Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
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{{Lösung versteckt|1=<br/> | {{Lösung versteckt|1=<br/> | ||
Betrachte zunächst die Einheiten und versuche diese umzuformen.<br/> | |||
Wie könntest du die Wert in €/h umgewandelt werden? <br/> | |||
Wenn du diesen Wert hast, kannst du eine vorübergehende Funktionsgleichung mit <math>f(x)=</math> dem Wert €/h<math> x+ a</math> (einen noch unbekannten Wert) aufstellen.<br/> | |||
Wenn du <math>5</math> Stunden frei hast heißt dies, dass du in den <math>5</math> Stunden nur die Grundgebühr bezahlen musst.<br/> Welchen Punkt erhalten wir dadurch?<br/> Versuche dies in die Funktionsgleichung mit einzubauen indem du den Punkt einsetzt und die Gleichung auflöst.<br/> | |||
|2=Tipp zu a)|3=Tipp zu a) schließen}} | |2=Tipp zu a)|3=Tipp zu a) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= <br/> | {{Lösung versteckt|1= <br/> | ||
Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine x- Achse und, welche Werte deine y-Achse angibst. <br/> | Um die Funktionsgleichung in ein Koordinatensystem zu übertragen, überlege dir zunächst welche Werte deine <math>x</math>- Achse und, welche Werte deine <math>y</math>-Achse angibst. <br/> | ||
Probiere einen geeigneten Maßstab zu wählen indem du vorher einige Werte (auch höhere) in die Funktionsgleichung eingibst.<br/> | Probiere einen geeigneten Maßstab zu wählen indem du vorher einige Werte (auch höhere) in die Funktionsgleichung eingibst.<br/> | ||
Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Da werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt.<br/> | Falls du mit dem Zeichnen von Graphen Schwierigkeiten hast, wiederhole das entsprechende Kapitel in diesem Lernpfad. Da werden dir zwei Möglichkeiten einen Graphen zu zeichnen vorgestellt.<br/> | ||
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|2=Tipp zu c)|3=Tipp zu c) schließen}} | |2=Tipp zu c)|3=Tipp zu c) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Um den günstigen Tarif für Maria zu berechnen, müssen wir zunächst aus der Aufgabe herauslesen wie lange Maria im Monat surft. <br/> Sie surft | Um den günstigen Tarif für Maria zu berechnen, müssen wir zunächst aus der Aufgabe herauslesen wie lange Maria im Monat surft. <br/> Sie surft <math>2</math>h am Tag. Diesen Wert muss man jetzt noch auf den Monat umrechnen. Wie viele Stunden surft Maria in 30 Tagen (einem Monat)?<br/> | ||
Nun kannst du den Stunden Wert in die verschiedenen Funktionsgleichungen für x einsetzten, da die x- Achse die Stundenzahl angibt. Wenn du alle Werte der verschiedenen | Nun kannst du den Stunden Wert in die verschiedenen Funktionsgleichungen für <math>x</math> einsetzten, da die <math>x</math>- Achse die Stundenzahl angibt. Wenn du alle Werte der verschiedenen Funktionsgleichungen hast vergleiche diese. | ||
|2=Tipp zu d)|3=Tipp zu d) schließen}} | |2=Tipp zu d)|3=Tipp zu d) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Diesen Punkt kannst du sowohl im Koordinatensystem ablesen (allerdings ist dies sehr ungenau), als auch rechnerisch bestimmen. Ein Schnittpunkt zweier Graphen ist ein Punkt, wo beide den gleichen Wert annehmen. Deshalb kannst du die Funktionen gleichsetzten und nach x auflösen. | Diesen Punkt kannst du sowohl im Koordinatensystem ablesen (allerdings ist dies sehr ungenau), als auch rechnerisch bestimmen. Ein Schnittpunkt zweier Graphen ist ein Punkt, wo beide den gleichen Wert annehmen. Deshalb kannst du die Funktionen gleichsetzten und nach <math>x</math> auflösen. | ||
|2=Tipp zu e)|3=Tipp zu e) schließen}} | |2=Tipp zu e)|3=Tipp zu e) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Dazu kannst du entweder in das Koordinatensystem schauen, um abzulesen wann die Graphen der anderen Funktionen größer sind als die von Tarif C. Oder du findest dies rechnerisch heraus indem du die Schnittpunkte der Funktionen von f(x) und g(x) mit h(x) bestimmst. | Dazu kannst du entweder in das Koordinatensystem schauen, um abzulesen wann die Graphen der anderen Funktionen größer sind als die von Tarif C. Oder du findest dies rechnerisch heraus indem du die Schnittpunkte der Funktionen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> mit <math> h(x)</math> bestimmst. | ||
|2=Tipp zu f)|3=Tipp zu f) schließen}} | |2=Tipp zu f)|3=Tipp zu f) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
'''Tarif A:'''<br/> | '''Tarif A:'''<br/> | ||
