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Kreis und Zylinder - Startseite

1 Kreisumfang

1 Kreisumfang

1.1 Kreisumfang entdecken

Kreisumfang entdecken

Was ist größer? Die Höhe oder der Umfang des Glases?

Schau in der folgenden LearningApp das Video dazu an.

Kreisumfang entdecken

a) Miss den Durchmesser d und den Umfang u von verschiedenen kreisförmigen Gegenständen. Beschreibe, wie du vorgehst.
b) Trage die Werte in eine Tabelle ein:

c) Was fällt dir auf? Notiere Stichpunkt im Heft.

Prüfe deine Vermutung aus dem Teil c) mithilfe des nachfolgenden Applets. Wähle den Vollbildmodus zur Bearbeitung.

Applet von Pöchtrager

Stelle deine Werte aus der Tabelle in einem d-u-Diagramm dar. Was fällt dir auf?

Das Diagramm ist eine Ursprungsgerade, also ist die Zuordnung proportional. Das heißt auch, dass der Quotient $\tfrac{u}{d}$ immer gleich ist.

Der Umfang u eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser d.
Der Quotient $\tfrac{u}{d}$ beträgt immer ca. 3,1.

Dieses Verhältnis wird Kreiszahl π genannt. $\tfrac{u}{d}$ = π.

Kreisumfang

Den Umfang u eines Kreises mit Durchmesser d (Radius r)
berechnen wir mit der Formel:

u = π · d   oder u = 2· π · r  (denn d = 2·r)

Zusammenfassung:

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1.2 Exkurs: Kreiszahl π

Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang u und Durchmesser d ist immer gleich.

Dieses Verhältnis wird Kreiszahl π genannt. $\tfrac{u}{d}$ = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie.

Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden: Beeindruckend!

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Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.

Applet von Pöchtrager

Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:

• eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
• Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
• mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
• Mittlerweile (2010) von dem Mathematiker Shigero Kondo auf ca. 5 000 000 000 000  Dezimalstellen berechnet
• beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:

π = $\tfrac{u}{d}$ = 3,14159...

• Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.

Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:

1.3 Kreisumfang - Berechnungen

Kreisumfang - Berechnungen

Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.

Vervollständige den Gedanken von Lara.

Sie nehmen eine lange Schnur, führen diese einmal um den Baum herum und messen dann mit einem Maßband, wie lang die Schnur ist. So haben sie den Umfang u des Stammes gemessen. Nun berechnen sie mit der Formel für den Kreisumfang den zugehörigen Durchmesser. Wie dies geht, erfährst du im Folgenden.

Kreisumfang - Berechnungen

Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln
u = π · d   oder u = 2· π · r
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.

Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.

Kreisumfang - Berechnungen

Übertrage die folgenden Beispiele in dein Heft

Beispiele:

Umfang u berechnen:

geg: d = 3,0 cm
ges: u
u = π · d   |Wert einsetzen
   = π · 3,0

   = 9,4 (cm)

geg: r = 1,0 cm
ges: u
u = 2 · π · r   |Wert einsetzen
   = 2 · π · 1,0

   = 6,3 (cm)

Durchmesser d berechnen:

geg: u = 15,7 cm
ges: d
u = π · d   |: π
$\tfrac{u}{\pi}$ = d   |Wert einsetzen
$\tfrac{15,7}{\pi}$= d

5,0 (cm) = d (cm)

Radius r berechnen:

geg: u = 22,0 cm
ges: r
u = 2 · π · r   |: (2·π)
$\tfrac{u}{2\pi}$ = r  Wert einsetzen
$\tfrac{22,0}{2\pi}$ = r

3,5 (cm) = r

Übung 1 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 5
• 6
• 7
• 8

Übung 2 - Grundlagen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere übersichtlich mit den Schreibweisen wie in den Beispielen.

• S. 129 Nr. 1 (Wähle je eine Aufgabe aus a-c und eine Aufgabe aus d-e aus.)
• S. 129 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)
• S. 129 Nr. 3 (Wähle drei Aufgaben aus.)

Prüfe deine Ergebnisse mit dem nachfolgenden Applet.

1.4 Anwendungsaufgaben

Übung 3 - geometrische Anwendungen

Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.
Erinnerung: Die Ameise läuft für den Umfang u einmal um die Figur herum.

• S. 129 Nr. 4
• S. 129 Nr. 5
• S. 129 Nr. 8

- Der Umfang zweier Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises (bei gleichem Radius).

- Wie groß ist der Radius (oder der Durchmesser) der Halbkreise?

Laufe die drei Strecken des Rechtecks und dann die zwei Halbkreise entlang ("die Ameise läuft drum herum")

Lösung: u = 5 + 10 + 5 + π·5 = 35,71 (cm)

Berechne den Durchmesser d des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: (Kathete² + Kathete^Hochstellen = Hypotenuse²

Lösung: d = 13

Der Umfang des Halbreises ist halb so groß wie der eines Kreises:
u_Halbreis = $\tfrac{1}{2}$u_Kreis = $\tfrac{1}{2}$π·d

Lösung: u = 12 + 5 + 20,42 = 37,42 (cm)

Hilfsapplet zu Nr. 5

Betrachte den Durchmesser der Kreise. Was geschieht jeweils von Bogen zu Bogen?
d₁=2cm; d₂=1cm; d₃=$\tfrac{1}{2}$; d₄=$\tfrac{1}{4}$; d₅ = $\tfrac{1}{8}$; ...

Berechne jeweils die Umfänge: $\tfrac{1}{2}$ u₁ = $\tfrac{1}{2}$·2·π = π; ...

Kreisumfang - Sachsituationen

Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.

Übung 4 - Sachsituationen

Löse die Aufgaben aus den nachfolgenden GeoGebra-Applets. Notiere die Lösung ausführlich und übersichtlich in deinem Heft.

Unsere Erde:

Applet von Schober