Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

1) Terme zusammenfassen

Einführung

Wie kann ich Terme zusammenfassen?

Rechenregeln

Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei:

Beim Zusammenfassen von Summen gilt:
Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden.
Beispiele:
1) $2a^2+a+3a$
$= 2a^2+4a$

2) $2x+xy-3y^2-2xy+2xy^2$
$= 2x-3y^2+2xy^2+xy-2xy$
$= 2x-3y^2+2xy^2-xy$
Hier konnten nur die beiden Teile mit xy zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen.

3) ${\color{blue}2x}{\color{red}+4y}{\color{green}-xy}{\color{red}+2y}{\color{blue}-3x}{\color{green}+5xy}$
$= {\color{blue}-x}{\color{red}+6y}{\color{green}+4xy}$
Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren.

Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden.
Beispiel:
4) $2x \cdot 4xy$
$= 2 \cdot x \cdot 4 \cdot x \cdot y$
$= 2 \cdot 4 \cdot x \cdot x \cdot y$
$= 8 \cdot x^2 \cdot y$
$= 8x^2y$

Beachte die Vorzeichen der Faktoren.

$(-x) + (-x) = -2x$
$(-x) \cdot (-y) = x \cdot y$

Beachte außerdem: Punkt- vor Strichrechnung, die Klammer geht immer vor.

Beispiel:
5) $2x \cdot (-7x^2y) \cdot (-3y^3)$
$= 2 \cdot (-7) \cdot (-3) \cdot x \cdot x^2 \cdot y \cdot y^3$

$= 42x^3y^4$

Aufgabenteil

Aufgabe 1: Wer wird Millionär?

Aufgabe 2: Rechnungen

Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben.

a) $15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4$

$64$

$15 \cdot 2+3 \cdot 5 \cdot 2+4$
$= 30+30+4$

$= 64$

b) $3x-4y-2z+4y-2x$

$x+8y-2z$

$3x-4y-2z+4y-2x$
$= 3x-2x+4y+4y-2z$

$= x+8y-2z$

c) $x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x$

$xy+3x$

$x \cdot 2 \cdot y+3x-y \cdot x$
$= 2xy-xy+3x$

$= xy+3x$

d) $x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y$

$16xy+x^2+2y$

$x \cdot y+x\cdot x+2 \cdot y+3 \cdot x \cdot 5 \cdot y$
$= xy+x^2+2y+15xy$

$= 16xy+x^2+2y$

e) $2x+3xy-y+4x-2yx+x$

$6x+xy$

$2x+3xy-y+4x-2yx+x$
$= 2x+4x-y+y+3xy-2xy$

$= 6x+xy$

f) $12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y)$

$-3x-y$

$12x-(12x+3y)+4y-(3x+2y)$
$= 12x-12x-3y+4y-3x-2y$
$= 12x-12x-3x-3y+4y-2y$

$= -3x-y$

g) $4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z))$

Zuerst musst du die Klammern auflösen, dann die Summanden nach ihren Variablen ordnen. Danach musst du noch die Brüche gleichnamig machen um danach alles zusammenfassen zu können.

$10x+{3\over 8}y+z$

$4x-({1\over 4}y-(5x+3z)-(x+{5\over 8}y-2z))$
$= 4x-({1\over 4}y-5x-3z)-x-{5\over 8}y+2z))$
$= 4x-{1\over 4}y+5x+3z+x+{5\over 8}y-2z$
$= 4x+5x+x-{1\over 4}y+{5\over 8}y+3z-2z$
$= 4x+5x+x-{2\over 8}y+{5\over 8}y+3z-2z$

$= 10x+{3\over 8}y+z$

Aufgabe 3: magisches Quadrat

Die Summe jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Quadrats ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Nutze dazu deinen Zettel und Stift.

Berechne zuerst die Summe der ersten Spalte. Diese Summe muss auch die Summe aller weiteren Zeilen, Spalten und Diagonalen sein

Wenn du die Summe der ersten Spalte berechnet hast, kannst du als nächstes die Summe der zweiten Zeile berechnen und in das noch auszufüllende Kästchen der zweiten Zeile den Term eintragen, der in der Summe noch fehlt, damit die Summe der ersten Spalt gleich der Summe der zweiten Zeile ist.

