Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Kurzbeschreibung des Aufbaus.Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

1) Terme zusammenfassen

Einführung

Wie kann ich Terme zusammenfassen?

Rechenregeln

Beim zusammenfassen von Termen musst du beachen: 

1. Gleiches darf zusammengefasst werden. Bei der Addition müssen die Variablen in der selben Potenz sein. Beispiel: $2a^2+a+3a =2a^2+4a$ 2. Ungleiches darf nicht zusammengefasst werden.

Beispiel: $a+b+2a=3a+b$

Aufgabenteil

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

Fasse den folgenden Term zusammen: 

$4x-(¼y-(5x+3z)-(x+⅝y-2z))$

Zuerst musst du die Klammern auflösen, dann die Summanden nach ihren Variablen ordnen. Danach musst du noch die Brüche gleichnamig machen um danach alles zusammenfassen zu können.

$10x+⅜y+z$

$4x-(¼y-(5x+3z)-(x+⅝y-2z)) = 4x-(¼y-5x-3z-x-⅝y+2z) = 4x-¼y+5x+3z+x+⅝y-2z = 4x+5x+x-¼y+⅝y+3z-2z = 4x+5x+x-{2\over 8}y+⅝y+3z-2z = 10x+⅜y+z$

Aufgabe 3:

Das magische Quadrat: Die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme. Ergänze die fehlenden Terme.

magisches Quadrat

5a+5
a+2	3a+1
3a-4

{

}

2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren

Einführung

Terme ausmultiplizieren

Titel

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Um einen Faktor (im Bsp. 2) mit einer Klammer, in der eine Summe oder Differenz steht (im Bsp. 5 + 3), zu multiplizieren, muss der Faktor mit jedem Glied in der Klammer multipliziert werden:

$2(5+3) = 2 \cdot 5 + 2\cdot 3 = 10 + 6 = 16$.

Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

$(5+3)2 = 5 \cdot 2 + 3\cdot 2 = 10 + 6 = 16$.

Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:

$2(5-3) = 2 \cdot 5 - 2\cdot 3 = 10 - 6 = 4$.

Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:

$a(b+c) = ab + ac$.

Das kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen:

Besonders aufpassen muss man bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht. Denn dann drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

$-a(b+c) = -ab - ac$.

$-a(-b+c) = ab - ac$.

Hierfür galt:

+ und + ergibt: +

– und – ergibt: +

– und + ergibt: –

Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:

$(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd$.

$x (3 + 2) = 3x + 2x = 5x$.

$2(3x – 1) = 2 \cdot 3x – 2 \cdot 1 = 6x – 2$.

$-(a+b) = -a - b$.

$-(a-b) = -a + b$.

Um das Ausmultiplizieren zu üben, gehe zu Aufgabe 1.

Terme faktorisieren

Titel

Beim Faktorisieren (auch genannt: Ausklammern) geht es genau umgekehrt wie beim Ausmultiplizieren darum, eine Klammer zu erstellen. Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video: 

3) Binomische Formeln

Einführung

Was sind die binomischen Formeln?

Definition

Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln:

1. binomische Formel: $(<span style="color: red">a</span>+<span style="color: green">b</span>)² = <span style="color: red">a</span>²+2<span style="color: red">a</span><span style="color: green">b</span>+<span style="color: green">b</span>²$ 2. binomische Formel: $(<span style="color: red">a</span>-<span style="color: green">b</span>)² = <span style="color: red">a</span>²-2<span style="color: red">a</span><span style="color: green">b</span>+<span style="color: green">b</span>²$

3. binomische Formel: $(<span style="color: red">a</span>+<span style="color: green">b</span>)(<span style="color: red">a</span>-<span style="color: green">b</span>) = <span style="color: red">a</span>²-<span style="color: green">b</span>²$

Herleitung der binomischen Formeln

Bei der Herleitung der binomischen Formeln werden die Terme in den Klammern ausmultipliziert.

Übung: Binomische Formeln herleiten

Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten.

Beginne mit dem Ausgangsterm (a+b)² und schreibe die Potenz wiefolgt aus: (a+b)(a+b). Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.

(a+b)² = (a+b)\cdot(a+b) = aa+ab+ba+bb = a²+2ab+b²

Herleitung über Flächen von Quadraten

Aufgabenteil

Aufgabe 1:

...

Aufgabe 2:

...

Aufgabe 3:

...