Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik10/Potenzfunktionen

Einstieg ins Thema

Wiederholung Potenzgesetze

Höre Dir zum Einstieg mal den Song zu den Potenzgesetzen an

Lernpfad aus Österreich

Wer sich tiefgründig in die Potenzgesetze einarbeiten will, klickt den Link an und arbeitet dort die Seiten durch.
Lernpfad Potenzgesetze

Der Pfad enthält auch Material zum neuen Thema Potenzfunktionen

Potenzgesetze

Für alle a, b $\in \R$ und für alle n, m $\in \N$ gilt:

$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$
$a^m : a^n = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{m\cdot n}$
$(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n$

(\dfrac {a}{b})^n = \frac {a^n}{b^n}

Übung: Finde passende Pärchen.

Wissensquiz

Potenzgesetze wörtlich formulieren.

Hier findest Du eine ganze Sammlung von Übungen.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

$Berechne \qquad 3^{-4}.$

\frac {1}{81}

Aufgabe 2

$Berechne \qquad (-2)^5.$

-32

Aufgabe 3

$Berechne \qquad (\sqrt{3}-\sqrt{27}) \cdot \sqrt{3}.$

-6

Aufgabe 4

$Berechne \qquad a^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{ a} .$

a

Aufgabe 5

$Berechne \qquad 6^{\frac{2}{5}} \cdot 6^{-\frac{4}{10}} .$

1

Aufgabe 6

Gib als eine Potenz an und berechne.

$7^8 : 7^6$

49

Aufgabe 7

Gib als eine Potenz an und berechne.

$\frac{3^4}{3^4 \cdot 3^2}$

\frac{1}{9}

Aufgabe 8

Gib als eine Potenz an und berechne.

$\begin{pmatrix} a^{-\frac{4}{9}} \end{pmatrix}^{\frac{3}{4}}$

a^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{ a}}

Aufgabe 9

Gib als eine Potenz an und berechne.

$\sqrt[6]{9^7} : \sqrt[3]{9^2}$

\sqrt{9}=3

Aufgabe 10

Gib als eine Potenz an und berechne.

$4,2^{3} : 0,7^{3}$

6^3 = 216

Die Potenzfunktionen

Allgemeines

Eine Potenzfunktion hat allgemein folgende Funktionsgleichung im einfachsten Fall:
$y=f(x)=x^n$
Oft tritt als Exponent die 2 auf, dann handelt es sich um eine quadratische Funktion $y=f(x)=x^2$ .
Wichtige Sonderfälle sind aber auch die beiden Funktionen $y=f(x)=x^0=1$ (konstante Funktion) und $y=f(x)=x^1$ (lineare Funktion).

Wurzelfunktionen lassen sich ebenfalls als Potenzfunktion mit rationalem Exponenten auffassen.

Eigenschaften der Potenzfunktionen $y=f(x)=x^n$

Einstiegsvideo

Hier erfährst Du wie Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten aussehen.

Übung

In dieser Übung kannst Du den Inhalt des Videos selbst noch einmal ausprobieren.
Du kannst auch den Exponenten nicht ganzzahlig setzen.

Übung 1: Zuordnungsübung

Versuche nun Funktionsgleichungen ihren Grafen zu zuordnen.

Eigenschaften der Funktion $y=f(x)=a \cdot x^n$

Überblicksvideo

Hier werden wesentliche Eigenschaften erklärt.

Übung 2: Eigenschaften von Potenzfunktionen

Gib für die einzelnen Funktionen ihre Eigenschaften an. Beachte den Hinweis am Anfang der Übung

Zusammenfassung im Video

In diesem Video fasst Simon Brückner (auf Vimeo) viel Wissenswertes zusammen.

Das Video

Ein kleiner Wissenstest

Applet Geogebra

Experimentiere mit dem Applet

https://www.geogebra.org/m/mgammbnv#material/hpgwdxas https://www.geogebra.org/m/mgammbnv#material/hpgwdxas

Lösen von Potenzgleichungen

Anzahl der Lösungen von Potenzgleichungen

Gleichungen der Form $x^n=a$ bezeichnen wir als Potenzgleichungen
Dabei unterscheiden wir zunächst zwischen geraden und ungeraden Exponenten n.

Für gerade $n = \isin \N^*$ hat die Gleichung $x^n=a$ die Lösungen

$\sqrt[n]{a} \; und -\sqrt[n]{a}, wenn a > 0$
0, wenn a = 0
keine Lösung, wenn a < 0

Für ungerade $n = \isin \N^*$ hat die Gleichung $x^n=a$ die Lösungen

$\sqrt[n]{a}, wenn a > 0$
0, wenn a = 0
$-\sqrt[n]{a}, wenn a < 0$

Beispiele

Fall 1: a > 0
$\qquad x^4=3$
Lösungen
$\qquad x_1= \sqrt[4]{3}, denn (\sqrt[4]{3})^3=3$
$\qquad x_2= -\sqrt[4]{3}, denn (-\sqrt[4]{3})^3=3$

Fall 2: a = 0
$\qquad x^4=0$
Lösung
$\qquad x_1=0$

Fall 3: a < 0
$\qquad x^4=-3$
Diese Gleichung hat keine Lösung

Anzahl der Lösungen von Potenzgleichungen

Nun betrachten Gleichungen der Form $x^{\frac{m}{n}}=a .$
Bei positiven Exponenten $\frac{m}{n}$ ist die Gleichung nur für x ≥ 0 definiert. Es ist D = $\{x|x \geq 0 \}$ . Bei negativen Exponenten $\frac{m}{n}$ ist D = $\{ x|x > 0 \}$ .

Da

\frac{m}{n}

stets eine nichtnegative Zahl ist hat die Gleichung für a < 0 keine Lösung.

Beispiele

Fall 1: x ≥ 0
$\qquad x^\frac{1}{3}=4$
$\qquad (x^\frac{1}{3})^3=4^3$
$\qquad x = 64$

Fall 2: x > 1
$\qquad 2 \cdot (x-1)^{-\frac{2}{3}}+1=9$
$\qquad 2 \cdot (x-1)^{-\frac{2}{3}}=8$
$\qquad (x-1)^{-\frac{2}{3}} = 4$
$\qquad [(x-1)^{-\frac{2}{3}}]^{-\frac{3}{2}}=4^{-\frac{3}{2}}$
$\qquad x-1 = \frac{1}{8}$
$\qquad x = \frac{9}{8}$