Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Geraden im Raum. Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Einführung

Parameterdarstellung einer Geraden

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Aufgabe 1

Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4)

Lagebeziehungen von Geraden

Im Folgenden wollen wir betrachten, wie verschiedene Geraden zueinander im Raum liegen.

Definition

Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in identisch, parallel, geschnitten und windschief. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich identisch oder parallel sein.

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden echt parallel.

Aufgabe 1: Lage erkennen

Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?

a)$f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

b)$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

c)$i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

Die erste Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden identisch.

Die zweite Antwort lautet parallel. Die beiden Geraden sind parallel. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von $i_2$ nicht auf der Geraden von$i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, mit $r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}$.

Die dritte Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind ($\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Definition

Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich schneiden oder windschief zueinander sein.

Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden schneiden oder zueinader winschief sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so schneiden sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden windschief zueinander.

Aufgaben geschnitten oder windschief

Welche der folgenden Geraden schneiden sich?

	$f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$
	$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$
	$h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

Welche der folgenden Geraden sind windschief zueinander?

	$f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$
	$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$
	$h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$