Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate

Aus ZUM Projektwiki


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Dieses Lernpfadkapitel bietet dir einen Einstieg in das Thema Differenzialrechnung. Nach der Bearbeitung des Kapitels kannst du die Formeln für beide Änderungsraten angeben und anwenden, die Änderungsraten in unterschiedlichen sachlichen Anwendungen berechnen und den Zusammenhang zwischen Sekanten- und Tangentensteigung erläutern. Zuerst erklären wir dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Die Aufgaben haben 3 unterschiedliche Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind:

In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du Gelerntes wiederholen und vertiefen.

Aufgaben, die blauen Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.

Und Aufgaben mit grüner Hinterlegung sind Knobelaufgaben, dabei sind die Aufgaben für den LK mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg und viel Spaß!

Grundlegende Begriffe und Formeln

Beschreibung von Änderungsprozessen mit Änderungsraten
mini
Der Niagara River verbindet den Eriesee mit dem Ontariosee, in den Horseshoe Falls stürzt er 57m in die Tiefe. Der Graph (schwarz) simuliert den Fall eines Steins von der Kante des Wasserfalls. Die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit ist die Veränderung der Höhe in einem Zeitabschnitt. Verschiebe den Regler und beobachte, wie sich die durchschnittliche Geschwindigkeit verändert. Mathematisch gesehen ist die Fallgeschwindigkeit in einem Zeitabschnitt die durchschnitlliche Änderungsrate der Funktion in einem Intervall. Du ermittelst diese als Steigung der Sekante (rote Linie) zwischen 2 Punkten.

Wie schnell ist der Stein beim Aufprall auf die Wasseroberfläche? Verschiebe den Regler ganz nach rechts, aus dem Zeitintervall wird fast ein Zeitpunkt. Die rote Linie berührt den Graph und in diesem Punkt stimmen die Steigung des Graphen und die Steigung der roten Linie (Tangente) lokal nahezu überein. Die Steigung der Tangente beschreibt das Verhalten der Funktion im Berührungspunkt und wird als lokale Änderungsrate bezeichnet. In unserem Fall ist es die momentane Geschwindigkeit beim Aufprall.

GeoGebra


Merke

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall und wird mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet:


Merke

Die lokale Änderungsrate in einem Punkt nennt man Differenzialquotient oder Ableitung in einem Punkt. Man berechnet diesen als Grenzwert (du schreibst dafür ) der Sekantensteigungen:

Setzt man für den Abstand von zu so gilt die Formel:

Aufgaben zum Wiederholen und Vertiefen

Aufgabe 1: Durchschnittliche Änderungsrate

Bestimme die durchschnittlichen Änderungsraten der Funktionen in den vorgegebenen Intervallen. Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und evtl. einen Taschenrechner.

a) in dem Intervall [1; 2]

b) in dem Intervall [-2; -1]


c) in dem Intervall [1,99; 2,01].

Überlege, was in dem Intervall mit der Sekante passiert.


Aufgabe 2: Übergang von durchschnittlicher zur lokalen Änderungsrate

Du benötigst für diese Aufgabe Papier und Stifte für Notizen.

In dem Applet ist der Graph der Funktion dargestellt.

Hinweis: GeoGebra verwendet bei Dezimalzahlen einen Punkt statt ein Komma, also wird dort als geschrieben.

a) Verändere mithilfe des Schiebereglers für den Abstand zwischen den Punkten und und notiere für und die Steigung der Sekanten durch die Punkte und .

b) Kannst du damit die Steigung der Tangente, also die lokale Änderungsrate an einem Punkt ermitteln?

c) Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion durch. Was stellst du fest? Ist es überraschend?

GeoGebra
Aufgabe 3: Schlittenfahrt
Kinder auf einem Schlitten.JPG

Im kalten Winter unter idealen Bedingungen (keine Reibung, kein hektisches Lenken und kein unnötiges Bremsen) schlitterst Du einen Hang mit 5 % Gefälle hinab.

Der von deinem Schlitten zurückgelegte Weg wird annähernd durch die Funktion beschrieben. Dabei steht für die Zeit nach dem Start in Sekunden und für die seit dem Start zurückgelegte Strecke in Metern. 100m weit von deinem Startpunkt entfernt steht auf der Schräge dein Freund.

a) Wann fährst du an deinem Freund vorbei?

b) Welche Geschwindgkeit hat dein Schlitten zu diesem Zeitpunkt?

Mittelschwere Aufgaben

Aufgabe 4: Überprüfe, ob Du alles verstanden hast

Ordne die Begriffe und Abbildungen richtig zu, indem Du sie auf das rechte oder linke Feld ziehst.


Aufgabe 5: Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die lokale Änderungsrate im vorgegebenen Punkt

Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.

Gegeben sind die Funktionen:

  • und der Punkt
  • und der Punkt .

a) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x) und h(x) und skizziere die Tangenten in den angegebenen Punkten.

b) Bestimme die Steigung der Funktion im gegebenen Punkt durch Ablesen der Tangentensteigung.

c) Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate der jeweiligen Funktion im vorgegebenen Punkt. Vergleiche deine Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Teil b).


Aufgabe 6: Anwendung in der Physik

Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und einen Taschenrechner.

Nagasaki 1945 - vor und nach der atomaren Explosion

Die Verbreitung der Schockwelle einer atomaren Explosion kann man annähernd mit folgender Funktion beschreiben:


Dabei steht die Variable für die Zeit nach der Explosion, gemessen in Sekunden, und die Funktion für den Radius der Verbreitung gemessen in Kilometern.

a) Berechne die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit der atomaren Explosion in folgenden Zeitabschnitten:

  • ersten drei Sekunden nach der Explosion
  • ersten zehn Sekunden nach der Explosion
  • Im Zeitraum von 7 bis 10 Sekunden nach der Explosion.


b) Berechne die Geschwindigkeit der Ausbreitung im angegebenen Zeitpunkt:

  • zweite Sekunde nach der Explosion
  • zehnte Sekunde nach der Explosion


Aufgabe 7: Änderungsraten im Sachkontext

Knobelaufgaben

Aufgabe 8: Achterbahn

Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.

Efteling

Ein Teil der Achterbahn lässt sich durch den Graphen der Funktion: beschreiben.

a) Zeichne den Graphen der Funktion . Notiere folgende Tabelle auf einem Blatt Papier und vervollständige sie, indem du an den angegebenen Stellen die Tangenten skizzierst und deren Steigungen durch Ablesen bestimmst.

mini



b) Da es zu jedem Punkt nur eine Tangente gibt, ist die Zuordnung eine Funktion Betrachte die Wertepaare in der Tabelle bei Teil a). Die Funktion gibt für jeden Wegpunkt der Achterbahn an, ob diese hoch- oder runterfährt und wie steil die jeweiligen Steigungen sind.

Stelle die Gleichung der Funktion auf und zeichne diese in dein Koordinatensystem.

c) Wie steil ist die Steigung der Achterbahn an einer von dir gewählten Stelle und fährt sie an dieser auf- oder abwärts? Gebe eine Funktion an, die die Steigung an einer beliebigen Stelle berechnet und vergleiche dein Ergebnis mit dem Ergebnis von Teil b).


⭐Aufgabe 9: Tangenten für Funktionenschar

Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.

Gegeben ist eine Funktionenschar durch die Gleichung mit

a) Für welches ist die Tangente im Ursprung?


b) Untersuche, an welchen Stellen die Funktionen der Schar eine waagerechte Tangente haben.