Zunächst multipliziert man die | Zunächst multipliziert man die 1 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min<math>\cdot 1</math> ct/min<math>= 60</math> ct/h <br/> | ||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> f_1(x)= 0,6x+ a</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> f_1(x)= 0,6x+ a</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> f_1 </math> einsetzten und nach a auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> f_1 </math> einsetzten und nach a auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | ||
<math> f_1(5)=0,6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0,6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant 5 ist. <br/> <br/> | <math> f_1(5)=0,6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0,6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant <math>5</math> ist. <br/> <br/> | ||
'''Tarif B:''' <br/> | '''Tarif B:''' <br/> | ||
Zunächst multipliziert man die 0, | Zunächst multipliziert man die 0,8 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min<math>\cdot 0,8</math> ct/min<math>= 48</math> ct/h <br/> | ||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0,48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> g_1(x)= 0,48x+ b</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0,48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> g_1(x)= 0,48x+ b</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> g_1 </math> einsetzten und nach b auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> g_1 </math> einsetzten und nach b auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | ||
<math> g_1(10)=0,48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4,8+b=10 \Longleftrightarrow b=5,2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0,48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant 10 ist. <br/> <br/> | <math> g_1(10)=0,48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4,8+b=10 \Longleftrightarrow b=5,2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0,48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant <math>10</math> ist. <br/> <br/> | ||
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<ggb_applet id="jhaancpy" width="770" height="570" border="888888" /> | <ggb_applet id="jhaancpy" width="770" height="570" border="888888" /> | ||
|2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | |2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Der Schnittpunkt <math> A(0|5) </math> sagt aus, dass der Tarif A selbst wenn man gar keine Zeit im Internet surft man dennoch 5 € bezahlen muss.<br/> | {{Lösung versteckt|1=Der Schnittpunkt <math> A(0|5) </math> sagt aus, dass der Tarif A selbst wenn man gar keine Zeit im Internet surft man dennoch <math>5</math> € bezahlen muss.<br/> | ||
Der Punkt <math> B(5|5) </math> ist uns bereits aus dem Teil a bekannt. Bis zu diesem Punkt läuft der Graph konstant, da die ersten 5 Stunden frei sind, danach verläuft die Funktion linear.<br/> | Der Punkt <math> B(5|5) </math> ist uns bereits aus dem Teil a bekannt. Bis zu diesem Punkt läuft der Graph konstant, da die ersten <math>5</math> Stunden frei sind, danach verläuft die Funktion linear.<br/> | ||
Der Punkt <math> C(0|10) </math> ist beim Tarif B der Schnittpunkt mit der y-Achse. Auch hier gilt also, dass selbst wenn Maria gar nicht im Internet surft sie dennoch 10 € bezahlen muss. <br/> | Der Punkt <math> C(0|10) </math> ist beim Tarif B der Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse. Auch hier gilt also, dass selbst wenn Maria gar nicht im Internet surft sie dennoch <math>10</math> € bezahlen muss. <br/> | ||
Den Punkt <math> D(10|10) </math> kennen wir schon aus dem Teil a dieser Aufgabe. Bis zu diesem Punkt läuft die Funktion des Tarifs B konstant, da die ersten 10 Stunden frei sind.<br/> | Den Punkt <math> D(10|10) </math> kennen wir schon aus dem Teil a dieser Aufgabe. Bis zu diesem Punkt läuft die Funktion des Tarifs B konstant, da die ersten <math>10</math> Stunden frei sind.<br/> | ||
Der Punkt <math> E(26,67|18) </math> ist der Schnittpunkt der beiden Funktion f(x) und g(x). Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer. <br/> | Der Punkt <math> E(26,67|18) </math> ist der Schnittpunkt der beiden Funktion <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math>. Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer. <br/> | ||
Der Punkt<math> F(63,33|40) </math> ist der Schnittpunkt der Funktionen f(x) und h(x). An diesem Punkt sind die beiden Tarife A und C also gleich teuer für Maria.<br/> | Der Punkt<math> F(63,33|40) </math> ist der Schnittpunkt der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>h(x)</math>. An diesem Punkt sind die beiden Tarife A und C also gleich teuer für Maria.<br/> | ||
