Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Punkten und Vektoren im Raum. Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Wiederholung von Punkten und Vektoren

Merksatz

Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den Ortsvektor. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt $A(1|2|3)$ gehört also der Ortsvektor $\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Aufgabe 1: Koordinatensysteme

Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

1. Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
2. Zeichne die Punkte $A (1|2|1)$,$B(1|4|2)$, $C(1|2|{-}1{,}5)$ und $D(1|4|{-}0{,}5)$ in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken $\vec{ AB }$ , $\vec{ AC }$,$\vec{ CD }$ und $\vec{ BD }$ ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
3. Nutze den Punkt $A (1|2|1)$ aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte $E (-1|2|1)$,$F(1|0|1)$, $G(-1|0|1)$ und $H(0|1|5)$. Zeichne nun die Strecken $\vec{ AE }$,$\vec{ AF }$, $\vec{ AH }$, $\vec{ EG }$, $\vec{ FG }$, $\vec{ FH }$ und $\vec{ GH }$ ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.

Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem

Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt $A(0|0|0)$. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der $x_1$-$x_2$-Ebene und die Spitze der Pyramide ist 5 Längeneinheiten hoch.

Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte $B$,$C$ und $D$  ?

	$B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0)$
	$B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5)$
	$B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0)$
	$B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1)$

Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?

	Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt $5 \text{ LE}^2$.
	Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt $10 \text{ LE}^2$.
	Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt $25 \text{ LE}^2$.

Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.

Wo liegt der Spitze der Pyramide ?

	Die Spitze der Pyramide liegt bei $S (2{,}5|2{,}5|6)$.
	Die Spitze der Pyramide liegt bei $S (5|5|5)$.
	Die Spitze der Pyramide liegt bei $S (2{,}5|2{,}5|5)$.

Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.

Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren

Betrachte die dargestellten Verschiebungen $\vec{u}$ (grün) , $\vec{v}$ (gelb) und $\vec{w}$ (schwarz). Außerdem sind die Punkte $A(3|0|0)$, $B(0|2|0)$ und $C(0|0|1)$ bekannt.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

1. $A(3|0|0) + \vec{w}$
2. $C(0|0|1) - \vec{u}$
3. $A(3|0|0) - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v}$
4. $C(0|0|1) - \vec{u}+\vec{u}$
5. $B(0|2|0) + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w}$

1. $B(0|2|0)$
2. $B(0|2|0)$
3. $A(3|0|0)$
4. $C(0|0|1)$
5. $A(3|0|0)$

Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren

Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation

Wir definieren zwei Rechenoperationen für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die Vektoraddition bezeichnet das Bilden der Summe zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele Komponenten haben. Man bildet die Summe, indem man die Komponenten der Vektoren komponentenweise addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „Aneinanderlegen“ von zwei Pfeilen von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Pfeile deuten, bedeutet die Addition, dass wir die Pfeile hintereinanderlegen, so dass der Anfang von $\vec{b}$ und die „Spitze“ von $\vec{a}$ übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der Physik bekannt. Dort werden oftmals Kräfte und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren $\vec{a} + \vec{b}$ als Hintereinander-Ausführen der durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellten Verschiebungen gesehen werden kann.

Das Bilden des Vielfachen eines Vektors wird auch als Multiplikation mit einem Skalar bezeichnet. Wir nennen unseren Vektor wieder $\vec{a}$ und das Skalar bezeichnen wir mit $c$. Von jedem Vektor kann das $c$ -Fache gebildet werden, indem alle Komponenten von $\vec{a}$ mit $c$ multipliziert werden. Ist $c>0$ so wird der „Pfeil“ von $\vec{a}$ um den Faktor $c$ gestreckt (falls $c > 1$) oder gestaucht (falls $c < 1$ ). Ist $c<0$, so erhält der Pfeil, der um den Faktor $c$ gestreckt oder getaucht wird, noch eine Richtungsumkehrung. Für den Fall $c=-1$ sprechen wir dann vom Gegenvektor von $\vec{a}$.

Wir nennen zwei Vektoren kollinear (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Mit anderen Worten: Wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zwei verschiedene Vektoren sind, so sind sie parallel/kollinear zueinander, falls ein Skalar $c$ existiert, sodass gilt: $c \vec{a}=\vec{b}$. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen oder nicht.

 

Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren

Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren

Berechne die Länge der Vektoren:

1 $\vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

	$11$
	$12$
	$13$
	$14$

2 $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

	$1$
	$2$
	$\sqrt{2}$
	$\frac{1}{2}$

Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.

Berechne den Abstand der Punkte:

1 $A(8|9|10)$ und $B(2|6|8)$

	$9{,}5$
	$7$
	$8$
	$6{,}5$

2 $A(-1|{-}2|2)$ und $B(-3|{-}1|0)$

	$3$
	$6$
	$9$
	$12$

Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von $A$ und $B$. Wenn man sich den ersten Eintrag von $A$ anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von $B$. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von $A$ nach $B$ oder alle Einträge von $B$ nach $A$. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben

Aufgabe 8: Besondere Vierecke

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(3|3|5)$, $B(3{,}5|3{,}5|1)$ und $C(6{,}5|2{,}5|3)$ gegeben.

a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?

	rechtwinkliges Dreieck
	gleichseitiges Dreieck
	gleichschenkliges Dreieck

b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck $ABC$. Ein neuer Punkt $Q$ soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck $ABC$ ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu $Q$? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!

	$P(6|2|7)$
	$P(7|4|3)$
	$P(0|4|3)$
	$P(6|3|{-}1)$

Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.

Du musst Gegenvektoren verwenden.

Verwende den Vektor $\vec{ CA }$ am Punkt $B$ für eines der Parallelogramme und den Vektor $\vec{ BA }$ am Punkt $C$ für das zweite Parallelogramm.

c) Sei $P$ nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss $P$ haben, damit $P$ gemeinsam mit $A$, $B$ und $C$ die Eckpunkte einer Raute bildet?

	$P(7|3|{-}1)$
	$P(-7|{-}3|1)$
	$P(5|2|{-}3)$
	$P(-5|{-}2|3)$

Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.

In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.

Verwende den Vektor $\vec{ AC }$ am Punkt $B$.