Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

Merke: Definition

Ein Wendepunkt beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das Krümmungsverhalten des Graphes ändert. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben

Gib die Wendepunkte im Graphen an.

Merke: Definition 2

An einem Wendepunkt $x_W$ einer Funktion $f(x)$ ist die Steigung in der näheren Umgebung maximal bzw. minimal. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion $f'(x)$ im Punkt $x_W$ einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion $f''(x)$ in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

Zusammenfassung:

• notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
• hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$, Wobei gilt: $f'''(x_W) > 0 \Rightarrow$RLW oder $f'''(x_W) < 0 \Rightarrow$LRW

Berechnen des Wendepunktes

• Notwendiges Kriterium: Nullstellen $x_W$ der zweiten Ableitung berechnen

• Hinreichendes Kriterium: Einsetzen der berechneten Funktionstherms $x_W$ in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

• Berechnen des Funktionswertes durch einsetzen des Funktionstherms $x_W$ in die Ursprüngliche Funktion

Beispiel: Gegeben sei die Funktion $f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2$

• Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$

$f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x$

$f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10$

$f'''(x)=14x$

$f''(x_W)=7x_W^2-10=0$

$\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7}$

$\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}$

$\Rightarrow x_{W1}=+\sqrt{\frac{10}{7}}$ und $x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}$

• Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$

$f'''(x_{W1})=20>0$ und $f'''(x_{W2})=-20<0$

$\Rightarrow$An $x_{W1}$ liegt eine Recht-links-Wendestelle und $\Rightarrow$ an $x_{W2}$ eine Links-rechts-Wendestelle vor.

Und nun du...

Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen

Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktion

$g(x) = \frac{2x^5}{25}-x^3+\frac{25x}{8}$

Rechnung: Notwendiges Kriterium: $g''(x_W)=0$

$g'(x)=\frac{10x^4}{25}-3x^2+\frac{25}{8}$

$g''(x)=\frac{40x^3}{25}-6x=\frac{8}{5}x^3-6x$

$g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6$

$g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0$

$\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0$

$\Rightarrow x_{W1}=0$ und $(\frac{8}{5}x_{W2/3}^2-6)=0$

$\Rightarrow x_{W2/3}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}$

$\Rightarrow x_{W2}=+\sqrt{\frac{30}{8}}$ und $x_{W3}=-\sqrt{\frac{30}{8}}$

• Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$

$f'''(x_{W1})=-6<0$ und $f'''(x_{W2})=12>0$ und $f'''(x_{3})=-24<0$

$\Rightarrow$An $x_{W1}$ liegt eine Links-rechts-Wendestelle, an $x_{W2}$ eine Rechts-links-Wendestelle und an $x_{W3}$ eine Links-rechts-Wendestelle vor.

Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn

Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und die Geschwindigkeit der Achterbahnsimulation für die Strecke aufgenommen. Wichtig ist, dass die Achterbahn nicht zu schnell beschleunigt oder zu stark abbremst.

Rechnung: Notwendiges Kriterium: $g''(x_W)=0$

$g'(x)=\frac{10x^4}{25}-3x^2+\frac{25}{8}$

$g''(x)=\frac{40x^3}{25}-6x=\frac{8}{5}x^3-6x$

$g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6$

$g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0$

$\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0$

$\Rightarrow x_{W1}=0$ und $(\frac{8}{5}x_{W2/3}^2-6)=0$

$\Rightarrow x_{W2/3}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}$

$\Rightarrow x_{W2}=+\sqrt{\frac{30}{8}}$ und $x_{W3}=-\sqrt{\frac{30}{8}}$

• Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W)\neq 0$

$f'''(x_{W1})=-6$ und $f'''(x_{W2})=$$f'''(x_{3})=$

$\Rightarrow$an $x_{W1}$ liegt eine Recht-links-Wendestelle, an ${x_W2}$ eine Links-rechts-Wendestelle vor und an ${x_W2}$ eine Links-rechts-Wendestelle vor.

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Verhalten im Unendlichen und nahe Null