Benutzer:L.hodankov/Wurzeln

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1) Potenzen: Definition
2) Potenzgesetze
3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise
4) Wurzeln: Definition

5) Rechnen mit Quadratwurzeln

SEITE IM AUFBAU!!

4 Wurzeln/Quadratwurzeln - Definition

4.1 Wurzeln - Einführung

Quadratwurzel - Einführung

Ziehe den Schieberegler im nachfolgenden GeoGebra-Applet und bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft:
a) Gib die jeweilige Seitenlänge und den Flächeninhalt der Quadrate an bis zum Flächeninhalt 100 Kästchen.
b) Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 169 Kästchen. Wie lang ist eine Seite?

c) Kannst du Quadrate mit dem Flächeninhalt von 2 Kästchen (3 Kästchen) zeichnen?

4.2 (Quadrat)wurzel - Definition

(Quadrat)wurzel - Definition

Die Quadratwurzel $\sqrt{b}$ aus einer positiven Zahl b ist die positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert b ergibt:

a² = b und
a = $\sqrt{b}$

Fachbegriffe:

Teste dich:

Wiederholung Quadratzahlen:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400

25² = 625

Übung 1 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• Nr. 2 - 11
• Nr. 13 - 17

Jetzt bist du fit für weitere Aufgaben:

Übung 2(*)

Löse die Aufgaben bei Learningapps.

Übung 3(**)

Löse die Aufgaben vom AB... .

Übung 4(***)

Löse im Heft die Aufgaben aus dem Buch

• S. 76 Nr. 14
• S. 76 Nr. 15

Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 Quadraten:
O = 6a²
24 = 6a²  |:6
4 = a²  |$\surd$

...

Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus nur 10 Quadraten, denn zwei Flächen innen berühren sich. Rechne dann wie in Aufgabe a)

Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus 26 Quadraten, da nur die außen liegenden Quadrate gezählt werden.

Wenn 100 Quader in eine Reihe gelegt werden, entstehen 4∙100 + 2 = 402 quadratische Flächen mit dem Flächeninhalt a². Es gilt also O = 402a².

Bestimme nun die Kantenlänge a und berechne damit das Volumen.

Zähle die Quadratflächen, die zur Oberfläche gehören.
Lösung zu a) 22 Quadrate

b) 50 Quadrate

4.3 Irrationale Zahlen - Bestimmen von Quadratwurzeln

Quadratwurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahl sind, lassen sich nur annähern.
So liegt z.B. der Wert von $\sqrt{2}$ im Intervall [1;2], also zwischen und 1 und 2, denn 1² < 2 < 2².
Dieses Intervall kannst du verkleinern, um den Wert von $\sqrt{2}$ auf mehrere Nachkommastellen anzunähern. Das nachfolgende Applet verdeutlicht dieses Vorgehen, die sogenannte Intervallschachtelung:

(Applet von W. Wengler)


$\sqrt{2}$ hat unendlich viele Nachkommaziffern, die nie periodisch werden. Man kann diese Zahl also nicht als Bruch darstellen.

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die nicht periodisch werden. Quadratwurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.

Den meisten ist es zwar egal, doch $\sqrt{2}$ ist irrational...

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Nährerungsweises Bestimmen von Quadratwurzeln

Du kannst durch Annäherung feststellen, zwischen welchen natürlichen Zahlen die Quadratwurzel einer Zahl liegt:
$\sqrt{30}$ liegt zwischen den Zahlen 5 und 6, denn

5² < 30 < 6²

Übung 5 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 12

Übung 6

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und ergänze die Lösungen, ohne den Taschenrechner zu benutzen.

• S. 77 Nr. 2
• S. 79 Nr. 6

Reelle Zahlen

Du hast einen neuen Zahlbereich kennengelernt: Alle rationalen und irrationalen Zahlen gehören der Menge der reellen Zahlen R an.

4.4 Konstruktion von $\sqrt{2}$

Konstruktion von $\sqrt{2}$

Das nachfolgende Applet zeigt, wie $\sqrt{2}$ usw. konstruiert werden können. Erkläre!

Ziehe den Schieberegler:

Übung 7 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 16

4.4 Kubikwurzeln - 3. Wurzel

Wenn du die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 8cm³ bestimmen möchtest, muss du die Zahl finden, die dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt:
2$\cdot$2$\cdot$2 = 2³ = 8, die Kubikwurzel ist dann wie folgt definiert:
$\sqrt[3]{8}$=2
Die 3. Wurzel aus 8 ist 2. Die 3. Wurzel heißt auch Kubikwurzel (von engl. "cube" = Würfel).

Kubikwurzel - 3. Wurzel

Die 3. Wurzel einer Zahl a ist die Zahl b, die dreimal mit sich selbst malgenommen die Zahl a ergibt: b$\cdot$b$\cdot$b = a, also gilt $\sqrt[3]{a}$=b.

Übung 8 - Kopfrechnen

Löse aus dem Buch

• S. 79 Nr. 11

Übung 9 - Löse mit dem Taschenrechner

Löse aus dem Buch

• S. 79 Nr. 12
• S. 79 Nr. 13
• S. 79 Nr. 15 (mit Taschenrechner)

Übung 10 - Anwendungen

Löse aus dem Buch

• S. 79 Nr. 14

Beachte Schreibweisen:
geg: V = 512 cm³; ges: Kantenlänge a
a³ = 512   |$\sqrt[3]{}$
a = $\sqrt[3]{512}$

a = 8 [cm]

Beachte, dass du zwei Würfel gegeben hast, also gilt:
2a³ = 843,75   |:2

a³ = ...

