Benutzer:Lena H. WWU-5/Proportionale Zuordnungen

Einleitung

In diesem Kapitel zu Proportionale Zuordnung, hast du die Möglichkeit, dein Wissen zu den proportionalen Zuordnungen noch einmal zu vertiefen. Dabei hast du die Wahl zwischen verschiedenen Aufgabentypen. Einige Aufgaben sollst du mit Hilfe deines Hefts lösen, andere lassen sich aber auch auf dieser Seite bearbeiten.
Außerdem ist dieser Lernpfad dazu gedacht, dass du die Aufgaben alleine ohne Hilfe einer anderen Person lösen sollst. Falls du aber trotzdem einmal nicht weiterwissen solltest, mach dir keine Sorgen, du findest unter einigen Aufgabe Tipps, die du anklicken kannst, falls du einmal nicht weiter wissen solltest. Ansonsten helfen aber auch eure Unterrichtsmaterialien.
Außerdem findest du auch unter jeder Aufgabe, sofern sie keine Selbstkorrektur-Funktion hat, Lösungen, die du anklicken kannst, wenn du deine Aufgaben gelöst hast.

Nicht jede Aufgabe ist gleich schwer. Wie schwer eine Aufgabe ist, kannst du an ihrer Farbe erkennen:
Aufgaben, die grün eingefärbt sind, sind leichter.
Aufgaben, die gelb eingefärbt sind, haben eine mittlere Schwierigkeit.
Und Aufgaben, die rot eingefärbt sind, sind schwerere Aufgaben Knobelaufgaben.

Du findest außerdem Aufgaben die blau eingefärbt sind. Bei diesen Aufgaben sind die einzelnen Teilaufgbaen unterschiedlich schwer.
Hier kannst du zu den anderen Kapiteln des Lernpfads wechseln:
Zuordnungen darstellen
Zuordnungen mit Formeln beschreiben

Aufgabe 1: Teste dein Wissen über proportionale Zuordnungen!

Beantworte die Fragen korrekt und verhilf deinem Pferd zum Sieg!

Aufgabe 2: Proportional oder nicht?

Entscheide, ob die präsentierte Situation durch eine proportionale Zuordnung beschrieben werden kann oder nicht. Verschiebe dazu die Situation auf die richtige Seite.

Wenn du Probleme dabei hast, dir diese Situationen vorzustellen, versuche doch eine Wertetabelle zu erstellen, um anhand derer zu erkennen, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

Es gibt fünf proportionale Zuordnungen und fünf nicht proportionale Zuordnungen.

Aufgabe 3: Bei welchen Gefäßen ist die Zuordnung proportional?

Beurteile, bei welchen Gefäßen die Zuordnung Füllhöhe (in cm) → Wassermenge (in Litern) proportional ist.
Vergiss nicht, deine Entscheidung zu begründen!

1)

Ein etwa zylinderförmiges Trinkglas

2)

chinesische Vase

3)

Ein 100-Liter-Süßwasseraquarium

4)

Teekanne der Manufaktur Fürstenberg, 1999

Überlege dir, ob die Füllhöhe bei gleichbleibender Einflussgeschwindigkeit mal schneller oder langsamer steigt. Was kann dies für deine Zuordnung bedeuten? Ist es bei einer proportionalen Zuordnung möglich, dass sich die Füllhöhe unterschiedlich schnell ändert?

Es handelt sich nur um eine proportionale Zuordnung, wenn die Füllhöhe gleichmäßig steigt.

Bei folgenden Gefäßen ist die Zuordnung Füllhöhe (in cm) → Wassermenge (in Litern) nicht proportional:
2)
4)
Die beiden Gefäße sind nicht immer gleich breit. Bei einfließendem Wasser würde die Füllhöhe an den Stellen, an denen die Gefäße breiter oder schmaler sind, langsamer bzw. schneller ansteigen. Man hätte somit also keine gleichmäßige Einflussgeschwindigkeit.
Bei folgenden Gefäßen ist die Zuordnung Füllhöhe (in cm) → Wassermenge (in Litern) proportional:
1)
3)
Die beiden Gefäße sind immer gleich breit. Das heißt die Füllhöhe steigt bei gleichbleibendem Wasserzufluss gleichmäßig an.

Dies bedeutet das ein proportionales Wachstum vorliegt.

Aufgabe 4: Finde die passenden Paare.

