Benutzer:Buss-Haskert/Zinseszins: Unterschied zwischen den Versionen
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
| Zeile 133: | Zeile 133: | ||
===2) Umstellen der Zinseszinsformel=== | ===2) Umstellen der Zinseszinsformel=== | ||
<big>Formel umstellen nach K<sub>0</sub></big> ("Wie hoch war das Startkapital...?):<br> | <big>Formel umstellen nach K<sub>0</sub></big> ("Wie hoch war das Startkapital...?):<br><br> | ||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:q<sup>n</sup><br> | K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:q<sup>n</sup><br> | ||
<math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K<sub>0</sub><br> | <math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K<sub>0</sub><br> | ||
<br> | <br> | ||
<big>Formel umstellen nach q </big>("Mit welchem Prozentsatz ...?):<br> | <br> | ||
<big>Formel umstellen nach q </big>("Mit welchem Prozentsatz ...?):<br><br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:K<sub>0</sub><br> | K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:K<sub>0</sub><br> | ||
<math>\tfrac{K_n}{K^0}</math> = q<sup>n</sup> |<math>\sqrt[n]{}</math><br> | <math>\tfrac{K_n}{K^0}</math> = q<sup>n</sup> |<math>\sqrt[n]{}</math><br> | ||
| Zeile 143: | Zeile 144: | ||
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.<br> | Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.<br> | ||
<br> | <br><br> | ||
<big>Formel umstellen nach n </big>("Nach wie vielen Jahren...?"):<br> | <big>Formel umstellen nach n </big>("Nach wie vielen Jahren...?"):<br><br> | ||
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später. <br> | Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später. <br> | ||
Löse hier also durch '''Probieren'''!<br> | Löse hier also durch '''Probieren'''!<br> | ||
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.<br> | Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.<br> | ||
<br> | <br><br> | ||
{{Box|Hefteintrag: Beispiele:|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}} | {{Box|Hefteintrag: Beispiele:|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}} | ||
Version vom 15. Februar 2021, 09:20 Uhr
SEITE IM AUFBAU!!
Wachstum - Zinseszins
Vorwissen
1) Einstieg: Sparschwein
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
| Jahre | Guthaben(€) |
| 0 | 1000 |
| 1 | 1050 |
| 2 | 1100 |
| 3 | 1150 |
| ... | ... |
| 18 | ... |
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
| Jahre | Guthaben(€) |
| 0 | 1000 |
| 1 | 1050 |
| 2 | 1102,50 |
| 3 | 1157,625 |
| ... | ... |
| 18 | ... |
Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
K18 = ...
K18 = ...
nach Pöchtrager
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):
geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K5 = K0 ∙ q5
= 7500 ∙ 1,0155
2) Umstellen der Zinseszinsformel
Formel umstellen nach K0 ("Wie hoch war das Startkapital...?):
Kn = K0 ∙ qn |:qn
= K0
Formel umstellen nach q ("Mit welchem Prozentsatz ...?):
Kn = K0 ∙ qn |:K0
= qn |
= q
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.
Formel umstellen nach n ("Nach wie vielen Jahren...?"):
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
a) geg:...
ges: q; Kn
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
b) geg:...
ges: p%; Kn
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
c) geg: ...
ges: K0; p%
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K0 = 500€; K0 = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€
3) Berechnung von Zinseszinsen mit einer Tabellenkalkulation
Du kannst auch eine Tabellenkalkulation für die Berechnung der Zinseszinsen nutzen. Das Video zeigt dir eine Möglichkeit. Kannst du eine weitere Möglichkeit angeben? Dann schicke die Datei als Mailanhang an deine Mathelehrerin/deinen Mathelehrer.
