Berechne erneut den verminderten Grundwert G<sup>-</sup>.<br>
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In einem Prospekt ist der Preis um 19% reduziert.
Wie viel kostet das Handy nun?
Finde verschiedene Möglichkeiten, den neuen Preis auszurechnen!
Hefteintrag
Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.
Das Handy kostet ursprünglich 388€. Das ist G.
Der Preis wird mit dem Rabatt um19% gesenkt. Das ist p%.
Du sparst 73,72€. Das ist W.
Der Preis wird auf81% des ursprünglichen Preises gesenkt. Du musst also noch 81% des ursprünglichen Preises bezahlen. Das ist p-%
Du musst also noch 314,28€ bezahlen. Das ist G-.
Einstiegsaufgabe 2 - Miete
Familie Rabe wohnt in einem Haus zur Miete und zahlt monatlich 950€. Ab dem 01. Januar diesen Jahres verlangt der Vermieter 5% mehr.
Wie viel muss die Familie nun bezahlen?
Finde verschiedene Möglichkeiten, die Höhe der neuen Miete auszurechnen!
Hefteintrag
Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.
Die Miete beträgt ursprünglich 950€. Das ist G.
Die Miete steigt um5%. Das ist p%.
Die Familie muss nun 47,50€ mehr bezahlen. Das ist W.
Die Miete wird auf105% des ursprünglichen Preises erhöht. Das ist p+%
Die Familie muss nun also 997,50€ bezahlen. Das ist G+.
2.1 Vermehrten und verminderten Grundwert berechnen
Vermehrter und verminderter Grundwert
Es gibt Situationen, in denen wird ein Grundwert G um einen prozentualen Anteil p% vermehrt oder vermindert.
Den vermehrten Grundwert G+ berechnest du, indem du den Grundwert G mit dem vermehrten Prozentsatz p+% = 100% + p% multiplizierst:
G+ = G ∙ p+%.
Den verminderten Grundwert G- berechnest du, indem du den Grundwert G mit dem verminderten Prozentsatz p-% = 100% - p% multiplizierst:
G- = G ∙ p-%.
Beispiele: Rechnung mit Formel
Miete:
geg: G=950€; p%=5%, also p+%=100%+p%=105% = 1,05
ges: G+
G+ = G ∙ p+%
= 950 ∙ 1,05
Du kannst für die Berechnung des vermehrten bzw. verminderten Grundwertes auch den Dreisatz benutzen:
Rechnung mit Dreisatz:
Ergänze die Lücken:
Miete:
Prozentsatz
Mietkosten (€)
100%
950
1%
____
105%
_____
Preis Handy:
Prozentsatz
Preis (€)
100%
388
1%
____
81%
_____
Prozentsatz p%
Mietkosten (€)
100%
950
1%
9,50
105%
997,50
Prozentsatz p%
Preis (€)
100%
388
1%
3,88
81%
314,28
Hefteintrag
Übertrage die Beispiele von oben in dein Heft.
1. Möglichkeit: Rechnung mit Formel...
2. Möglichkeit: Rechnung mit Dreisatz...
Du kennst schon das Formeldreieck für die Prozentrechnung mit der Formel W = G ∙ p%. Nun ersetzt du in diesem Formeldreieck den Prozentwert W durch den vermehrten/verminderten Grundwert G+/-.
Formeldreieck für den vermehrten/verminderten Grundwert
Du kennst das Formeldreieck bereits aus der Prozentrechnung. Es ist auch eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für den vermehrten Grundwert. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.
Merke dir die Anordnung der Größen im Dreieck. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu, dann erhältst du die zugehörige Formel. Notiere die drei Formeln in dein Heft. Kontrolliere die Lösung.
Trage im nachfolgenden Quiz die veränderten Prozentsätze p+% bzw. p-% ein (Prozent- und Dezimalbruchschreibweise).
Übung 3
Löse die Aufgaben aus dem Buch mit der Formel. Notiere so:
geg: G = 150€, p% = 20%, also p-% = 100%-20% = 80% = 0,8
ges: G-
G- = G ∙ p-%
= 150 ∙ 0,8
= 120 [€]
S. 106 Nr. 2
S. 106 Nr. 3
S. 115 Nr. 4
S. 115 Nr. 5
Das Video zeigt dir noch einmal anhand von zwei Beispielen, wie du rechnen kannst. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p+/-% die Variable q verwendet.
Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!
Lösungen zu Nr. 2 bunt gemischt:
2.2 Prozentsatz p% aus dem Grundwert und dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen
Winterschlussverkauf
Schau dir die Angebote genau an.
a) Für Welches Board entscheidest du dich, bunt oder blau? Begründe.
b) Bei welchem Board sparst du prozentual am meisten? Notiere deine Rechnung.
geg: G=alter Preis; G-=neuer Preis
ges: p-% und p%
Berechne zunächst durch Umstellen der Formel (oder mit dem Dreisatz) p-%.
