5}} \cdot 6^{-\frac{4}{10}} .$

$1$

Aufgabe 6

Gib als eine Potenz an und berechne.

$7^8 : 7^6$

$49$

Aufgabe 7

Gib als eine Potenz an und berechne.

$\frac{3^4}{3^4 \cdot 3^2}$

$\frac{1}{9}$

Aufgabe 8

Gib als eine Potenz an und berechne.

$\begin{pmatrix} a^{-\frac{4}{9}} \end{pmatrix}^{\frac{3}{4}}$

$a^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{ a}}$

Aufgabe 9

Gib als eine Potenz an und berechne.

$\sqrt[6]{9^7} : \sqrt[3]{9^2}$

$\sqrt{9}=3$

Aufgabe 10

Gib als eine Potenz an und berechne.

$4,2^{3} : 0,7^{3}$

$6^3 = 216$

Die Potenzfunktionen

    Allgemeines

Eine Potenzfunktion hat allgemein folgende Funktionsgleichung im einfachsten Fall:
$y=f(x)=x^n$
Oft tritt als Exponent die 2 auf, dann handelt es sich um eine quadratische Funktion $y=f(x)=x^2$.
Wichtige Sonderfälle sind aber auch die beiden Funktionen $y=f(x)=x^0=1$ (konstante Funktion) und $y=f(x)=x^1$ (lineare Funktion).

Wurzelfunktionen lassen sich ebenfalls als Potenzfunktion mit rationalem Exponenten auffassen.

Eigenschaften der Potenzfunktionen $y=f(x)=x^n$

    Einstiegsvideo

Hier erfährst Du wie Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten aussehen.

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    Übung

In dieser Übung kannst Du den Inhalt des Videos selbst noch einmal ausprobieren.
Du kannst auch den Exponenten nicht ganzzahlig setzen.

Übung 1: Zuordnungsübung

Versuche nun Funktionsgleichungen ihren Grafen zu zuordnen.

Eigenschaften der Funktion $y=f(x)=a \cdot x^n$

    Überblicksvideo

Hier werden wesentliche Eigenschaften erklärt.

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Übung 2: Eigenschaften von Potenzfunktionen

Gib für die einzelnen Funktionen ihre Eigenschaften an. Beachte den Hinweis am Anfang der Übung

    Zusammenfassung im Video

In diesem Video fasst Simon Brückner (auf Vimeo) viel Wissenswertes zusammen.

Das Video

Lösen von Potenzgleichungen

    Begriffserklärung

Gleichungen der Form $x^n=a$ bezeichnen wir als Potenzgleichungen
Dabei unterscheiden wir zunächst zwischen geraden und ungeraden Exponenten n.
Für gerade $n = \isin \N^*$hat die Gleichung $x^n=a$ die Lösungen

1. $\sqrt[n]{a} \; und -\sqrt[n]{a}, wenn a > 0$
   
2. 0, wenn a = 0
   
3. keine Lösung, wenn a < 0
   

    Überblicksvideo

Lösungen von Potenzgleichungen.

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Übung 1:

Anzahl der Lösungen gesucht

Übung 2:

Richtige Reihenfolge angeben

Beispiele

Löse die Gleichung.

$5x^3-20 = 7-3x^3$

$2x^3=27$

$x^3=13,5$

$x \approx 2,38$

Löse die Gleichung.

$5x^4 + 32 = 3x^4$

$2x^4=-32$

$x^4=-16$

keine Lösungen