Info
worum es hier geht
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
- Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
Motivation?
- ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Das Lotfußpunktverfahren
Aufgabe 1⭐: Überblick: Abstand Punkt Ebene
Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst.
Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.
Die Abbildung kann dir helfen.
Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren
Aufgabe 1: xyz
Arbeitsmethode
Weitere Aufgaben:
- stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben)
- Janne: man hat Ebene und bestimmten Abstand. Jetzt Punkt bestimmen, der diesen Abstand hat (wie Pyramidenaufgabe)
- Janne: Modellierungsaufgabe (zb aus Diagnosetest oder woanders her)
Aufgabe 2: Glaspyramide
Inhalt
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
Merke: Die Hesse´sche Normalenform
Den Abstand von einem Punkt E zu einer Ebene E kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF).
So bestimmst du mit der HNF den Abstand:
Gegeben ist eine Ebene E durch die Koordinatengleichung bzw. durch die Normalenform mit und ein Punkt .
Stelle nun die HNF der Ebene auf:
Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ab.
Bestimme dann die Länge des Normalenvektors :
Die HNF lautet nun: .
Als letztes setzte die Koordinaten des Punktes in die HNF ein und berechne den Abstand:
Aufgabe 1:
Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle und ein Vogel schwebt auf der Stelle . Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: .
Der Normalenvektor der Ebene ist:
Länge des Normalenvektors bestimmen:
Die HNF lautet nun: .
Nun werden die Koordinaten von A eingesetzt:
Die Koordinaten von B können in die selbe HNF eingesetzt werden: .
Damit hat die Drohne einen Abstand von
zum Schuldach und der Vogel einen Abstand von
. Die Drohne ist also näher zum Dach als der Vogel.
Der Abstand der Drohne zum Dach beträgt
und der Abstand des Vogels zum Dach beträgt
. Damit ist der Abstand der Drohne geriner.
Aufgabe 2: Abstand paralleler Ebenen
Gegeben ist die Ebene . Bestimme zur Ebene E zwei parallele Ebenen, die von E den Abstand 5 haben.
Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu E sind
und
haben beide den Abstand 5 zu E
Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen
Abstand eines Punktes von einer Geraden
- Verfahren wiederholen (evtl.)
- Merksatz
- Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!
Abstand zweier windschiefer Geraden
- Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
- Janne: Merksatz
- Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!
Gemischte Aufgaben
- auf Anfangsaufgabe zurückkommen
- 3 Aufgaben
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!