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1) Sinus, Kosinus, Tangens - Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

1.1 Steigung einer Straße

Der Einstieg ist angelehnt an das Material des Landesbildungsservers BW https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/trig/trigors/lernumgebung/index.html Es wurde unter der Lizenz CC BY veröffentlicht


Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Steigung einer Straße anzugeben:

1. Angabe in Prozent Das Verkehrsschild gibt die Steigung einer Straße in Prozent an.
a) Was bedeutet die Angabe von 12% Steigung? Erkläre!

Verwende die Begriffe Höhenunterschied und Horziontalunterschied

Steigung = $\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}$

b) Gibt es eine Steigung, die größer als 100% ist?

Die Steigung 100% bedeutet 100m Höhenunterschied auf 100m Horizontalunterschied:

2. Angabe mithilfe des Steigungsdreiecks und m

Die Steigung einer Geraden f(x) = mx + b gibt der Faktor m an. Dazu zeichnest du das Steigungsdreieck.

m = $\tfrac{12}{100}$ = 0,12

Boxmath>\alpha</math>

Das nachfolgende Applet zeigt diese drei Möglichkeiten noch einmal. Verändere die Steigung mithilfe des Schiebereglers und beobachte, was passiert.

Applet von holo2012

Versuche herauszufinden, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten besteht.

1.     Verändere die Höhe und beobachte die anderen Angaben zur Steigung.

2.     Aktiviere das Kontrollkästchen "Steigung eines beliebigen Punktes auf der Straße" und verschiebe den Punkt P entlang der Straße.

Ergebnis: In den ähnlichen (rechtwinkligen) Dreiecken gilt:

Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.


Bewege die Punkte B₁, B₂ und C₁ und beobachte die Seitenverhältnisse.

Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

In ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken gilt:
Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.

Diesen Zusammenhang zwischen Winkelgröße und Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck beschreiben die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten bezogen auf den Winkel (z.B. $\alpha$) mit besonderen Namen:

Sinus, Kosinus, Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck (mit $\gamma$=90°) bezeichnet man die Seitenverhältnisse wie folgt:

Übung 1

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 4
• 6

Übung 2

Löse aus dem Buch

• S. 91 Nr. 5
• S. 91 Nr. 6
• S. 110 Nr. 3

Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Drieecken:
Dreieck ABC, Dreieck BCD und Dreieck ACD.

Im Dreieck ABC ist die Seite c die Hypotenuse, im Dreieck BCD ist die Seite a die Hypotenuse und im Dreieck ACD ist die Seite b die Hypotenuse.

Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Dreiecken:
Dreieck ABC, Dreieck ABD und Dreieck ADC.

Die Hypotenuse im Dreieck ABC ist die Seite a, die Hypotenuse im Dreieck ABD ist die Seite c und die Hypotenuse im Dreieck ADC ist die Seite b.

Die Lösungen zu den Aufgaben auf dieser Seite findest du hinten im Buch.

In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt. Wenn du die Länge der Seiten kennst, kannst du den Wert dieser Seitenverhältnisse berechnen.
Dieser hängt ab vom Winkel, wie oben erarbeitet.
Schau dazu das folgende Video an:

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Übung 3

Löse wie im Video aus dem Buch. Notiere die Seitenverhältnisse als Bruch und runde anschließend auf zwei Nachkommastellen.

• S. 91 Nr. 1
• S- 91 Nr. 2

sin $\alpha$ = $\tfrac{8}{17}$ $\approx$ 0,47
cos$\alpha$ = $\tfrac{15}{17}$ $\approx$ 0,88

tan$\alpha$ = $\tfrac{8}{15}$ $\approx$ 0,53
usw.

Es fällt auf, dass sin $\alpha$ = cos$\beta$ und sin $\beta$ = cos$\alpha$

Übung 4

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 5

Was fällt dir auf? Kannst du deine Beobachtung begründen?

Es fällt auf, dass der Sinuswert eines Winkels zwischen 0° und 90° immer kleiner als 1 ist, denn

die Katheten immer kürzer als die Hypotenuse sind, daher ist der Quotient aus Gegenkathete:Hypotenuse immer kleiner als 1.

Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit $\gamma$=90°) der Winkel $\alpha$ = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin $\alpha$ = $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel $\alpha$ =38° mit bestimmst.

Du hast also sin 38° $\approx$ 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation oben überprüfen.

Ebenso berechnest du mit dem Taschenrechner die Werte für den Kosinus (mit der Taste "cos") und den Tangens (mit "tan").

Übung 5

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 7

Übung 6

Löse aus dem Buch

• S. 91 Nr. 3
• S. 91 Nr. 4

Prüfe deine Lösungen zu den Sinuswerten mithilfe der Simulation.

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Materialsammlung: Übungen auf der Seite Aufgabenfuchs

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2 )Strecken - und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken