Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden konstruieren

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Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du

• wie du Netze von Pyramiden zeichnen kannst.
• wie du aus einem Netz einen Körper falten kannst.
• wie du Schrägbilder von Pyramiden zeichnen kannst.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Rückblick und Motivation

Pyramide in Potsdam.

Pyramiden begegnen uns nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in der realen Welt, wie z.B. in Architektur (Bild rechts) und Bauingenieurwesen (Konstruktion und Betrieb von Bauwerken des Hoch-, Verkehrs-, Tief- und Wasserbaus).

Du kannst bereits Pyramiden im Alltag erkennen und kennst eigene Beispiele für Pyramiden. Falls du dies nochmal üben möchtest, schaue dir dazu das vorherige Kapitel an.

In diesem Kapitel, "Pyramiden konstruieren", lernst du, wie du...

1. das Netz einer Pyramide zeichnest
2. aus diesem Netz eine Pyramide faltest
3. das Schrägbild einer Pyramide erstellst.

Am Ende folgt eine Sicherung der in diesem Kapitel behandelten Themen. Wir wünschen dir viel Erfolg beim Bearbeiten den Aufgaben!

Einführung

Definition: Netz eines Körpers

Das Netz eines Körpers stellt diesen "auseinandergefaltet", also mit ausgebreiteten Flächen dar. Diese Darstellung erleichtert z.B. die Herstellung eines solchen Körpers aus Papier.

► Ordne den unten dargestellten Netzen die Körper zu, die daraus hergestellt werden können; mögliche Körper sind dabei: Würfel, Zylinder, Tetraeder (Pyramide mit dreieckiger Grundfläche), Quader, Dreiecksprisma, Pyramide mit quadratischer Grundfläche, Kegel. Halte deine Ergebnisse schriftlich fest.

Gelbes Netz: Dreiecksprisma, hellblaues Netz: Tetraeder, braunes Netz: Würfel, grünes Netz: Quader, lila Netz: Pyramide quadratischer Grundfläche

Netze entwerfen

Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

Aufgabe 1: Pyramidennetz zeichnen

Folge den Schritten (a) bis (e), um das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zu zeichnen. Deine Zeichnung soll nach dieser Anleitung im Wesentlichen so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der obigen Abbildung.

a) Zeichne zuerst ein Quadrat.

b) Zeichne nun in das Quadrat die beiden Diagonalen ein; deren Schnittpunkt kennzeichnest du mit einem S.

c) Tu folgendes für alle vier Seiten des Quadrats: Lege das Geo-Dreieck so, dass eine Gerade entsteht, die durch S und senkrecht durch die jeweilige Seite verläuft. Somit erhältst du die vier Punkte, die mittig auf den Seiten liegen. Zeichne diese Punkte ein und nenne sie A, B, C bzw. D.

d) Zeichne jetzt, von den vier mittig auf den Seiten liegenden Punkten A bis D ausgehend, jeweils eine 4cm-lange Strecke ein; diese beginnt jeweils in den Punkten A (bzw. B, C, D), steht senkrecht auf der jeweiligen Seite des Quadrats und führt vom Quadrat weg.

e) Verbinde nun die "Enden" der soeben erstellten Strecken mit den nächstliegenden Ecken des Quadrats, sodass vier Dreiecke entstehen, die das Quadrat umschließen.

Tetraeder erkunden

Nicht alle Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche; ein Rechteck, Dreieck, Sechseck usw. als Grundfläche ist ebenfalls möglich. Ein besonderer Fall ist die Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (womit die Grundfläche auch dreieckig ist); dieser Körper heißt Tetraeder.

Definition: Tetraeder

Ein (regelmäßiger) Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen (sowie gleichzeitig geichwinkligen) Dreiecken besteht. Somit ist auch die Grundfläche ein Dreieck.

► Zeichne nun das Netz eines Tetraeders, der aus gleichseitigen Dreiecken besteht.

