Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum

Info

worum es hier geht

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Motivation?

• ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Das Lotfußpunktverfahren

Aufgabe 1⭐: Überblick: Abstand Punkt Ebene

Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.

Die Abbildung kann dir helfen.

Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren

Das Vorgehen aus Aufgabe 1 hier nochmal detalliert erklärt:

1. Die Gleichung für die zu E orthogonale Gerade g (also die Lotgerade) durch P aufstellen. Dabei kann man als Stützvektor $\vec{p}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor $\vec{n}$ von E nutzen: $g:\vec{x}=\vec{p}+\vec{t}*\vec{n}$.
2. Den Schnittpunkt L von der Lotgeraden g und der Ebene E bestimmen. L ist der Lotfußpunkt.
3. Den Abstand zwischen den Punkten P und L bestimmen, indem man den Betrag des Vektors $\vec{PL}$ berechnet.

Aufgabe 1: xyz

Arbeitsmethode

Weitere Aufgaben:

• stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben)
• Janne: man hat Ebene und bestimmten Abstand. Jetzt Punkt bestimmen, der diesen Abstand hat (wie Pyramidenaufgabe)
• Janne: Modellierungsaufgabe (zb aus Diagnosetest oder woanders her)

Die Hesse´sche Normalenform

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.

Merke: Die Hesse´sche Normalenform

Den Abstand von einem Punkt E zu einer Ebene E kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF).

So bestimmst du mit der HNF den Abstand:

Gegeben ist eine Ebene E durch die Koordinatengleichung $a*x_1+b*x_2+c*x_3=d$ bzw. durch die Normalenform $\vec{n}*\vec{OX}$ mit $\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ und ein Punkt $P(p_1|p_2|p_3)$.

Stelle nun die HNF der Ebene auf:

Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor $\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ ab.

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors $\vec{n}$: $|\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Die HNF lautet nun: $\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{|\vec{n}|}$.

Als letztes setzte die Koordinaten des Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ in die HNF ein und berechne den Abstand:

$\frac {|a*p_1+b*p_2+c*p_3-d|}{|\vec{n}|}$

Merkbox mit Beispiel

=\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Aufgabe 1:

Berechne die Abstände der Punkte $A(3|4|-1)$ und $B(1|7|4)$ von der Ebene $E: 8x_1-4x_2-x_3=5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist: $\vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}$

Länge des Normalenvektors $\vec{n}$ bestimmen: $|\vec{n}|=\sqrt{8^2-4^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9$

Die HNF lautet nun: $\frac {|8*x_1-4*x_2-1*x_3-5|}{9}$.

Nun werden die Koordinaten von A eingesetzt: $\frac {|8*3-4*4-1*(-1)-5|}{9}=\frac {|24-26+1-5|}{9}=\frac {|-6|}{9}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}$

Die Koordinaten von B können in die selbe HNF eingesetzt werden: $\frac {|8*(-1)-4*7-1*4-5|}{9}=\frac {|-8-28-4-5|}{9}=\frac {|-45|}{9}=5$.

Der Abstand von A zu E beträgt $\frac{2}{3}$ und der Abstand von bBzu E beträgt $5$.

• Ira: stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben) ggf. Verfahren im Sachkontext anwenden lassen
• Ira: Parallele Ebene mit vorgegeben Abstand bestimmen

Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen

Abstand eines Punktes von einer Geraden

• Verfahren wiederholen (evtl.)
• Merksatz
• Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Abstand zweier windschiefer Geraden

• Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
• Janne: Merksatz
• Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Gemischte Aufgaben

• auf Anfangsaufgabe zurückkommen
• 3 Aufgaben

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!