Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|1=Punktprobe|2=Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.|3=Merksatz}}
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* S. 122, P2 - P9
* S. 150, Nr. 3-6|Üben}}


===Quadratische Funktionen===
===Quadratische Funktionen===

Version vom 29. Dezember 2022, 15:15 Uhr

Funktionen

Funktionen
Darstellungen von Funktionen.png
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:
  • als Text
  • als Wertetabelle
  • als Funktionsgleichung
  • als Graph

Lineare Funktionen

Hefteintrag - Lineare Funktionen erkennen

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = mx + b hat, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0Ib).

Lineare Funktionen erkennen:

Lineare Funktionen erkennen Zusammenfassung.png

Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen.
Hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen).

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Übung: Lineare Funktionen erkennen
Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzten App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.

Lineare Funktionen: Wertetabelle

Wertetabelle erstellen

Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5
                         = 7
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5
                         = 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:

x 0 1 2 3 4 ...
y 5 7 9 11 13 ...

Lineare Funktionen: Gleichung und Graph

Funktionsgraphen zeichnen

Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."
F(x)=2x+5 mit Punkten.png


Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen
  • Lies den y-Achsenabschnitt b ab.
  • Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.
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Beispiele:

1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png

Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png
Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl
Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png
Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch
Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png
Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden
Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.
leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)



Lineare Funktionen: Graph zeichnen
  • Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein. P(0|b)
  • Zeichne das Steigungsdreieck. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
  • Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.
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Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.

Schritt 1Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png
Schritt 2Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png
Schritt 3Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png

Du kannst auch mithilfe von zwei Punkte die Gerade zeichnen bzw. die Funktionsgleichung bestimmen. Wie dur vorgehst, zeigt das Video.

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Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt Py mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

Py (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (xNI0)

Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen


Lineare Funktionen: Punktprobe

Punktprobe
Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.



Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.

  • S. 122, P2 - P9
  • S. 150, Nr. 3-6

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen: Nullstellen bestimmen

Quadratische Funktionen: Punktprobe

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