Körper herstellen

Vom Netz zum Körper

Eben hast du (mindestens) ein Körpernetz gezeichnet. Nun soll daraus ein dreidimensionaler Körper hergestellt werden. Nachfolgend ist die Herstellung einer Pyramide dargestellt.

► Bewege den Schieberegler, um die Seitenflächen des Tetraeders aufzurichten oder abzusenken. Durch Verschieben der Eckpunkte kannst du die Gestalt der Pyramide verändern.

Pyramide mit quadratischer Grundfläche herstellen

► Stelle aus dem in 1.1. angefertigten Netz eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche her. Fixiere die Mantelfläche mit Klebeband, um zu verhindern, dass sich die Pyramide wieder "öffnet".

Schrägbilder zeichnen

Merksatz: Schrägbild

Schrägbilder stellen dreidimensionale Körper zweidimensional dar.

Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

Aufgabe 5: Schrägbild einer Pyramide

Zeichne das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Grundflächenkantenlänge $a = 5$ cm und Körperhöhe $b = 6$ cm, indem du wie folgt vorgehst:

a) Zeichne zuerst die Grundfläche. Stell dir vor, die Grundfläche würde "nach hinten weggehen". Diese perspektivische Darstellung gelingt dir, indem du 1. die "nach hinten weggehenden" Kanten nur halb so lang wie eigentlich und 2. unter einem Winkel von $45^{\circ}$ (Verzerrungswinkel) zeichnest (siehe Abbildung oben).

b) Vervollständige das Schrägbild. Zeichne dazu die Diagonalen als Hilfslinien ein. Zeichne die Höhe der Pyramide ein. Verbinde die Spitze mit den Eckpunkten der Grundfläche.

Die in die Tiefe, also nach hinten gehenden Seiten werden unter einem $45^{\circ}$ Winkel gezeichnet; nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt. Zeichne auf der Fläche, der der Grundfläche gegenüberliegt, die beiden Diagonalen ein. Bezeichne deren Schnittpunkt mit S. Verbinde S mit den unteren vier Ecken des Quaders.

Schrägbild eines Tetraeders

Aufgabe 6: Schrägbild eines Tetraeders

Zeichne das Schrägbild eines Tetraeders. Die Kanten der Grundfläche sind $4$ cm lang und die Höhe der Pyramide soll $6$ cm betragen. Beachte beim Zeichnen die Merkmale dieser besonderen Pyramide.

Fertige dir eine Hilfszeichnung an mit deiner Grundfläche an, um die passende Verzerrung des Schrägbildes zu ermitteln. Tipp: Die Grundfläche ist gleichwinklig.

Wenn du weitere Hilfestellung benötigst, schaue dir dieses Video bis zur $4.$ Minute an. [1]

Hinweis: Es gibt auch die Möglichkeit, die Grundfläche mit Hilfe von Winkelmessungen anstatt mit dem Zirkel zu zeichnen, da die Grundfläche gleichwinklig ist und somit alle Winkel $90^{\circ}$ betragen.

Du kannst dir folgendes Video zum Vergleich deiner Lösung ansehen (ab Minute $4$): [2]

Sicherung

Lückentext

Aufgabe 7: Lückentext Pyramiden

Vervollständige den folgenden Lückentext.

Folgende Begriffe kannst du einsetzen:

dreidimensional; halb so lang; beliebig viele Ecken; $90^{\circ}$; unverzerrt; gleichseitig; $45^{\circ}$; Tetraeder; Körper; Schrägbild; zweidimensional; Quader; Verzerrungswinkel; $60^{\circ}$°; doppelt so groß; verzerrt

Praktische Sicherung

Aufgabe 8: Auf dem Dach

a) Eine Scheune ist $40$ m lang, $30$ m breit. Die Seitenflächen des Dachs haben eine Höhe von $10$ m. Das Dach dieser Scheune hat die Form einer Pyramide. Zeichne das Netz des Daches im Maßstab $1:100$.

Im Maßstab $1:100$ entspricht $1$ m in der Realität $1$ cm in deiner Skizze.

b) Zeichne nun das Dach dieser Pyramide ebenfalls maßstabsgetreu.

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