Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

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In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Du solltest alle Aufgaben ohne Hilfsmittel, das heißt auch ohne Taschenrechner, lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!

Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen Linearer Gleichungssysteme

Aufgabe 1 - Ordne die LGS den geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen

Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen

Erklärvideo zum Gauß-Verfahren

Gauß-Algorithmus, Lineares Gleichungssystem lösen, einfach, schnell erklärt | Mathe by Daniel Jung

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Beispiel: 2 Unbekannte und 2 Gleichungen

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 6\\ \text{II}\quad & 4x & - & y & = & 4\\ \end{array}$

Lösung

$L= \{2; 4\}$

Beispiel: 3 Unbekannte und 3 Gleichungen

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & - & 2z & = & 7\\ \text{II}\quad & 3x & - & y & + & z & = & 2\\ \text{III}\quad & 2x & + & 3y & + & 5z & = & 8 \end{array}$

Lösung

$L= \{2; 3; -1\}$

Aufgabe 2: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & - & y & + & 2z & = & 0\\ \text{II}\quad & -y & - & 2z & = & 0\\ \text{III}\quad & -3z & = & 3 \end{array}$

Lösung

$L= \{2; 1; 0,5\}$

Aufgabe 3: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 6x & + & 2z & = & 1 & + & y \\ \text{II}\quad & 5x & - & 3y & + & 3z & = & 4\\ \text{III}\quad & 3x & - & 2y & = & 8 & - & z \end{array}$

Tipp

Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.

Lösung

$L= \{2,75; -9; -12,25\}$

Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 6x & + & 2y & - & z & = & 48\\ \text{II}\quad & -3x & + & 5y & + & 3z & = & 49\\ \text{III}\quad & -2x & + & y & + & 3z & = & 24 \end{array}$

Lösung

$L= \{7; 8; 10\}$

Verschiedene Lineare Gleichungssysteme

Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme

Ein Lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 6\\ \text{II}\quad & 2x & - & y & = & 1\\ \text{III}\quad & x & + & 3y & = & 0 \end{array}$

Lösung

$L= \{\}$

Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & + & 2z & = & 0\\ \text{II}\quad & x & - & y & + & z & = & 2 \end{array}$

Lösung

$L= \{(x; -1; 1-x)| x \in \mathbb{R}\}$

Aufgabe 5 - LGS lösen

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 3y & + & z & = & 3\\ \text{II}\quad & x & - & 3y & + & z & = & 5 \end{array}$

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

Lösung

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Unbekannte als Gleichungen besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Lösungsweg

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 3y & + & z & = & 3 \\ \text{II}\quad & x & - & 3y & + & z & = & 5 &&\mid \text{II}-\text{I} \end{array}$

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 3y & + & z & = & 3 \\ \text{II}\quad & x & - & 3y & + & z & = & 5 \end{array}$

$\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Einsetzen von y in die erste Gleichung ergibt:

$\begin{align} && x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\ \end{align}$

Lösung

$L= \{(x; -\frac{1}{3}; 4-x)| x \in \mathbb{R}\}$

Aufgabe 6 - LGS lösen

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & = & 12\\ \text{II}\quad & 4x & - & 2y & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & 4y & = & 4 \end{array}$

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

Lösung

Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Unbekannte besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Lösungsweg

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & = & 12\\ \text{II}\quad & 4x & - & 2y & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & 4y & = & 4 &&\mid \text{III}\cdot 4-\text{II} \end{array}$

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & = & 12\\ \text{II}\quad & 4x & - & 2y & = & 8\\ \text{III}\quad & 0 & + & 18y & = & 8 \end{array}$

$\Rightarrow y = \frac{8}{18}$

Einsetzen von y in die zweite Gleichung ergibt:

$\begin{align} && 4x - 2 \cdot \frac{8}{18} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\ \end{align}$

Einsetzen von x und y in die zweite Gleichung ergibt:

$2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12$

Lösung

$L= \{\}$

Aufgabe 7 - LGS lösen

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4\\ \text{III}\quad & 2x & + & 2y & + & z & = & 6\\ \text{IV}\quad & x & + & 2y & + & 2z & = & 1 \end{array}$

a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

Lösung

Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Unbekannte besitzt.

