Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit dem Skalarprodukt und dem Winkel zwischen zwei Vektoren beziehungsweise dem Winkel zwischen zwei Geraden.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Skalarprodukt

In diesem Anschnitt beschäftigen wir uns mit dem Skalarprodukt. Dieses ist ein wichtiger Bestandteil, um später den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen zu können.

Einführung

Definition des Skalarprodukts

Für die beiden Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ ist das Skalarprodukt definiert als $\vec{u} \ast \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Für das Skalarprodukt gilt das...

• Kommutativgesetz, das heißt es gilt $\vec{u} \ast \vec{v} = \vec{v} \ast \vec{u}$.
• Distributivgesetz, das heißt es gilt $\vec{u} \ast ( \vec{v} \ast \vec{w}) = ( \vec{u} \ast \vec{v}) \ast \vec{w}$.
• Assoziativgesetz, das heißt es gilt $(r \cdot \vec{u}) \ast \vec{v} = r \cdot ( \vec{u} \ast \vec{v})$ mit $r \in \mathbb{R}$.

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Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:

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Übungen

Aufgabe 1: Das Skalarprodukt berechnen

Fokus Mathematik, Seite 222, Nr.1

Aufgabe 2: Terme umformen

Wenn du Terme zuerst umzuformst, bevor du das Skalarprodukt berechnest, sparst du dir eine Menge Aufwand.

Löse die Klammern auf und fasse sinnvoll zusammen. Notiere deine Ergebnisse und überprüfe sie anschließend mit den Lösungen. Für die Vektoren müssen in dieser Aufgabe keine Werte eingesetzt werden.

a) $(3 \vec{a} - 5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + 7 \vec{b})$

$6 \vec{a}^2 + 11 \vec{a} \vec{b} - 35 \vec{b}^2$

b) $(3 \vec{e}) \cdot \vec{f} + \vec{f} \cdot (2 \vec{e}) - 4 (\vec{e} \cdot \vec{f})$

$\vec{e} \vec{f}$

c) $(3 \vec{u} - 2 \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 2 \vec{v}) - 7(\vec{u} \cdot \vec{v})$

$3 \vec{u}^2 - \vec{u} \vec{v} -4 \vec{v}$

d) $(2 \vec{a} + 3 \vec{b} - \vec{c}) \cdot ( \vec{a} - \vec{b})$

$2 \vec{a}^2 + \vec{a} \vec{b} - 3 \vec{b}^2 - \vec{c} \vec{a} + \vec{c} \vec{b}$

e) $( \vec{x} + \vec{y})^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2$

Erinnere dich an die binomischen Formeln. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie die binomischen Formeln lauten, dann schaue in Tipp 2.

Erste binomische Formel: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Zweite binomische Formel: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Dritte binomische Formel: $(x+y) \cdot (x-y) = x^2 - y^2$

$4 \vec{x} \vec{y}$

f) $( \vec{g} + 3 \vec{h})^2 - \vec{g} \cdot (\vec{g} + 6 \vec{h})$

$9 \vec {h}^2$

Aufgabe 3: Multiplikation oder Skalarprodukt?

Enscheide in den folgenden Aufgaben, wann der Malpunkt für das Skalarprodukt und wann er für die Multiplkation von Zahlen steht. Die Reihenfolge der Antworten innerhalb einer Antwortmöglichkeit soll der Reihenfolge der Malpunkte innerhalb der Aufgabe entsprechen.

1 $\vec{a} \cdot \vec {b}$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

2 $\vec{b} \cdot \vec {a}$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

3 $\vec{a} \cdot (\vec {b} + \vec{c})$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

4 $\vec{b} \cdot (\vec {a} + \vec{c})$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

5 $(\vec{a} - \vec {b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c})$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

6 $(\vec{a} \cdot \vec {b}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec {c})$

	Skalarproduk/Multiplikation/Multiplikation
	Skalarprodukt/Multiplikation/Skalarprodukt
	Multiplikation/Multiplikation/Multiplikation
	Skalarprodukt/Skalarprodukt/Skalarprodukt
	Multiplikation/Skalarprodukt/Skalarprodukt
	Multiplikation/Multiplikation/Multiplikation

7 $\vec{b} \cdot (\vec {a} \cdot \vec{c})$

	Multiplikation/Multiplikation
	Skalarprodukt/Skalarprodukt
	Multiplikation/Skalarprodukt
	Skalarprodukt/Multiplikation

8 $(\vec{b} \cdot \vec{a}) \cdot \vec {c}$

	Multiplikation/Multiplikation
	Skalarprodukt/Skalarprodukt
	Multiplikation/Skalarprodukt
	Skalarprodukt/Multiplikation

Bei der Multiplikation von zwei reellen Zahlen erhälst du wieder eine reelle Zahl. Das Produkt von zwei Vektoren liefert jedoch nicht einen Vektor, sondern eine reelle Zahl. Diese ist genau durch das Skalarprodukt definiert.

Winkel

Im Folgenden schauen wir uns den Umgang mit Winkeln zwischen Vektoren und Geraden an.

Einführung

Definition Winkel zwischen zwei Vektoren

Die beiden Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ haben den Innenwinkel α.

Es gilt: $\vec{u} \ast \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha$

Stellt man die Formel nach cos α um, erhält man: $\cos \alpha = \frac{u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3}{\sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3 ^2} \cdot \sqrt{v_1 ^2 + v_2 ^2 + v_3 ^2}}$

Merksatz

Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

"Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen.

