Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 6. Mai 2021, 13:05 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Du solltest alle Aufgaben ohne Hilfsmittel, das heißt auch ohne Taschenrechner, lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!

Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen Linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 1 - Ordne die LGS den geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen

Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen

Erklärvideo zum Gauß-Verfahren

Beispiel: 2 Unbekannte und 2 Gleichungen

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 6\\ \text{II}\quad & 4x & - & y & = & 4\\ \end{array}}$

L= \{2; 4\}

Beispiel: 3 Unbekannte und 3 Gleichungen

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & - & 2z & = & 7\\ \text{II}\quad & 3x & - & y & + & z & = & 2\\ \text{III}\quad & 2x & + & 3y & + & 5z & = & 8 \end{array}}$

L= \{2; 3; -1\}

Aufgabe 2: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & - & y & + & 2z & = & 0\\ \text{II}\quad & -y & - & 2z & = & 0\\ \text{III}\quad & -3z & = & 3 \end{array}}$

L= \{2; 1; 0,5\}

Aufgabe 3: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 6x & + & 2z & = & 1 & + & y \\ \text{II}\quad & 5x & - & 3y & + & 3z & = & 4\\ \text{III}\quad & 3x & - & 2y & = & 8 & - & z \end{array}}$

L= \{2,75; -9; -12,25\}

Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 6x & + & 2y & - & z & = & 48\\ \text{II}\quad & -3x & + & 5y & + & 3z & = & 49\\ \text{III}\quad & -2x & + & y & + & 3z & = & 24 \end{array}}$

L= \{7; 8; 10\}

Verschiedene Lineare Gleichungssysteme

Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme

Ein Lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 6\\ \text{II}\quad & 2x & - & y & = & 1\\ \text{III}\quad & x & + & 3y & = & 0 \end{array}}$

L= \{\}

Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & + & 2z & = & 0\\ \text{II}\quad & x & - & y & + & z & = & 2 \end{array}}$

L= \{(x; -1; 1-x)| x \in \mathbb{R}\}

Aufgabe 5 - LGS lösen

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 3y & + & z & = & 3\\ \text{II}\quad & x & - & 3y & + & z & = & 5 \end{array}}$

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 3y & + & z & = & 3 \\ \text{II}\quad & x & - & 3y & + & z & = & 5 &&\mid \text{II}-\text{I} \end{array} }$

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 3y & + & z & = & 3 \\ \text{II}\quad & x & - & 3y & + & z & = & 5 \end{array} }$

${\displaystyle \Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} }$

Einsetzen von y in die erste Gleichung ergibt:

${\displaystyle \begin{align} && x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\ \end{align}}$

L= \{(x; -\frac{1}{3}; 4-x)| x \in \mathbb{R}\}

Aufgabe 6 - LGS lösen

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & = & 12\\ \text{II}\quad & 4x & - & 2y & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & 4y & = & 4 \end{array}}$

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & = & 12\\ \text{II}\quad & 4x & - & 2y & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & 4y & = & 4 &&\mid \text{III}\cdot 4-\text{II} \end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & = & 12\\ \text{II}\quad & 4x & - & 2y & = & 8\\ \text{III}\quad & 0 & + & 18y & = & 8 \end{array} }$

${\displaystyle \Rightarrow y = \frac{8}{18} }$

Einsetzen von y in die zweite Gleichung ergibt:

${\displaystyle \begin{align} && 4x - 2 \cdot \frac{8}{18} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\ \end{align}}$

Einsetzen von x und y in die zweite Gleichung ergibt:

${\displaystyle 2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12 }$

L= \{\}

Aufgabe 7 - LGS lösen

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4\\ \text{III}\quad & 2x & + & 2y & + & z & = & 6\\ \text{IV}\quad & x & + & 2y & + & 2z & = & 1 \end{array}}$

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4\\ \text{III}\quad & 2x & + & 2y & + & z & = & 6\\ \text{IV}\quad & x & + & 2y & + & 2z & = & 1 &&\mid \text{IV}\cdot 2-\text{III} \end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4\\ \text{III}\quad & 2x & + & 2y & + & z & = & 6 &&\mid \text{III}+\text{II}\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 2y & + & 3z & = & -4 \end{array} }$

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4 &&\mid \text{II}\cdot 2+\text{I} \\ \text{III}\quad & 0 & + & 3y & + & 3z & = & 10\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 2y & + & 3z & = & -4 \end{array} }$

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & 0 & + & 6y & + & 5z & = & 16\\ \text{III}\quad & 0 & + & 3y & + & 3z & = & 10\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 2y & + & 3z & = & -4 &&\mid \text{IV}\cdot 3-\text{III}\cdot 2 \end{array} }$

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & 0 & + & 6y & + & 5z & = & 16\\ \text{III}\quad & 0 & + & 3y & + & 3z & = & 10\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 0 & + & 3z & = & -32 \end{array} }$

${\displaystyle \Rightarrow z = -\frac{32}{3} }$

Einsetzen von z in die dritte Gleichung ergibt:

${\displaystyle \begin{align} && 3y + 3 \cdot (-\frac{32}{3}) &= 10 \\ \Leftrightarrow & & 3y - 32 &= 10 \\ \Leftrightarrow & & 3y &= 42 \\ \Leftrightarrow & & y &= 14 \\ \end{align}}$

Einsetzen von y und z in die zweite Gleichung ergibt:

${\displaystyle \begin{align} && 6y + 5 \cdot (-\frac{32}{3}) &= 16 \\ \Leftrightarrow & & 6y - \frac{160}{3}&= 16 \\ \Leftrightarrow & & 6y &= \frac{208}{3} \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{104}{9} \\ \end{align}}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad y = 14 \neq \frac{104}{9} }$

L= \{\}

Aufgabe 8 - Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme

Im Merksatz oben haben wir erklärt, dass überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen und unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

a) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege zunächst mit der Erklärung aus dem Merksatz ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt und welche Lösung es im Allgemeinen haben sollte. Versuche das Gleichungssystem dann so zu lösen, dass du eine andere Lösung erhältst, als die, die im Merksatz beschrieben ist.

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 1\\ \text{II}\quad & 2x & + & 2y & = & 2\\ \text{III}\quad & 4x & + & 4y & = & 4 \end{array}}$

L= \{(x; 1-x;| x \in \mathbb{R}\}

; das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen

b) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege zunächst mit der Erklärung aus dem Merksatz ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt und welche Lösung es im Allgemeinen haben sollte. Versuche das Gleichungssystem dann so zu lösen, dass du eine andere Lösung erhältst, als die, die im Merksatz beschrieben ist.

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & + & z & = & 1\\ \text{II}\quad & x & + & y & + & z & = & 2 \end{array}}$

L= \{\}

; das Gleichungssystem hat also keine Lösungen

Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems

Aufgabe 9 - Ordne die Linearen Gleichungssysteme, Lösungsmengen und Grafiken den entsprechenden Anzahlen der Lösungen zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen

Aufgabe 10 - Lösung interpretieren

Die Lagebeziehung dreier Ebenen wird untersucht. Dabei entsteht durch die Ebenengleichungen das folgende Gleichungssystem:

${\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 4y & + & z & = & 12\\ \text{II}\quad & x & + & 2y & + & z & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & y & - & z & = & 3 \end{array}}$

Durch die Anwendung des Gaußverfahrens resultiert folgende Matrix:

${\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}}$

a) Lese die Lösungen des LGS für x, y und z ab.

x = 4,  y = 1,  z = 2

b) Was bedeutet die Lösung in Bezug auf die Lagebeziehung der Ebenen? Bestimme ggf. den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen.

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