Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

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In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Du solltest alle Aufgaben ohne Hilfsmittel, das heißt auch ohne GTR-Einsatz, lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!

Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen

Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen

Erklärvideo zum Gauß-Verfahren

Gauß-Algorithmus, Lineares Gleichungssystem lösen, einfach, schnell erklärt | Mathe by Daniel Jung

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Aufgabe 2: Wähle geschickt.

Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ -2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\ 3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert$

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert$

Lösungsweg

Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: $z=3$. Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze $z=3$ in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\ &&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert$

2. Somit erhalten wir $y=-1$ und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert$

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

$\left\vert\begin{alignat}{7} &&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\ &&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert$

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

Lösung

$L= \{(2| -1| 3)\}$

Aufgabe 3: Forme um.

In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

Lösungsweg

Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier $x$. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das $(-3)$-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\ &&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert$

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen $y$ und $z$. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable $y$ wegfällt. Dann erhalten wir:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\ &&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42 \end{alignat}\right\vert$

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch $14$ und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\ &&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert$

Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus

Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ -x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\ -x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10 \end{alignat}\right\vert$

Lösungsweg

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit $2$ und addiere dann die erste Gleichung, damit $x$ wegfällt. Dann erhalten wir:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ &&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\ &&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5 \end{alignat}\right\vert$

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ &&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\ &&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12 \end{alignat}\right\vert$

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch $4$ und erhalten dadurch $z=3$. Dann setzen wir $z=3$ in die zweite Gleichung und erhalten:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\ &&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\ &&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3 \end{alignat}\right\vert$

4. Dann setze $y=-1$ und $z=3$ in die erste Gleichung ein, darauf folgt $x=4$.

Lösung

$L= \{(4| -1| 3)\}$

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 5: Wiederholung

Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

a) Bewege die Schieberegler $a, b, c$ sowie $d, h, k$. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler $c$ oder $k$ bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

b) Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

Lösung

Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.

c) Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

Tipp 1

Betrachte die Fälle, wenn die beiden Geraden keinen Schnittpunkt oder unendlich viele Schnittpunkte haben.

Tipp 2

Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

Lösung

Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem.

d) Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

Lösung

Ein lineares Gleichungssystem kann

• eine Lösung
• keine Lösung oder
• unendlich viele Lösungen

haben.

Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme

Hat ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann $L= \{\}$.

Hat ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.

Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

a) Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\ 2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

Lösungsweg

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\ 2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\ 0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der dritten Gleichung mit $-2$ und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable $z$ bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und $z$ kann dann die Variable $y$ bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und $z$ und $y$ die Variable $x$ bestimmt.

Somit ergibt sich:

$\Rightarrow z = \frac{4}{3}$

Einsetzen von $z$ in die zweite Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\ \Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\ \Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3} \end{align}$

Einsetzen von $y$ und $z$ in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\ \Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\ \Leftrightarrow & & x &= -1 \end{align}$

Somit hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet $L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\}$.

Lösung

Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet $L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\}$.

b) Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\ -x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Lösungsweg

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\ -x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\ 0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\ 0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6 \end{alignat}\right\vert$

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14 \end{alignat}\right\vert$

An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

Lösung

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge $L= \{\}$

c) Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\ 4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14 \end{alignat}\right\vert$

Lösungsweg

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\ 4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $4$ und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\ 0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\ 0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10 \end{alignat}\right\vert$

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\ 0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle $z = t$. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

$\begin{align} \Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\ \Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\ \Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t \end{align}$

Einsetzen von $y$ und $z$ in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\ \Leftrightarrow & & y &= 2-t \end{align}$

Lösung

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet $L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\}$.

Merksatz: Variable frei wählen

Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:

1. Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
2. Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
3. Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

Aufgabe 6: Variable frei wählen

Im Beispiel Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Teil c) wurde für die Variable $z$ der Parameter $t$ gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge $L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\}$ ergeben.

a) Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

Tipp

Setze für $t$ eine beliebige reelle Zahl ein.

Lösung

Beispiel: Wähle $t = 5$. Dann folgt für die Lösungsmenge:

$L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\}$ also $L= \{({-}3|12|5)\}$

b) Für welche Variable könnte man statt für $z$ noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Teil c).

Lösung

Man könnte zum Beispiel auch für $y$ einen Parameter setzen. Setze $y = t$.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach $z$ ergibt:

$\begin{align} \Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\ \Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\ \Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\ \Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t \end{align}$

Einsetzen von $y$ und $z$ in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\ \Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\ \Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\ \end{align}$

Somit folgt für die Lösungsmenge:

$L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\}$

Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen

Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

Aufgabe 8: Parameter bestimmen

Bestimme den Parameter $a \in \mathbb{R}$ so, dass das lineare Gleichungssystem...

a) ...unendlich viele Lösungen hat.

$\left\vert\begin{alignat}{7} 4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\ 2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\ 2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1 \end{alignat}\right\vert$

Lösung

Für $a=3$ ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für $a=3$ äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

b) ...keine Lösung hat.