Satz: "Sonderfälle"

Neben dem Sonderfall der Orthogonalität gibt es noch zwei weitere: Wenn α = 0°, dann haben die beiden Vektoren die gleiche Richtung.

Wenn α = 180°, dann haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Richtungen.

Aufgabe 4: Grafische Darstellung und Veränderungen durch den Winkel

Schau dir die folgende Darstellung zweier Vektoren an. Wie verändert sich das Skalarprodukt, wenn du die Länge eines Vektors veränderst? https://www.geogebra.org/m/nJzV8Euq#material/qcHvSSPD --> Wie kann das eingebunden werden???

Das Skalarprodukt ändert sich nicht, wenn die Länge eines (oder beider) Vektoren variiert wird.

Satz: "Betrag von Vektoren"

Der Betrag eines Vektors ist im geometrische Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet: $| \vec{u} | = | \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2}$

Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir Lernpfadkapitel Punkte und Vektoren im Raum an.

Video

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Übungen

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aufgabe 5: Winkelberechnung

Berechne die Größe des Winkels α zwischen den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$. Du darfst dafür deinen Taschenrechner verwenden. Runde das Ergebnis auf die zweite Nachkommastelle.

1 a) $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

	α = 1,14°
	α = 65,56°
	α = 29,01°

2 b) $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

	α = 57,12°
	α = 0,10°
	α = 62,80°

3 c) $\vec{u} = \begin{pmatrix} -11 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

	α = 59,97°
	α = 44,75°
	α = 90°

Aufgabe 6: Orthogonalität I

Aufgabe 7: Orthogonalität II

Bestimme die fehlende Koordinate so, dass die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ orthogonal zueinander sind.

1 a) $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ u_2 \\ 3 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

	5
	-5
	7

2 b) $\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}$

	$\frac{3}{2}$
	$\frac{2}{3}$
	-$\frac{3}{2}$

3 c) $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ 1 \\ 63 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

	$\frac{1}{2}$
	-$\frac{1}{2}$
	-1

Aufgabe 8: Räumliches Vorstellungsvermögen

Sei $\vec{u} \perp \vec{v}$ und $\vec{v} \perp \vec{w}$. Was lässt sich im zweidimensionalen Raum $\R^2$ über die Beziehung von $\vec{u}$ und $\vec{w}$ sagen?

$\vec{u}$ und $\vec{w}$ sind parallel zueinander, d.h. $\vec{u} \parallel \vec{w}$.

Im Vergleich dazu: Was lässt sich über die Beziehung von $\vec{u}$ und $\vec{w}$ im dreidimensionalen Raum $\R^3$ sagen?

Du kannst dir einen Körper als Hilfe nehmen. Denke zum Beispiel an einen Würfel. Wenn es dir hilft, mache eine kleine Skizze zur Veranschaulichung.

$\vec{u}$ und $\vec{w}$ sind nicht parallel zueinander.

Knobelaufgabe: Räumliches Vorstellungsvermögen

Wie häufig wird das Skalarprodukt zwischen den (als Vektoren gedeuteten) Zeiger einer Uhr täglich null?

1) Mache dir zunächst einmal klar, was es für die Uhrzeiger bedeutet, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

2) Wie häufig wird das Skalarprodukt innerhalb von einer Stunde null?

Jede Stunde befinden sich die beiden Uhrzeiger zweimal orthogonal zueinander. Viermal am Tag, nämlich zu den Uhrzeiten 3, 9, 15 und 21Uhr, zählt der rechte Winkel zweimal.

Damit ergibt sich, dass das Skalarprodukt der beiden Uhrzeiger täglich 48 - 4 = 44 Mal null beträgt.

Winkel zwischen zwei Geraden

In diesem Abschnitt lernst du, wie man den Schnittwinkel zweier Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.

Wenn du nicht mehr weißt, wie man eine Geradengleichung aufstellt, schau dir das Lernpfadkapitel "Geraden im Raum" an.

Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel berechnen.

Um den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.

Mach dich mit den Eigenschaften von Geraden vertraut. Es gibt vier mögliche Lagen zweier Geraden:

echt parallele Geraden, identische Geraden, windschiefe Geraden, sich schneidende Geraden

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint. Also $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$. Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.

Schnittwinkel zweier Geraden - Formel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden in Parameterform

• g: $\vec{x} = \vec{a} \cdot r \vec{u}$
• h: $\vec{x} = \vec{b} \cdot s \vec{v}$

Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels der beiden Geraden lautet

$cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Vorgehensweise

• 1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
• 2. Länge der Richtungsvektoren berechnen
• 3. Ergebnisse in die Formel einsetzen
• 4. Formel nach alpha auflösen

Aufgabe 9: Berechne den Schnittwinkel der Geraden g und h; $r, s \in \mathbb{R}$

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$;

$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

• 1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

$\vec{u} \ast \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = -2$

• 2. Länge der Richtungsvektoren berechnen

$|\vec{u}| = \sqrt{1^2+3^2+0^2} = \sqrt{10}$

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{11}$

• 3. Ergebnisse in die Formel einsetzen

Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein

$cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

und erhältst somit

$cos(\alpha) = \frac {|-2|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{110}}$

• 4. Formel nach $\alpha$ auflösen

$\alpha = cos^{-1} (\frac{2}{\sqrt{110}}) \approx 79,01^\circ$

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden g und h beträgt ca. $79,01^\circ$

Aufgabe 10: Billiardaufgabe (Fokus Mathematik, S. 225, Nr. 28)

Aufgabe 11: S.130, Nr. 18