In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
Du solltest alle Aufgaben ohne Hilfsmittel, das heißt auch ohne Taschenrechner, lösen!
I x + y = 6 II 4 x − y = 4 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 6\\ \text{II}\quad & 4x & - & y & = & 4\\ \end{array}}
I x + y − 2 z = 7 II 3 x − y + z = 2 III 2 x + 3 y + 5 z = 8 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & - & 2z & = & 7\\ \text{II}\quad & 3x & - & y & + & z & = & 2\\ \text{III}\quad & 2x & + & 3y & + & 5z & = & 8 \end{array}}
I x − y + 2 z = 0 II − y − 2 z = 0 III − 3 z = 3 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & - & y & + & 2z & = & 0\\ \text{II}\quad & -y & - & 2z & = & 0\\ \text{III}\quad & -3z & = & 3 \end{array}}
I 6 x + 2 z = 1 + y II 5 x − 3 y + 3 z = 4 III 3 x − 2 y = 8 − z {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 6x & + & 2z & = & 1 & + & y \\ \text{II}\quad & 5x & - & 3y & + & 3z & = & 4\\ \text{III}\quad & 3x & - & 2y & = & 8 & - & z \end{array}}
I 6 x + 2 y − z = 48 II − 3 x + 5 y + 3 z = 49 III − 2 x + y + 3 z = 24 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 6x & + & 2y & - & z & = & 48\\ \text{II}\quad & -3x & + & 5y & + & 3z & = & 49\\ \text{III}\quad & -2x & + & y & + & 3z & = & 24 \end{array}}
Ein Lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.
Ein Lineares Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.
I x + y = 6 II 2 x − y = 1 III x + 3 y = 0 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 6\\ \text{II}\quad & 2x & - & y & = & 1\\ \text{III}\quad & x & + & 3y & = & 0 \end{array}}
I 2 x + 2 y + 2 z = 0 II x − y + z = 2 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & + & 2z & = & 0\\ \text{II}\quad & x & - & y & + & z & = & 2 \end{array}}
I x + 3 y + z = 3 II x − 3 y + z = 5 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 3y & + & z & = & 3\\ \text{II}\quad & x & - & 3y & + & z & = & 5 \end{array}}
a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?
I x + 3 y + z = 3 II x − 3 y + z = 5 ∣ II − I {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 3y & + & z & = & 3 \\ \text{II}\quad & x & - & 3y & + & z & = & 5 &&\mid \text{II}-\text{I} \end{array} }
I x + 3 y + z = 3 II x − 3 y + z = 5 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 3y & + & z & = & 3 \\ \text{II}\quad & x & - & 3y & + & z & = & 5 \end{array} }
⇒ y = 2 ( − 6 ) = − 2 6 = − 1 3 {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} }
Einsetzen von y in die erste Gleichung ergibt:
x + 3 ⋅ − 1 3 + z = 3 ⇔ x − 1 + z = 3 ⇔ x + z = 4 ⇔ z = 4 − x {\displaystyle \begin{align} && x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\ \Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\ \Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\ \end{align}}
I 2 x + 2 y = 12 II 4 x − 2 y = 8 III x + 4 y = 4 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & = & 12\\ \text{II}\quad & 4x & - & 2y & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & 4y & = & 4 \end{array}}
I 2 x + 2 y = 12 II 4 x − 2 y = 8 III x + 4 y = 4 ∣ III ⋅ 4 − II {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & = & 12\\ \text{II}\quad & 4x & - & 2y & = & 8\\ \text{III}\quad & x & + & 4y & = & 4 &&\mid \text{III}\cdot 4-\text{II} \end{array}}
I 2 x + 2 y = 12 II 4 x − 2 y = 8 III 0 + 18 y = 8 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 2x & + & 2y & = & 12\\ \text{II}\quad & 4x & - & 2y & = & 8\\ \text{III}\quad & 0 & + & 18y & = & 8 \end{array} }
⇒ y = 8 18 {\displaystyle \Rightarrow y = \frac{8}{18} }
Einsetzen von y in die zweite Gleichung ergibt:
4 x − 2 ⋅ 8 18 = 8 ⇔ 4 x − 8 9 = 8 ⇔ 4 x = 80 9 ⇔ x = 20 9 {\displaystyle \begin{align} && 4x - 2 \cdot \frac{8}{18} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\ \Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\ \Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\ \end{align}}
Einsetzen von x und y in die zweite Gleichung ergibt:
2 ⋅ 20 9 + 2 ⋅ 8 18 = 16 3 ≠ 12 {\displaystyle 2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12 }
I 4 x + 4 y + z = 8 II − 2 x + y + 2 z = 4 III 2 x + 2 y + z = 6 IV x + 2 y + 2 z = 1 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4\\ \text{III}\quad & 2x & + & 2y & + & z & = & 6\\ \text{IV}\quad & x & + & 2y & + & 2z & = & 1 \end{array}}