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\ x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1 \end{alignat}\right\vert$

Lösung

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

$\begin{align} & & 2x-ay &= a-1 \\ \Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\ \Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)} \end{align}$

An dieser Stelle sieht man, dass $y$ für $a=4$ unültig ist, da der Nenner für $a=4$ Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für $a=4$ keine Lösung.

Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme

Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme

Ein Lineares Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme

Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

a) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Lösung

Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem.

b) Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.

Tipp

Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander.

Lösung

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist $L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\}$. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $2$ erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $4$ erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung $x + y = 1$ zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach $y$ ergibt:

$y = 1 - x$

Die Variable $x$ kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter $t = x$ eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann $y = 1 - t$ bestimmen. Wird zum Beispiel $t = 1$ gewählt, so folgt $y = 1-1 = 0$.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der ersten Gleichung mit $2$ und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\ 0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

c) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\ x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert$

d) Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.

Tipp

Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich?

Lösung

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: $L= \{\}$. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich $1 = 2$. Dies ist ein Widerspruch.

Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

Lösungsweg

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der dritten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\ 2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\ 0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1 \end{alignat}\right\vert$

Aus der dritten Gleichung folgt:

$y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7}$

Einsetzen von $y$ in die zweite Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\ \Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7} \end{align}$

Einsetzen von $x$ und $y$ in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\ \Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch} \end{align}$

An dieser Stelle entsteht ein Widerspruch. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

Lösung

$L= \{\}$

Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert$

Lösungsweg

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\ 0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Aus der zweiten Gleichung folgt:

$y = \frac{4}{(-4)} = -1$

Einsetzen von $y$ in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} & & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\ \Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0 \end{align}$

Die Gleichung kann nun entweder nach $x$ oder nach $z$ umgestellt werden. Umstellen nach $z$ ergibt:

$\begin{align} & & 2z &= -2x+2 \\ \Leftrightarrow & & z &= 1-x \end{align}$

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für $x$ ein Parameter eingesetzt: Wähle $t = x$. Somit ergibt sich die Lösungsmenge $L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\}$.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel $t=3$ gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: $L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\}$ also $L= \{(3| {-}1| {-}2)\}$.

Lösung

$L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\}$ ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre $L= \{(3| {-}1| {-}2)\}$.

Aufgabe 10: LGS lösen

a) Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert$

Lösung

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Lösung

Eine mögliche Lösung ist $L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\}$.

Lösungsweg

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5 \end{alignat}\right\vert$

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\ 0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2 \end{alignat}\right\vert$

$\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Einsetzen von $y$ in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} && x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\ \end{align}$

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für $y$ wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, $x$ und $z$ können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier die Variable $z$ in Abhängigkeit von $x$ bestimmt. Für $x$ kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für $x$ ein Parameter eingesetzt: Sei $t = x$. $z$ berechnet sich dann durch den Parameter $t$. Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen. Genauso wäre es möglich, die Variable $x$ in Abhängigkeit von $z$ zu bestimmen, also für $z$ einen Parameter zu setzen.

Aufgabe 11: LGS lösen

a) Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Lösung

Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Lösung

$L= \{\}$

Lösungsweg

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4 \end{alignat}\right\vert$

Multiplikation der dritten Gleichung mit $4$ und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\ 4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\ 0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8 \end{alignat}\right\vert$

$\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

Einsetzen von $y$ in die zweite Gleichung ergibt:

$\begin{align} && 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\ \end{align}$

Einsetzen von $x$ und $y$ in die erste Gleichung ergibt:

$2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12$

Hier entsteht also ein Widerspruch. Das Einsetzen von $x$ und $y$ in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also keine Lösung.

Aufgabe 12: Zusammenfassung

Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems

Aufgabe 13: Zuordnen

Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

Tipp 1

Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung

Tipp 2

Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen

Aufgabe 14: Lösung interpretieren

Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

$\left\vert\begin{alignat}{7} (-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\ 1 &&\; - \;&& 2r &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\ 1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s \end{alignat}\right\vert$

a) Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

Tipp 1

Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

$\left\vert\begin{alignat}{7} 1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\ 2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\ 3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s \end{alignat}\right\vert$

Tipp 2

Setze I in II ein.

Lösung

$r=1 , s=0$

b) Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

Tipp

Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung.

Lösung

Die Geraden schneiden sich.

Aufgabe 15

Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen $L1=\{(2+r|1+r|3-r)\}$ bzw. $L2=\{(1-s|-s|4+s)\}$

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

Tipp 1

Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen.

Tipp 2

Die Richtungsvektoren sind $(1/1/-1)$ und $(-1/-1/1)$. Sind diese linear abhängig?

Tipp 3

Die Ortsvektoren sind $(2/1/0)$ und $(1/0/4)$. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte.

Lösung

Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch.

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