2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren

Terme ausmultiplizieren

Titel

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Um einen Faktor (im Bsp. 2) mit einer Klammer, in der eine Summe oder Differenz steht (im Bsp. 5 + 3), zu multiplizieren, muss der Faktor mit jedem Glied in der Klammer multipliziert werden:

Dies nennt man Distributivgesetz. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

$(5+3){\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16$.

Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:

$2(5{\color{red}-}3) = 2 \cdot 5 {\color{red}-} 2\cdot 3 = 10 {\color{red}-} 6 = 4$.

Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:

${\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c$.

Das Distributivgesetz kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen:

Besonders aufpassen muss man bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht. Denn dann drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

${\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac$.

${\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac$.

Hierfür gilt:
$+ \cdot +$ ergibt: $+$
$- \cdot -$ ergibt: $+$

$- \cdot +$ ergibt: $-$

Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:

${\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}$.

${\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2$.

${\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b$.

${\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b$.

Aufgabe

Aufgabe 1

In dieser Aufgabe kannst du nun das eben Gelernte üben. Dazu sollst du jedem Klammerterm, die korrekte ausmultiplizierte Lösung zuordnen. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.

a) $-a(b-c) =$ $-ab+ac$
b) $4(5a+4b) =$ $20a+16b$
c) $-8(a+2b) =$ $-8a-16b$
d) $10(5a+6b+3c) =$ $50a+60b+30c$
e) $(5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) =$ $ac+10ad+2bc+20bd$
f) $\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b) =$ $\frac{1}{4}a+\frac{1}{6}b$
g) $-\frac{1}{4}(a+b)$ = $-\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b$
h) $(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)(2c+4d)$ = $ac+2ad+bc+2bd$

Terme faktorisieren

Titel

Beim Faktorisieren (auch genannt: Ausklammern) geht es genau umgekehrt wie beim Ausmultiplizieren darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen. Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video:

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${\color{green}2}a+{\color{green}2}b = {\color{green}2}(a+b)$
${\color{green}4}x+{\color{green}4}y = {\color{green}4}(x+y)$
$16x+4y = {\color{green}4} \cdot 4x + {\color{green}4}y = {\color{green}4}(4x+y)$

$6a+3b+12c= {\color{green}3} \cdot 2a + {\color{green}3}b + {\color{green}3} \cdot 4c = {\color{green}3}(2a+b+4c)$

Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt.

Du faktorisierst:
$9xy - 6x = {\color{green}3x} \cdot 3y - {\color{green}3x} \cdot 2 = {\color{green}3x} (3y - 2)$
Nun prüfst du dein Ergebnis, indem du das Ergebnis ausmultiplizierst:
$3x \cdot (3y - 2) = 9xy - 6x$

Da der Ursprungsterm herauskommt, stimmt dein Ergebnis.

Aufgabe

Aufgabe 2

Info: Die Teilaufgaben bauen aufeinander auf. Wenn du bei b) oder c) Probleme hast, schau dir nochmal die vorherige(n) Teilaufgabe(n) an.

a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern?

(i) $9x - 15$ (!5) (3) (!9) (!x)

(ii) $-36 + 12x$ (!9) (12) (!24) (!x)

(iii) $5x + 4x + 3x$ (!5) (x) (!4) (!3)

b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus?

