Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden
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In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
Inhaltsverzeichnis
Winkel messen
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel ,
und
untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
= 120()°
= 60()°
Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
(Alpha, griechisches a)
(Beta, griechisches b)
(Gamma, griechisches g)
Erkundung
Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel nochmals gegenüber vom Winkel
zu finden ist und er behauptet: "Die Winkel
und
sind ja gleich groß!".
1. Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte A und B.
2. Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
(Applet von I. Schwalbe)
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch die Winkel am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel und
gleich groß, genau so wie die Winkel
und
. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu
. Deshalb ergibt
.
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch Scheitelwinkel.
Kannst du eine Begründung finden, warum Scheitelwinkel gleich groß sind? Schaue dir hierfür das folgende Video an.
Winkel an mehreren Geraden
Tim hat nun festgestellt, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch mehrere Geraden die teilweise parallel zueinander liegen. Er fragt sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind.
Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
(Applet von B. Lachner)
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
Wenn zwei parallele() Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen zwei() Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel und
, so nennen wir diese Art von Winkeln Stufenwinkel(), welche gleich groß() sind.
Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
- zwei
- Stufenwinkel
- parallele
- gleich groß
Nachdem Tim jetzt weiß, was Neben-, Scheitel- und Stufenwinkel sind, hat er sich selber Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehrere Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an. Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?Anwendung
Transferaufgabe
Leiter an der Hauswand
Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist =60° bekannt. Berechne den Winkel
zwischen dem Schornstein und dem Dach!