Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Verfahren Hilfsebene''' | '''Verfahren Hilfsebene''' | ||
# Stelle eine Hilfsebene <math>H</math> (in Koordinatenform) auf, die | # Stelle eine Hilfsebene <math>H</math> (in Koordinatenform) auf, die orthogonal zur Geraden <math>g</math> ist und den Punkt <math>P</math> enthält. Dafür kannst du als Normalenvektor den Richtungsvektor von <math>g</math> und als Stützvektor <math>\vec{p} </math> nehmen. | ||
# Bestimme den Schnittpunkt <math>L</math> von <math>g</math> und <math>H</math> durch Einsetzen. | # Bestimme den Schnittpunkt <math>L</math> von <math>g</math> und <math>H</math> durch Einsetzen. | ||
# Berechne den Abstand <math>d(P;g)=|\vec{PL}|</math>. | # Berechne den Abstand <math>d(P;g)=|\vec{PL}|</math>. | ||
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# Berechne nun den Abstand <math>d(P;g)=|\vec{PL}|</math>. | # Berechne nun den Abstand <math>d(P;g)=|\vec{PL}|</math>. | ||
'''Beispiel:''' | |||
Wir bestimmen den Abstand zwischen der Geraden <math> g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} </math> und dem Punkt <math>P(1|2|-3) </math>. | |||
Mit dem Verfahren Hilfsebene: | |||
1. Hilfsebene <math>H</math> aufstellen, die orthogonal zu <math>g</math> ist und den Punkt <math>P</math> enthält: | |||
Ansatz für die Hilfsebene mit dem Richtungsvektor von <math>g</math> als Normalenvektor: <math>H: 2\cdot x_1+x_2-x_3=b</math>. Einsetzen vom Punkt <math>P</math> liefert <math>b=2\cdot 1+2-(-3)=7</math>, also <math>H: 2\cdot x_1+x_2-x_3=7</math>. | |||
2. Schnittpunkt <math>L</math> von <math>g</math> und <math>H</math> durch Einsetzen bestimmen: | |||
<math>7=2\cdot(2+2t)+(3+t)-(2-t)=5+6t</math>, also <math>t=\frac{1}{3}</math>. | |||
Durch Einsetzen von <math>t</math> in die Geradengleichung von <math>g</math> erhält man den Schnittpunkt <math>L(\frac{8}{3}|\frac{10}{3}|\frac{5}{3})</math>. | |||
3. Abstand berechnen: | |||
<math>d(P;g)=|\vec{PL}|=\sqrt{(\frac{8}{3}-1)^2+(\frac{10}{3}-2)^2+(\frac{5}{3}-(-3))^2}=\frac{\sqrt{237}}{3}\approx 5,1316</math> | |||
| 3=Merksatz}} | | 3=Merksatz}} | ||
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<math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0</math> | <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0</math> | ||
und <math>\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0</math>. Es folgt <math>n_1=\frac{2}{3} n_3</math> und <math>n_2=\frac{3}{4} n_3</math>. Also ist <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} \\ 1 \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von <math>E</math>. | und <math>\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\ast \vec{n}=0</math>. Es folgt <math>n_1=\frac{2}{3} n_3</math> und <math>n_2=\frac{3}{4} n_3</math>. Also ist <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} \\ 1 \end{pmatrix}</math> ein Normalenvektor von <math>E</math>. | ||
Somit ist <math>E:\frac{2}{3}\cdot x_1+ \frac{3}{4}\cdot x_2 + x_3=b</math>. Einsetzen vom Punkt <math>(1|1|1)</math> auf der Geraden <math>g</math> in diese | Somit ist <math>E:\frac{2}{3}\cdot x_1+ \frac{3}{4}\cdot x_2 + x_3=b</math>. Einsetzen vom Punkt <math>(1|1|1)</math> auf der Geraden <math>g</math> in diese Gleichung ergibt <math>b=\frac{2}{3}\cdot 1+ \frac{3}{4}\cdot 1 + 1 = \frac{29}{12}</math>. | ||
Die Koordinatenform von <math>E</math> lautet also <math>E:\frac{2}{3}\cdot x_1+ \frac{3}{4}\cdot x_2 + x_3=\frac{29}{12}</math>. | Die Koordinatenform von <math>E</math> lautet also <math>E:\frac{2}{3}\cdot x_1+ \frac{3}{4}\cdot x_2 + x_3=\frac{29}{12}</math>. | ||
Version vom 4. Juni 2021, 10:51 Uhr
Einstieg
Im Folgenden werden nun die Verfahren für die verschiedenen Abstandsprobleme wiederholt. Je nachdem, was du noch üben willst, kannst du dir den jeweiligen Abschnitt dieses Lernpfadkapitels anschauen.
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Die folgenden Aufgaben kannst du entweder mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene lösen.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Abstand zweier windschiefer Geraden