Mit diesem Wert kannst du dann p% berechnen: p% = 100% - p-%.
Übung 5
Löse die Aufgaben aus dem Buch mit Formel und Dreisatz. Es reicht, wenn du je zwei Angebote auswählst.
S. 106 Nr. 4
S. 116 Nr. 5
S. 116 Nr. 7
Tipp zu Nr. 4
2.3 Grundwert G aus dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen
Tischtennis
Mats möchte einen neuen Tischtennisschläger kaufen und findet folgendes Angebot:
Nun möchte er wissen, wie viel der Schläger ursprünglich gekostet hat. Wie könnte er vorgehen?
Notiere deine Ideen im Heft.
geg: p%=15%=0,15, also ist p-% = ...; G-=93,50€
ges: G
Berechne mit Formel oder Dreisatz
Du musst dem Text entnehmen können, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Bearbeite dazu die nachfolgende LearningApp.
Übung 6
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen!
Mehrwertsteuer:(Information zur Aufgabe 21)
Wenn du einkaufen gehst sind die Preise in der Regel als Bruttopreis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist.
Der Nettopreis gibt den Preis ohne Mehrwertsteuer an.
Also gilt:
Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer
G+ = G + W
Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang:
Übung 8 - Mehrwertsteuer
1) Nimm den Kassenbon deines letzten Einkaufs und prüfe die Angaben zur berechneten Mehrwertsteuer.
2) Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe
21
Übung 9
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Lösung ausführlich und übersichtlich (geg:...; ges:...).
S. 106 Nr. 5
Beispiel zu Nr. 5
Nimm an, du kaufst ein Ferns% = 19%, also p-% = 100% - 19% = 81% = 0,81
ges: G- (neuer Preis)
G- = G ∙ p-%
= 1000 ∙ 0,81
= 810 (€)
Mit 19% Rabatt musst du 810 € bezahlen.
Wie viel Mehrwertsteuer ist im Preis von 1000€ enthalten?
geg: G+ = 1000€ (Bruttopreis: Preis mit Mehrwertsteuer); p+% = 119% = 1,19
ges: G (Nettopreis)
G+ = G ∙ p+% |: p+% = G
G = 840,34 (€)
Der Preis ohne Mehrwertsteuer beträgt 840,34 €.
2.4 Vermischte Übungen - Anwendungsaufgaben
Übung 10
Lies die Aufgabe genau. Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht ist. Löse dann die Aufgabe mit der Formel oder dem Dreisatz. Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch.
Schreibe deine Ideen zur Frage in dein Heft. Diskutiere sie anschließend mit deinem Partner.
Es wird zweimal nacheinander um 50% reduziert. Rechne schrittweise. Was fällt dir auf?
Der Preis wird in zwei Schritten reduziert:
1. Schritt:
geg: G=360€; p%=50% also p-% = 100% - 50% = 50% = 0,5
ges: G-
G- = G ∙ p-%
=360 ∙ 0,5
= 180 (€)
Dies ist der neue Grundwert für die nächste Reduzierung! Nun erhältst du also auf diesen Preis (180€) noch einmal 50% Ermäßigung! (2. Schritt:...)
Der Preis wird in zwei Schritten reduziert.
Nach der ersten Reduzierung kostet das Snowboard noch 180€, dies ist der neue Grundwert für die zweite Rechung:
2. Schritt:
geg: G = 180€; p% = 50%, also p-% = 100% - 50% = 50% = 0,5
ges: G-
G- = G ∙ p-%
=180 ∙ 0,5
= 90 (€)
Also kostet das Snowboard nach der zweiten Reduzierung 90€.
Mehrfach veränderter Grundwert
Beispielaufgabe: Ein Preis von 50 € wird zweimal hintereinander um 10 % ermäßigt.
Eine zweimalige Reduzierung um 10% ist aber nicht das Gleiche wie eine Reduzierung um 20%, da der Grundwert sich nach der ersten Ermäßigung verändert hat.
Im Vergleich dazu wäre der Endpreis bei einer Ermäßigung um 20%: G- = G ∙ p-% = 50 ∙ 0,8 = 40 (€).
Eine zweimalige Reduzierung um 10% entspricht einer einmaligen Ermäßigung um 19 %, denn der Endpreis beträgt 81% des ersten Grundwertes 0,9 ∙ 0,9 = 0,81 = 81%.
geg: G = 298,50€; erste Ermäßigung p% = 25%, also p-% = 100% - 25% = 75% = 0,75
Berechne den verminderten Grundwert G-.
Dies ist der neue Grundwert für die neue Reduzierung um 10%.
geg: G = 223,88 €; p% = 10%, also p-% = 100% - 10% = 90% = 0,90
Berechne erneut den verminderten Grundwert G-.
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