Der Punkt <math> G(2,5|40)</math> ist der Schnittpunkt der Funktionen g(x) und h(x). Die beiden Tarife sind in diesem Punkt gleich teuer. | Der Punkt <math> G(2,5|40)</math> ist der Schnittpunkt der Funktionen <math>g(x)</math> und <math>h(x)</math>. Die beiden Tarife sind in diesem Punkt gleich teuer. | ||
<ggb_applet id="evsxb9k2" width="770" height="570" border="888888" /><br> | <ggb_applet id="evsxb9k2" width="770" height="570" border="888888" /><br> | ||
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|2=Lösung zu c)|3=Lösung zu c) schließen}} | |2=Lösung zu c)|3=Lösung zu c) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft | Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft <math>2</math> h/Tag. Da ein Monat <math>30</math> Tage hat, kann man, kann man <math>30</math> und <math>2</math> multiplizieren und erhält <math>60</math> h/Monat.<br/> | ||
Nun setzten wir die 60 h als x- Wert in die Funktionsgleichungen von f(x),g(x) und h(x) ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | Nun setzten wir die <math>60</math> h als <math>x</math>- Wert in die Funktionsgleichungen von <math>f(x)</math>, <math> g(x)</math> und <math>h(x)</math> ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | ||
<math> f(60)= 0,6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | <math> f(60)= 0,6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | ||
<math> g(60)= 0,48\cdot60+5,2=28,8+5,2=34 </math><br/> | <math> g(60)= 0,48\cdot60+5,2=28,8+5,2=34 </math><br/> | ||
<math> h(60)= 40 </math><br/> | <math> h(60)= 40 </math><br/> | ||
Da Maria circa | Da Maria circa <math>60</math> h im Monat surft wäre der Tarif B mit <math>34</math> € am günstigsten für sie. | ||
|2=Lösung zu d)|3=Lösung zu d) schließen}} | |2=Lösung zu d)|3=Lösung zu d) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hier ist nach dem Schnittpunkt von f(x) und g(x) gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach x auf. | Hier ist nach dem Schnittpunkt von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach <math>x</math> auf. | ||
<math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0,6x+2=0,48x+5,2 \Longleftrightarrow 0,12x+2= 5,2 \Longleftrightarrow 0,12x= 3,2 \Longleftrightarrow x= | <math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0,6x+2=0,48x+5,2 \Longleftrightarrow 0,12x+2= 5,2 \Longleftrightarrow 0,12x= 3,2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26,6666666 </math> <br/> | ||
In | In dem Punkt <math> P(18|\frac{80}{3})</math> sind die Tarife A und B kostengleich. | ||
|2=Lösung zu e)|3=Lösung zu e) schließen}} | |2=Lösung zu e)|3=Lösung zu e) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Um dies herauszufinden brauchen wir die Schnittpunkte der Funktionsgleichungen f(x),g(x) mit h(x), da f und g danach größer als h sind und somit h (also der Tarif C) dann der günstigste wäre. | Um dies herauszufinden brauchen wir die Schnittpunkte der Funktionsgleichungen <math>f(x)</math> ,<math>g(x)</math> mit <math>h(x)</math>, da f und g danach größer als h sind und somit h (also der Tarif C) dann der günstigste wäre. | ||
<math> f(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0,6x+2=40 \Longleftrightarrow 0,6x=38 \Longleftrightarrow x= | <math> f(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0,6x+2=40 \Longleftrightarrow 0,6x=38 \Longleftrightarrow x=\frac{190}{3}\approx 63,3333333333 </math> <br/> | ||
<math> g(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0,48x+5,2=40 \Longleftrightarrow 0,48x= 34,8 \Longleftrightarrow x= | <math> g(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0,48x+5,2=40 \Longleftrightarrow 0,48x= 34,8 \Longleftrightarrow x=\frac{145}{2}=72,5 </math> <br/> | ||
Man kann also sehen, dass der Tarif A bereits bei circa 64 h teurer wird als Tarif C. Der Tarif B ist bei 72,5h gleich teuer wie Tarif C. Also ab circa 73 h Internet Nutzung ist der Tarif C der günstigste.<br/> | Man kann also sehen, dass der Tarif A bereits bei circa <math>64</math> h teurer wird als Tarif C. Der Tarif B ist bei <math>72,5h</math> gleich teuer wie Tarif C. Also ab circa <math>73</math> h Internet Nutzung ist der Tarif C der günstigste.<br/> | ||
|2=Lösung zu f)|3=Lösung zu f) schließen}}| | |2=Lösung zu f)|3=Lösung zu f) schließen}}| | ||
2=Lösung|3=Lösung schließen}} | 2=Lösung|3=Lösung schließen}} | ||
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} | | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} |
Version vom 30. November 2020, 16:08 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkte von linearen Funktionen
Schnittpunkt mit der -Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.