Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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Merkbox mit Beispiel | Merkbox mit Beispiel | ||
=\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} | <nowiki>=\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</nowiki> | ||
{{Box | Aufgabe 1: | Berechne die Abstände der Punkte <math> | {{Box | Aufgabe 1: | Berechne die Abstände der Punkte <math>A(3|4|-1)</math> und <math>B(1|7|4)</math> von der Ebene <math>E: 8x_1-4x_2-x_3=5</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= Der Normalenvektor der Ebene ist: <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} </math> | ||
{{Lösung versteckt|1= | Länge des Normalenvektors <math>\vec{n} </math> bestimmen: <math>|\vec{n}|=\sqrt{8^2-4^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9 </math> | ||
Die HNF lautet nun: <math>\frac {|8*x_1-4*x_2-1*x_3-5|}{9}</math>. | |||
Nun werden die Koordinaten von A eingesetzt: <math>\frac {|8*3-4*4-1*(-1)-5|}{9}=\frac {|24-26+1-5|}{9}=\frac {|-6|}{9}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}</math> | |||
Die Koordinaten von B können in die selbe HNF eingesetzt werden: <math>\frac {|8*(-1)-4*7-1*4-5|}{9}=\frac {|-8-28-4-5|}{9}=\frac {|-45|}{9}=5</math>. | |||
|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Der Abstand von A zu E beträgt <math>\frac{2}{3}</math> und der Abstand von bBzu E beträgt <math>5</math>.|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
| Farbe={{Farbe|orange}} }} | | Farbe={{Farbe|orange}} }} |
Version vom 23. April 2021, 16:14 Uhr
Motivation?
- ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Das Lotfußpunktverfahren
Weitere Aufgaben:
- stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben)
- Janne: man hat Ebene und bestimmten Abstand. Jetzt Punkt bestimmen, der diesen Abstand hat (wie Pyramidenaufgabe)
- Janne: Modellierungsaufgabe (zb aus Diagnosetest oder woanders her)
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
Merkbox mit Beispiel
=\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
- Ira: stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben) ggf. Verfahren im Sachkontext anwenden lassen
- Ira: Parallele Ebene mit vorgegeben Abstand bestimmen
Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen
Abstand eines Punktes von einer Geraden
- Verfahren wiederholen (evtl.)
- Merksatz
- Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!
Abstand zweier windschiefer Geraden
- Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
- Janne: Merksatz
- Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!
Gemischte Aufgaben
- auf Anfangsaufgabe zurückkommen
- 3 Aufgaben
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!