Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

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Wissen: Extremstellenbestimmung von Funktionen

Eine Funktion , die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, besitzt einen Punkt, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein globales oder lokales Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst.

  • Es liegt ein lokales Extremum vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
  • Ein globales Extremum liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert.

Merke: Bei der Bestimmung der globalen Extremstellen ist besonders wichtig für dich, die Randwerte zu überprüfen. Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!


Aufgabe 1: Globale und lokale Extrema zuordnen

Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu. Klick auf die Stecknadel und wähle die richtige Antwort aus!



Berechnung einer Extremstelle

Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion gilt:

Notwendiges Kriterium: Bei einem möglichem Extremum beträgt die Steigung 0, da sich in diesem Punkt das Steigungsverhalten der Funktion ändert. Vor einem Hochpunkt beispielsweise steigt die Funktion und direkt nach dem Hochpunkt fällt sie. Im Folgenden wird diese Stelle als bezeichnet. Daher gilt: .
Hinreichendes Kriterium: Die potentiellen Extremstellen werden in eingesetzt. Achte darauf, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für kann folgen:
  • Es liegt ein Hochpunkt vor.
  • Es liegt ein Tiefpunkt vor.
Hinweis: Alternativ kannst du das hinreichende Kriterium überprüfen, indem du überprüfst, ob ein Vorzeichenwechsel vor und hinter einem Extrema vorliegt.
Ordinate bestimmen: Zu jeder Stelle existiert eine passende Ordinate. Dazu setzt du in ein. Zusammenfassend erhältst du alle Extrempunkte der Form .

Achtung: Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: . Dabei kann es sich um einen sogenannten Sattelpunkt handeln. Dieser Sattelpunkt stellt einen besonderen Fall eines Wendepunkts dar. Wende- und Sattelpunkte behandeln wir später noch.
Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extrempunkte besser merken zu können:

Übersicht Extrema Tabelle.png


Beispiel: Bestimmung von Extremstellen


Wir untersuchen die folgende Funktion auf Extremstellen.

Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: . Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen und .
Das Bilden der zweiten Ableitung ergibt:
  • Hochpunkt an der Stelle .
  • Tiefpunkt an der Stelle .


Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in bestimmen.
Wir erhalten: HP und TP .



Aufgabe 2: Extrema ganzrationaler Polynome bestimmen

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmung von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

a)
b)
c) mit . In dem unten abgebildeten Bild kannst du durch den Schieberegler an der Funktion drehen und sehen wie sich für verschiedene verändert.


Aufgabe 3: Besucher in den Münster-Arkaden
MuensterArkaden72.JPG


Die Anzahl der Kunden der Arkaden in Münster wird für mit Hilfe der Funktion modelliert. Die Variable stellt dabei die Uhrzeit in Stunden dar.

a) Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit in den Arkaden auf?
b) Berechne und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.
c) Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Arkaden. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.