(i) $9x - 15$ ($3 \cdot 3x - 3 \cdot 5$) (!$3 \cdot 9x - 3 \cdot 5$) (!$3 \cdot 3x + 3 \cdot 5$) (!$3x -15$)

(ii) $-36 + 12x$ ($12 \cdot [-3] + 12x$) (!$12 \cdot 3 + 12x$) (!$12 \cdot [-3] - 12x$) (!$12 \cdot [-3] + x$)

c) Klammere komplett aus:

(i) $9x - 15$ ($3 \cdot [3x - 5]$) (!$3 \cdot [9x - 15]$) (!$3 \cdot [x - 5]$) (!$3 \cdot [3x + 5]$)

(ii) $-36 + 12x$ ($12 \cdot [-3 + x]$) (!$12 \cdot [3 + x ]$) (!$12 \cdot [6 + 3x]$) (!$3 \cdot [3 + x]$)

(iii) $5x + 4x + 3x$ (!$x \cdot [54 + 3]$) ($x \cdot [5 + 4 + 3]$) (!$2x \cdot [5 + 4 + 3]$) (!$5 \cdot [x + 4 + 3]$)

Weitere Aufgabenzum Ausmultiplizieren und Faktorisieren

Aufgabe 3

Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?

a) 3() $\cdot (2 \cdot x + 7) = 6 \cdot x + 21$
b) 15() $\cdot x + 35 = 5 \cdot (3 \cdot x + 7)$
c) $4 \cdot (-3 \cdot z + 2) =$ -12() $\cdot z + 8$
d) $9 \cdot y - 15 = 3 \cdot (3 \cdot y$ -5() $)$
e) $(-24 \cdot a + 42) \cdot \frac{1}{6} =$ -4() $a +$ 7()

Aufgabe 4

In dieser Aufgabe geht es darum, das Gelernte möglichst schnell anzuwenden, denn du trittst gegen den Computergegner an 😉 wer gewinnt das Rennen?

3) Binomische Formeln

Einführung

Was sind die binomischen Formeln?

Definition

Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln:

1. binomische Formel: $({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2$

2. binomische Formel: $({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2$

3. binomische Formel: $({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2$

Diese Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an ;)

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Herleitung der binomischen Formeln

Übung: Binomische Formeln herleiten

Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten.
Stelle dazu eine Gleichungskette der Form $(a+b)^2 = ... = a^2+2ab+b^2$ auf.

Beginne mit dem Ausgangsterm $(a+b)^2$ und schreibe die Potenz wiefolgt aus: $(a+b)\cdot(a+b)$. Dies kannst du nun nach den bekannten Regeln ausmultiplizieren.

Zunächst beginnt man mit dem Ausgangsterm

$({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2$

Nun wird die Potenz ausgeschrieben

$=({\color{green}a}+{\color{blue}b})\cdot({\color{green}a}+{\color{blue}b})$

Als nächstes werden die Klammern ausmultipliziert

$={\color{green}a}{\color{green}a}+{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}{\color{green}a}+{\color{blue}b}{\color{blue}b}$

Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) liefert das Ergebnis:

$={\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2$

$({\color{green}(2x)}+{\color{blue}z})^2 = {\color{green}(2x)}^2+2{\color{green}(2x)}{\color{blue}z}+{\color{blue}z}^2 = 2^2x^2+2 \cdot 2xz+z^2 = 4x^2+4xz+z^2$

geometrische Herleitung

Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine anschaulichere Möglichkeit, die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das Vergleichen von Flächen. Ziehe in der unteren Grafik die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte geometrisch und rechnerisch bewirkt.

Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist $(a+b)^2$ und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus vier Teilflächen zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte $a^2, a \cdot b, b \cdot a, b^2$. Die Fläche des Quadrats ergibt sich als Summe der Teilflächen: $a^2+ 2ab+ b^2$ Das ist gerade die 1. binomischen Formel.

Beachte

Bisher hast du lediglich die Herleitung der ersten binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der zweiten und dritten binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei:

https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln

Beispiele

Anwendungsbeispiele

Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen :)

Zur Erinnerung:

1. binomische Formel: $({\color{green}a}+{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2+2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2$

Für a und b können verschiedene Zahlen eingesetzt werden:
a)$({\color{green}5}+{\color{blue}3})^2 = {\color{green}5}^2+2 \cdot {\color{green}5} \cdot {\color{blue}3}+{\color{blue}3}^2 = 25+30+9 = 64 (=8^2)$

