Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
< Digitale Werkzeuge in der Schule | Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 498: | Zeile 498: | ||
'''Verfahren Hilfsebene''' | '''Verfahren Hilfsebene''' | ||
Es gibt eine Ebene <math>E</math>, sodass <math>g</math> in <math>E</math> liegt und <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist. Für diese Ebene <math>E</math> ist dann der Abstand zwischen den Geraden <math>d(g,h)</math> gleich dem Abstand zwischen <math>E</math> und einem beliebigen Punkt <math>H</math> auf | Es gibt eine Ebene <math>E</math>, sodass <math>g</math> in <math>E</math> liegt und <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist. Für diese Ebene <math>E</math> ist dann der Abstand zwischen den Geraden <math>d(g,h)</math> gleich dem Abstand zwischen <math>E</math> und einem beliebigen Punkt <math>H</math> auf <math>h</math>. | ||
# Bestimme aus den Gleichungen <math>\vec{u}\ast\vec{n}=0</math> und <math>\vec{v}\ast\vec{n}=0</math> einen Normalenvektor | #Stelle die Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene <math>E</math> auf, sodass die GErade <math>g</math> in <math>E</math> liegt und die Gerade <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist: | ||
## Jeder Normalenvektor von dieser Ebene <math>E</math> ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von den Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Bestimme also aus den Gleichungen <math>\vec{u}\ast\vec{n}=0</math> und <math>\vec{v}\ast\vec{n}=0</math> einen Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}</math>. | |||
# Bestimme mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand <math>d(E;H) | Die Ebenengleichung in Koordinatenform ist dann <math>E:n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3=b </math>. | ||
## Die Gerade <math>g</math> soll in <math>E</math> liegen. Bestimme also <math>b</math>, indem du einen Punkt der Geraden <math>g</math> in die Ebenengleichung einsetzt. | |||
# Wähle einen beliebigen Punkt <math>H</math> auf der Geraden <math>h</math>. (Da <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist, haben alle Punkte von <math>h</math> den gleichen Abstand zu <math>E</math>.) | |||
# Bestimme mit der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder dem Lotfußpunktverfahren (siehe Abschnitt Abstand Punkt Ebene) den Abstand <math>d(E;H)</math>. So, wie wir die Ebene <math>E</math> konstruiert haben, ist nun der Abstand zwischen den windeschiefen Geraden <math>d(g;h)=d(E;H)</math>. | |||
Beispiel: | '''Beispiel:''' | ||
Wir bestimmen den Abstand der windschiefen Geraden <math> g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math> und <math> h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} </math>. | Wir bestimmen den Abstand der windschiefen Geraden <math> g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math> und <math> h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} </math>. | ||
Mit dem Verfahren Gemeinsames Lot: | Mit dem Verfahren Gemeinsames Lot: | ||
1. Geradenpunkte <math>G</math> und <math>H</math> in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter: | 1. Geradenpunkte <math>G</math> und <math>H</math> in Abhängigkeit von dem jeweiligen Geradenparameter: | ||
Zeile 522: | Zeile 526: | ||
4. Damit erhält man die Lotfußpunkte <math>G(0|3|4)</math> und <math>H(7|7|0)</math>. | 4. Damit erhält man die Lotfußpunkte <math>G(0|3|4)</math> und <math>H(7|7|0)</math>. | ||
Also ist <math>d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(7-0)^2+(7-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{81}=9. | Also ist <math>d(g;h)=|\vec{GH}|=\sqrt{(7-0)^2+(7-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{81}=9</math>. | ||
Mit dem Verfahren Hilfsebene: | |||
1. Ebenengleichung der Ebene <math>E</math>, sodass <math>g</math> in <math>E</math> liegt und <math>h</math> parallel zu <math>E</math> ist, aufstellen: | |||
Der Normalenvektor ist orthogonal zu den Richtungsvektoren von <math>g</math> und <math>h</math>, also gilt: | |||
<math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} =0</math> und <math>\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\ast \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} =0</math> | |||
bzw. <math>0=n_2+n_3</math> und <math>0=4n_1-5_n_2+2n_3</math>. | |||
Dieses Gleichungssystem ergibt <math>\vec{n}=\begin{pmatrix} -\frac{7}{4} \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}</math> als möglichen Normalenvektor. | |||
Also ist <math>E:-\frac{7}{4}\cdot x_1- x_2 + x_3=b </math>. | |||
Einen Punkt der Geraden <math>g</math> einsetzen, um <math>b</math> zu erhalten (denn die Gerade <math>g</math> soll in der Ebene <math>E</math> liegen): | |||
Wir nehmen den Punkt <math>(0|1|2)</math> auf <math>g</math>. Also ist <math>b=-\frac{7}{4}\cdot 0- 1 + 2=1</math> und insgesamt <math> E: -\frac{7}{4}\cdot x_1- x_2 + x_3=1</math>. | |||
2. Einen beliebigen Punkt <math>H</math> auf der Geraden <math>h</math> wählen: Wir nehmen <math>H(7|7|0)</math>. | |||
3. Abstand mit der Formel zur Berechnung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene bestimmen: | |||
<math>d(g;h)=d(E;H)=\frac {|-\frac{7}{4}\cdot 7 + (-1)\cdot 7 + 1\cdot 0-1|}{\sqrt{(-\frac{7}{4)^2+(-1)^2+1^2}=9</math> | |||
|3=Merksatz}} | |||
Version vom 4. Juni 2021, 09:49 Uhr
Einstieg
Im Folgenden werden nun die Verfahren für die verschiedenen Abstandsprobleme wiederholt. Je nachdem, was du noch üben willst, kannst du dir den jeweiligen Abschnitt dieses Lernpfadkapitels anschauen.
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Die folgenden Aufgaben kannst du entweder mit dem Lotfußpunktverfahren oder der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene lösen.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Abstand zweier windschiefer Geraden