I 4 x + 4 y + z = 8 II − 2 x + y + 2 z = 4 III 2 x + 2 y + z = 6 IV x + 2 y + 2 z = 1 ∣ IV ⋅ 2 − III {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4\\ \text{III}\quad & 2x & + & 2y & + & z & = & 6\\ \text{IV}\quad & x & + & 2y & + & 2z & = & 1 &&\mid \text{IV}\cdot 2-\text{III} \end{array}}
I 4 x + 4 y + z = 8 II − 2 x + y + 2 z = 4 III 2 x + 2 y + z = 6 ∣ III + II IV 0 + 2 y + 3 z = − 4 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4\\ \text{III}\quad & 2x & + & 2y & + & z & = & 6 &&\mid \text{III}+\text{II}\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 2y & + & 3z & = & -4 \end{array} }
I 4 x + 4 y + z = 8 II − 2 x + y + 2 z = 4 ∣ II ⋅ 2 + I III 0 + 3 y + 3 z = 10 IV 0 + 2 y + 3 z = − 4 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & -2x & + & y & + & 2z & = & 4 &&\mid \text{II}\cdot 2+\text{I} \\ \text{III}\quad & 0 & + & 3y & + & 3z & = & 10\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 2y & + & 3z & = & -4 \end{array} }
I 4 x + 4 y + z = 8 II 0 + 6 y + 5 z = 16 III 0 + 3 y + 3 z = 10 IV 0 + 2 y + 3 z = − 4 ∣ IV ⋅ 3 − III ⋅ 2 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & 0 & + & 6y & + & 5z & = & 16\\ \text{III}\quad & 0 & + & 3y & + & 3z & = & 10\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 2y & + & 3z & = & -4 &&\mid \text{IV}\cdot 3-\text{III}\cdot 2 \end{array} }
I 4 x + 4 y + z = 8 II 0 + 6 y + 5 z = 16 III 0 + 3 y + 3 z = 10 IV 0 + 0 + 3 z = − 32 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & 4x & + & 4y & + & z & = & 8\\ \text{II}\quad & 0 & + & 6y & + & 5z & = & 16\\ \text{III}\quad & 0 & + & 3y & + & 3z & = & 10\\ \text{IV}\quad & 0 & + & 0 & + & 3z & = & -32 \end{array} }
⇒ z = − 32 3 {\displaystyle \Rightarrow z = -\frac{32}{3} }
Einsetzen von z in die dritte Gleichung ergibt:
3 y + 3 ⋅ ( − 32 3 ) = 10 ⇔ 3 y − 32 = 10 ⇔ 3 y = 42 ⇔ y = 14 {\displaystyle \begin{align} && 3y + 3 \cdot (-\frac{32}{3}) &= 10 \\ \Leftrightarrow & & 3y - 32 &= 10 \\ \Leftrightarrow & & 3y &= 42 \\ \Leftrightarrow & & y &= 14 \\ \end{align}}
Einsetzen von y und z in die zweite Gleichung ergibt:
6 y + 5 ⋅ ( − 32 3 ) = 16 ⇔ 6 y − 160 3 = 16 ⇔ 6 y = 208 3 ⇔ y = 104 9 {\displaystyle \begin{align} && 6y + 5 \cdot (-\frac{32}{3}) &= 16 \\ \Leftrightarrow & & 6y - \frac{160}{3}&= 16 \\ \Leftrightarrow & & 6y &= \frac{208}{3} \\ \Leftrightarrow & & y &= \frac{104}{9} \\ \end{align}}
⇒ y = 14 ≠ 104 9 {\displaystyle \Rightarrow \quad y = 14 \neq \frac{104}{9} }
Im Merksatz oben haben wir erklärt, dass überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen und unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.
a) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege zunächst mit der Erklärung aus dem Merksatz ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt und welche Lösung es im Allgemeinen haben sollte. Versuche das Gleichungssystem dann so zu lösen, dass du eine andere Lösung erhältst, als die, die im Merksatz beschrieben ist.
I x + y = 1 II 2 x + 2 y = 2 III 4 x + 4 y = 4 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & = & 1\\ \text{II}\quad & 2x & + & 2y & = & 2\\ \text{III}\quad & 4x & + & 4y & = & 4 \end{array}}
b) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege zunächst mit der Erklärung aus dem Merksatz ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt und welche Lösung es im Allgemeinen haben sollte. Versuche das Gleichungssystem dann so zu lösen, dass du eine andere Lösung erhältst, als die, die im Merksatz beschrieben ist.
I x + y + z = 1 II x + y + z = 2 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & y & + & z & = & 1\\ \text{II}\quad & x & + & y & + & z & = & 2 \end{array}}
Die Lagebeziehung dreier Ebenen wurde untersucht. Dabei entstand das folgende Gleichungssystem durch die Ebenengleichungen: I x + 4 y + z = 10 II x − 2 y + z = 8 III x − y − z = 3 {\displaystyle \begin{array}{crcrcr}\\ \text{I}\quad & x & + & 4y & + & z & = & 10\\ \text{II}\quad & x & - & 2y & + & z & = & 8\\ \text{III}\quad & x & - & y & - & z & = & 3 \end{array}}
Durch die Anwendung des Gaußverfahrens resultierte folgende Matrix: ( 1 0 0 4 0 1 0 1 0 0 1 2 ) {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}}
a) Lese die Lösungen für x, y und z ab.