b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

Lösungsweg

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4\\ \text{III}\quad & 2x & + & 2y & + & z & = & 6\\ \text{IV}\quad & x & + & 2y & + & 2z & = & 1 &&\mid \text{IV}\cdot 2-\text{III} \end{array}$

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4\\ \text{III}\quad & 2x & + & 2y & + & z & = & 6 &&\mid \text{III}+\text{II}\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 2y & + & 3z & = & -4 \end{array}$

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4 &&\mid \text{II}\cdot 2+\text{I} \\ \text{III}\quad & 0 & + & 3y & + & 3z & = & 10\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 2y & + & 3z & = & -4 \end{array}$

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & 0 & + & 6y & + & 5z & = & 16\\ \text{III}\quad & 0 & + & 3y & + & 3z & = & 10\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 2y & + & 3z & = & -4 &&\mid \text{IV}\cdot 3-\text{III}\cdot 2 \end{array}$

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & 0 & + & 6y & + & 5z & = & 16\\ \text{III}\quad & 0 & + & 3y & + & 3z & = & 10\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 0 & + & 3z & = & -32 \end{array}$

$\Rightarrow z = -\frac{32}{3}$

Einsetzen von z in die dritte Gleichung ergibt:

$\begin{align} && 3y + 3 \cdot (-\frac{32}{3}) &= 10 \\ \Leftrightarrow & & 3y - 32 &= 10 \\ \Leftrightarrow & & 3y &= 42 \\ \Leftrightarrow & & y &= 14 \\ \end{align}$

Einsetzen von y und z in die zweite Gleichung ergibt:

$\begin{align} && 6y + 5 \cdot (-\frac{32}{3}) &= 16 \\ \Leftrightarrow & & 6y - \frac{160}{3}&= 16 \\ \Leftrightarrow & & 6y &= \frac{208}{3} \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{104}{9} \\ \end{align}$

$\Rightarrow \quad y = 14 \neq \frac{104}{9}$

Lösung

$L= \{\}$

Aufgabe 8 - Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme

Im Merksatz oben haben wir erklärt, dass überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen und unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

a) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege zunächst mit der Erklärung aus dem Merksatz ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt und welche Lösung es im Allgemeinen haben sollte. Versuche das Gleichungssystem dann so zu lösen, dass du eine andere Lösung erhältst, als die, die im Merksatz beschrieben ist.

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 1\\ \text{II}\quad & 2x & + & 2y & = & 2\\ \text{III}\quad & 4x & + & 4y & = & 4 \end{array}$

Tipp

Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. Wegen der allgemeinen Erklärung liegt der Verdacht vor, dass dieses Gleichungssystem keine Lösung hat.

Lösung

$L= \{(x; 1-x;| x \in \mathbb{R}\}$; das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen

b) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege zunächst mit der Erklärung aus dem Merksatz ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt und welche Lösung es im Allgemeinen haben sollte. Versuche das Gleichungssystem dann so zu lösen, dass du eine andere Lösung erhältst, als die, die im Merksatz beschrieben ist.

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & + & z & = & 1\\ \text{II}\quad & x & + & y & + & z & = & 2 \end{array}$

Tipp

Hierbei handelt es sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem. Wegen der allgemeinen Erklärung liegt der Verdacht vor, dass dieses Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, also unendlich viele Lösungen besitzt.

Lösung

$L= \{\}$; das Gleichungssystem hat also keine Lösungen

Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems

Aufgabe 9 - Ordne die Linearen Gleichungssysteme, Lösungsmengen und Grafiken den entsprechenden Anzahlen der Lösungen zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen

Tipp 1

Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung

Tipp 2

Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen

Aufgabe 10 - Lösung interpretieren

Die Lagebeziehung dreier Ebenen wurde untersucht. Dabei entstand das folgende Gleichungssystem durch die Ebenengleichungen:

$\begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 4y & + & z & = & 12\\ \text{II}\quad & x & - & 2y & + & z & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & y & - & z & = & 4 \end{array}$

Durch die Anwendung des Gaußverfahrens resultierte folgende Matrix: $\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}$

a) Lese die Lösungen des LGS für x, y und z ab.

Tipp

In der Matrixschreibweise steht je eine Spalte für eine Variable. Aus einer solchen Stufenform lassen sich die Werte direkt ablesen. In der letzten Spalte stehen die entsprechenden Werte.

Lösung

$x = 4, y = 1, z = 2$

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