Alle Freunde bewegen sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit fort. Ordne den Freunden die passenden Wertepaare der Zuordnung Zeit (in h) → zurückgelegte Strecke (in km) zu.

Aufgabe 5:

Familie Schmidt möchte am Wochenende Urlaub an der Ostsee machen. Von ihrem Wohnort bis zum Urlaubsort sind es 320km. Jana lernt in der Schule gerade proportionale Zuordnungen und möchte nun ausrechnen, wie lange die Hinfahrt dauern könnte. Sie geht dabei davon aus, dass sie mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit von 85 km/h fahren werden.
$a)$ Erstelle eine Wertetabelle der Zuordnung für Fahrzeiten von 30 Minuten, 60 Minuten, 90 Minuten, ..., 240 Minuten.
Notiere die Formel der Zuordnung.

Die Zuordnung lautet: Zeit (in h) → zurückgelegte Strecke (in km)

Die Wertetabelle sieht wie folgt aus:

Die Formel der Zuordnung lautet: $y=85*x$

Hinweis: In der Wertetabelle kann die Zeit auch in Minuten angegeben werden. Jedoch hat dies auch zur Folge, dass die Formel eine andere ist. Diese sieht nicht so schön aus, wie die oben genannte, wäre in diesem Zusammenhang aber trotzdem korrekt. Die Formel lautet dann: $y=15/12*x$

$b)$ Zeichne den Graphen der Zuordnung.

Auch hier gilt, wenn ihr in Aufgabenteil a) die Zeit in Minuten angegeben habt, sieht euer Graph natürlich anders aus.

$c)$ Janas Eltern planen auf dem Weg zum Urlaubsort einen kurzen Aufenthalt in Hamburg zu machen. Hamburg befindet sich 250km von ihrem Wohnort entfernt. Wie lange ist Familie Schmidt bis Hamburg bereits gefahren?

Wenn Familie Schmidt in Hamburg ankommt, sind sie schon ca. 175 Minuten gefahren.

$d)$ Beurteile, ob Janas Annahme, dass es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, realistisch ist.

Überlege dir, ob es möglich ist, die gesamte Zeit in einem Tempo durchzufahren.

Die Annahme, die Jana getroffen hat, ist nicht realistisch. Auf einer Fahrt zu einem weiter entfernten Ort, fährt man auf vielen verschiedenen Straßen, die unterschiedliche Geschwindigkeitsbegrenzungen besitzen. Außerdem kann es vorkommen, dass man auf der Autobahn in einen Stau gerät und dann für eine gewisse Zeit stehen muss. Das heißt, man kann nicht die gesamte Fahrtzeit in einem gleichmäßigem Tempo fahren.

Aufgabe 6: Gilt immer - gilt nie - es kommt darauf an.

Untersuche, ob die folgenden Aussagen immer gelten, nie stimmen oder ob sie nur in bestimmten Fällen richtig sind. Begründe.
$a)$Eine Zuordnung mit der folgenden Eigenschaft ist proportional:
Nimmt der x-Wert um 5 zu, so nimmt der y-Wert um 10 zu.

Probiere verschiedene Zuordnungen aus, die die oben genannte Eigenschaft besitzen. (Dieser Tipp kann dir auch bei Aufgabe b) helfen.

Diese Aussage gilt nur in einigen Fällen. Bei der Zuordnung $y=2*x$ stimmt die Aussage:

Aber die folgende Zuordnung ist keine proportionale Zuordnung:

Um diese Tatsache schneller zu erkennen, lohnt es sich den Graphen der Zuordnung anzuschauen:

$b)$Bei einer proportionalen Zuordnung kann man fehlende Werte auch durch Addieren bestimmen:
Der Summe zweier x-Werte wird bei proportionalen Zuordnungen die Summe der zugehörigen y-Werte zugeordnet.

Die Aussage gilt immer.
Jedoch ist es schwieriger dies zu begründen. Grundlage einer Begründung ist jedoch der Proportionalitätsfaktor, das heißt die feste Änderung, um die sich der y-Wert pro Schritt der unabhängigen Größe verändert.
Durch Ausprobieren vieler verschiedener proportionaler Zuordnungen, wirst du merken, dass die Aussage für alle diese Zuordnungen auch zutrifft.
Wenn du aber eine Lösung sehen möchtest, die für alle proportionalen Zuordnungen gleichzeitig gilt, kannst du einen Blick auf meine handschriftliche Lösung werfen: