Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme
In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Inhaltsverzeichnis
1) Terme zusammenfassen
Einführung
Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei:
Beim Zusammenfassen von Summen gilt:
Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden.
Beispiele:
1)
2)
Hier konnten nur die beiden Teile mit zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen.
3)
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren.
Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden.
Beispiel:
4)
Beachte die Vorzeichen der Faktoren.
Beispiel:
5)
Aufgaben
Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen.
5a+5 | a-8()
|
3a+6()
|
a+2 | 3a+1 | 5a()
|
3a-4 | 5a+10()
|
a-3()
|
2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren
Terme ausmultiplizieren
Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen Faktor mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert. So wird z.B. der Faktor mit jedem Glied aus der Klammer multipliziert:
Dies nennt man Distributivgesetz. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:
.
Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:
.
Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:
.
Das Distributivgesetz kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen:
Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:
.
.
Hierfür gilt:
ergibt:
ergibt:
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:
.
.
.
.Aufgabe
In dieser Aufgabe kannst du das Ausmultiplizieren üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) =
h) =
Terme faktorisieren
Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt.
Du faktorisierst:
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst:
Aufgabe
a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern?
(i) (!) () (!) (!)
(ii) (!) () (!) (!)
(iii) (!) () (!) (!)
b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus?
(i) () (!) (!) (!)
(ii) () (!) (!) (!)
c) Klammere komplett aus:
Schaue bei Teilaufgabe (i) nach, was du ausklammerst und bei (ii) wie dein erster Zwischenschritt aussieht.
Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum Faktorisieren erklärt ist.(i) () (!) (!) (!)
(ii) () (!) (!) (!)
(iii) (!) () (!) (!)
Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren
Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?
a) 3()
Überlege dir dafür zunächst was du mit multiplizieren musst, damit du erhältst bzw. was du mit multiplizieren musst, damit du erhältst.
b) 15()
c) -12()
d) -5()
e) -4() 7()
In dieser Aufgabe geht es darum, das Gelernte möglichst schnell anzuwenden, denn du trittst gegen den Computergegner an 😉 wer gewinnt das Rennen?
3) Binomische Formeln
Was sind die binomischen Formeln?
Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln:
Herleitung der binomischen Formeln
Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten.
Stelle dazu eine Gleichungskette der Form auf.
Nun wird die Potenz ausgeschrieben
Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert
Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis:
Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine anschaulichere Möglichkeit, die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das Vergleichen von Flächen. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte geometrisch und rechnerisch bewirkt.
- Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln
- Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an.
Beispiele
Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.
Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden:
a)
Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden:
b)
Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen:
a)
Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal anders herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, bevor die binomische Formel angewendet wird:
b)
Alternativ kann auch direkt die 1. binomische Formel angewendet werden:
a)
Es spielt keine Rolle, ob zuerst die Summe oder die Differenz erscheint (Assoziativgesetz):
b)
Aufgaben
Ordne zu.
1. binomische Formel | |||
2. binomische Formel | |||
3. binomische Formel | |||
Das ist keine binomische Formel |
a)15()a()
b)3a()4b()3a()4b())
c)9u()2()
d)2m()7()
e)8y()10z()
f)6u()11w()6u()11w())
Klammere aus. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch hier noch einmal vorbeischauen.
Schaue dir auch noch einmal die binomischen Formeln an und entscheide, wann du welche Formel anwenden kannst.
Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen und mit
.
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt:
Die Differenz ist gleich der Summe . Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.
Dann wird für eingesetzt:
Nun die erste Klammer auflösen:
Schließlich für einsetzen:
Alternativ: oder:
Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.
a)15()a()
b)3a()4b()3a()4b())
c)9u()2()
d)2m()7()
e)8y()10z()
f)6u()11w()6u()11w())
Klammere aus. Falls du dir unsicher bist, mache die Probe. Du kannst auch hier noch einmal vorbeischauen.
Schaue dir auch noch einmal die binomischen Formeln an und entscheide, wann du welche Formel anwenden kannst.