Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit dem Skalarprodukt und dem Winkel zwischen zwei Vektoren beziehungsweise dem Winkel zwischen zwei Geraden. Du lernst, ...

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Skalarprodukt

Einführung

Definition des Skalarprodukts

Für die beiden Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ ist das Skalarprodukt definiert als $\vec{u} \ast \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Für das Skalarprodukt gilt das...

• Kommutativgesetz, das heißt es gilt $\vec{u} \ast \vec{v} = \vec{v} \ast \vec{u}$.
• Distributivgesetz, das heißt es gilt $\vec{u} \ast ( \vec{v} \ast \vec{w}) = ( \vec{u} \ast \vec{v}) \ast \vec{w}$.
• Assoziativgesetz, da heißt es gilt $(r \cdot \vec{u}) \ast \vec{v} = r \cdot ( \vec{u} \ast \vec{v})$ mit $r \in \mathbb{R}$.

Video

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:

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Übungen

Aufgabe 1: Das Skalarprodukt berechnen

Fokus Mathematik, Seite 222, Nr.1

Aufgabe 2: Terme umformen

Wenn du Terme zuerst umzuformen, bevor du das Skalarprodukt berechnest, sparst du dir eine Menge Aufwand.

Löse die Klammern auf und fasse sinnvoll zusammen. Notiere deine Ergebnisse und überprüfe sie anschließend mit den Lösungen. Für die Vektoren müssen in dieser Aufgabe keine Werte eingesetzt werden.

a) $(3 \vec{a} - 5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + 7 \vec{b})$

$6 \vec{a}^2 + 11 \vec{a} \vec{b} - 35 \vec{b}^2$

b) $(3 \vec{e}) \cdot \vec{f} + \vec{f} \cdot (2 \vec{e}) - 4 (\vec{e} \cdot \vec{f})$

$\vec{e} \vec{f}$

c) $(3 \vec{u} - 2 \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 2 \vec{v}) - 7(\vec{u} \cdot \vec{v})$

$3 \vec{u}^2 - \vec{u} \vec{v} -4 \vec{v}$

d) $(2 \vec{a} + 3 \vec{b} - \vec{c}) \cdot ( \vec{a} - \vec{b})$

$2 \vec{a}^2 + \vec{a} \vec{b} - 3 \vec{b}^2 - \vec{c} \vec{a} + \vec{c} \vec{b}$

e) $( \vec{x} + \vec{y})^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2$

Erinnere dich an die binomischen Formeln. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie die binomischen Formeln lauten, dann schaue in Tipp 2.

Erste binomische Formel: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Zweite binomische Formel: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Dritte binomische Formel: $(x+y) \cdot (x-y) = x^2 - y^2$

$4 \vec{x} \vec{y}$

f) $( \vec{g} + 3 \vec{h})^2 - \vec{g} \cdot (\vec{g} + 6 \vec{h})$

$9 \vec {h}^2$

Aufgabe 3: Multiplikation oder Skalarprodukt?

Enscheide in den folgenden Aufgaben, wann der Malpunkt für das Skalarprodukt und wann er für die Multiplkation von Zahlen steht. Die Reihenfolge der Antworten innerhalb einer Antwortmöglichkeit soll der Reihenfolge der Malpunkte innerhalb der Aufgabe entsprechen.

1 $\vec{a} \cdot \vec {b}$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

2 $\vec{b} \cdot \vec {a}$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

3 $\vec{a} \cdot (\vec {b} + \vec{c})$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

4 $\vec{b} \cdot (\vec {a} + \vec{c})$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

5 $(\vec{a} - \vec {b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c})$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

6 $(\vec{a} \cdot \vec {b}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec {c})$

	Skalarproduk/Multiplikation/Multiplikation
	Skalarprodukt/Multiplikation/Skalarprodukt
	Multiplikation/Multiplikation/Multiplikation
	Skalarprodukt/Skalarprodukt/Skalarprodukt
	Multiplikation/Skalarprodukt/Skalarprodukt
	Multiplikation/Multiplikation/Multiplikation

7 $\vec{b} \cdot (\vec {a} \cdot \vec{c})$

	Multiplikation/Multiplikation
	Skalarprodukt/Skalarprodukt
	Multiplikation/Skalarprodukt
	Skalarprodukt/Multiplikation

8 $(\vec{b} \cdot \vec{a}) \cdot \vec {c}$

	Multiplikation/Multiplikation
	Skalarprodukt/Skalarprodukt
	Multiplikation/Skalarprodukt
	Skalarprodukt/Multiplikation

Bei der Multiplikation von zwei reellen Zahlen erhälst du wieder eine reelle Zahl. Das Produkt von zwei Vektoren liefert jedoch nicht einen Vektor, sondern eine reelle Zahl. Diese ist genau durch das Skalarprodukt definiert.