Übung 11 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 25
• Nr. 26
• Nr. 27
• Nr. 28
• Nr. 29

5) Rechnen mit Quadratwurzeln

5.1 Multiplikation und Division

Multiplikation und Division von Quadratwurzeln - Herleitung
Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?

$\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=$...$\cdot$... =
$\tfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}=\tfrac{...}{...}=$

$\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{...}=$
$\sqrt{\tfrac{144}{16}}=\sqrt{...}=$

Multiplikation und Division von Wurzeln

Für das Produkt von Quadratwurzeln gilt: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ für $a, b \ge 0$

Für die Division von Quadratwurzeln gilt:

$\frac {\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ für $a \ge 0 \quad und \quad b>0$

Schau die Beispielrechnungen im nachfolgenden Video an und bearbeite dann die Übungen.

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Übung 1 (*)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse. Notiere deine Rechnung wie folgt:
2a) $\sqrt{0,49\cdot100}=\sqrt{0,49}\cdot\sqrt{100}=0,7\cdot10=7$
2b) $\sqrt{10}\cdot\sqrt{3,6}=\sqrt{10\cdot3,6}=\sqrt{36}=6$ ...

• S. 81 Nr. 2
• S. 81 Nr. 3
• S. 81 Nr. 4
• S. 81 Nr. 5

Ziehe die Wurzel jeweils aus den einzelnen Faktoren, wenn die Faktoren Quadratzahlen sind.
Wenn die einzelnen Faktoren keine Quadratzahlen sind, schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen und berechne zunächst das Produkt. Dieses Produkt ist dann in der Regel eine Quadratzahl.
Beispiel:
2d) $\sqrt{400\cdot0,64}$ Hier sind beide Faktoren jeweils Quadratzahlen, ziehe also die Wurzel und multipliziere dann die Ergebnisse.
2c) $= \sqrt{400}\cdot\sqrt{0,64} = 20 \cdot0,8 =16$
$\sqrt{2,5}\cdot\sqrt{0,9}$ Hier sind die Zahlen unter der Wurzel (Radikanden) KEINE Quadratzahlen, schreibe also zunächst das Produkt unter eine Wurzel:
$= \sqrt{2,5\cdot0,9} = \sqrt{2,25}$ Das Produkt 2,25 ist eine Quadratzahl, hier kannst du wieder im Kopf die Wurzel berechnen.
= 1,5

4a)
$\sqrt{...} \cdot \sqrt{289}$ = 34   |Hier siehst du, dass 289 eine Quadratzahl ist, also
$\sqrt{...} \cdot$  17 = 34
Welche Zahl musst du mit 17 multiplizieren, damit das Produkt 34 beträgt? 2!
Überlege, welche Zahl unter der Wurzel stehen muss, damit die Wurzel 2 beträgt? 2² = 4! Also:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{289}$ = 34
4b)
$\sqrt{14..} \cdot \sqrt{3}$ = 21   |Hier siehst du, dass 3 KEINE Quadratzahl ist, also schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen:
$\sqrt{14..\cdot 3}$ = $\sqrt{21^2}$   |21² = 441
Welche Zahl musst du mit 3 multiplizieren, damit das Produkt 441 beträgt? 147! Also:

$\sqrt{147} \cdot \sqrt{3}$ = 21

5.2 Teilweises Wurzelziehen

Teilweises Wurzelziehen

Durch Zerlegen des Radikanden in ein Produkt, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, kannst du teilweise die Wurzel ziehen:

$\sqrt{a^2\cdot b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=a\cdot\sqrt{b}$ für $a, b \ge 0$

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Übung 2(**)

Löse die Aufgaben
Übung a

Übung b

Übung 3(**)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.

• S. 81 Nr. 7
• S. 81 Nr. 9

Beispielrechnung:
$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

Idee: Zerlege den Radikanden in ein Produkt, wobei ein Faktor eine QUADRATZAHL ist. Ziehe dann getrennt die Wurzel aus den beiden Faktoren

Übung 4(***)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.

• S. 81 Nr. 10
• S. 81 Nr. 11
• S. 81 Nr. 12

Beispiel:
10a) $\sqrt{9x}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x}=3\sqrt{x}$ 9 ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.

b) $\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{a^2}=\sqrt{5}\cdot a$ a² ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.

und nun wird es schwieriger

f)$\sqrt{27s^2t^3} = \sqrt{9\cdot3s^2t^2t} = 3st\sqrt{3t}$
Zerlege die Faktoren in Quadratzahlen und ziehe dann die Wurzel aus den einzelnen Faktoren.

$\sqrt{\tfrac{x^3}{9y}} = \tfrac{\sqrt{x^2x}}{\sqrt{9}\sqrt{y}} = \tfrac{x\sqrt{x}}{3\sqrt{y}}$

Auch hier ist die Idee, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte aus Quadratzahlen zu zerlegen und dann einzeln die Wurzel zu ziehen.

Beispiel:
11a)$\sqrt{\tfrac{2y^2}{18}}=\sqrt{\tfrac{1y^2}{9}}=\tfrac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{y^2}}{\sqrt{9}}=\tfrac{y}{3}$ Kürze zuerst, dann ziehe so weit wie möglich die Wurzel.

11d) $\sqrt{\tfrac{24a}{8a^3}}=\sqrt{\tfrac{3}{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{a}$ Hier ist nur a² die Quadratzahl, du musst also teilweise die Wurzel ziehen.

5.3 Addition und Subtraktion (Vorsicht!)

Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?

$\sqrt{64} + \sqrt{36}=... + ... = ...$

$\sqrt{64 + 16}=\sqrt{...}= ...$

Bei der Addition und Subtraktion lassen sich die Radikanden NICHT!!! unter einer Wurzel zusammenfassen!