Für a und b können auch andere Variablen eingesetzt werden:
b)$({\color{green}(uv)}+{\color{blue}w})^2 = {\color{green}(uv)}^2+2{\color{green}(uv)}{\color{blue}w}+{\color{blue}w}^2 = u^2v^2+2 \cdot uvw+w^2$

Selbst längere Terme kann man für a und b einsetzen:

c)$({\color{green}(2s+t)}+{\color{blue}u})^2 = {\color{green}(2s+t)}^2+2{\color{green}(2s+t)}{\color{blue}u}+{\color{blue}u}^2 = ...$

Zur Erinnerung:

2. binomische Formel: $({\color{green}a}-{\color{blue}b})^2 = {\color{green}a}^2-2{\color{green}a}{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2$

a)$({\color{green}5x}-{\color{blue}3y})^2 = {\color{green}(5x)}^2-2{\color{green}(5x)}{\color{blue}(3y)}+{\color{blue}(3y)}^2 = 25x^2+30xy+9y^2$

Die Reihenfolge der Variablen in der Klammer kann manchmal verkehrt herum sein. In diesem Fall wird zunächst das Kommutativgesetz verwendet, bevor die binomische Formel angewendet wird:
b)$(-{\color{blue}2}+{\color{green}w})^2 = ({\color{green}w}-{\color{blue}2})^2 = {\color{green}w}^2-2{\color{green}w}{\color{blue}(2)}+{\color{blue}2}^2 = w^2-4w+4$

c)$({\color{green}ab}-{\color{blue}4t})^2 = {\color{green}(ab)}^2-2{\color{green}(ab)}{\color{blue}(4t)}+{\color{blue}(4t)}^2 = a^2b^2-2(ab)(4t)+4^2t^2 = a^2b^2-8abt+16t^2$

Zur Erinnerung:

3. binomische Formel: $({\color{green}a}+{\color{blue}b})({\color{green}a}-{\color{blue}b}) = {\color{green}a}^2-{\color{blue}b}^2$

a) $({\color{green}(2h)}+{\color{blue}i})({\color{green}(2h)}-{\color{blue}i}) = {\color{green}(2h)}^2-{\color{blue}i}^2$

Es spielt keine Rolle, ob zuerst die Summe oder die Differenz erscheint (Assoziativgesetz):
b) $({\color{green}(mn)}-{\color{blue}{1\over 3}})({\color{green}(mn)}+{\color{blue}{1\over 3}}) = {\color{green}(mn)}^2-{\color{blue}({1\over 3})}^2 = m^2n^2-{1\over 9}$

c) $({\color{green}(3x)}+{\color{blue}\sqrt{2}})({\color{green}(3x)}-{\color{blue}\sqrt{2}}) = {\color{green}(3x)}^2-{\color{blue}(\sqrt{2})}^2 = 9x^2-2$

Aufgabenteil

Aufgabe 1: Welche binomische Formel?

Ordne den Term der entsprechenden binomischen Formel zu.

1. binomische Formel	$(x+19)^2$	$({3\over 4}+p)^2$	$(1,34+\sqrt{5})^2$
2. binomische Formel	$(-x+19)^2$	$(3-5)^2$	$(25-y)^2$
3. binomische Formel	$(5+t)(5-t)$	$({3\over 8}-7)(7+{3\over 8})$	$(1,37-2)(1,37+2)$
Das ist keine binomische Formel	$(4+7)(5-7)$	$(5+7)^{1\over 2}$	$s+3^2$

Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)

Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Trage dazu die korrekten Werte ein.

Alle einsteigen bitte

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a)$225+30a+a^2 = ($15()$+$a()$)^2$
b)$9a^2-16b^2 = ($3a()$+$4b()$)\cdot ($3a()$-$4b())
c)$81u^2-36u+4 = ($9u()$-$2()$)^2$
d)$4m^2+28m+49 = ($2m()$+$7()$)^2$
e)$64y^2-160yz+100z^2 = ($8y()$-$10z()$)^2$
f)$36u^2-289w^2 = ($6u()$+$17w()$)\cdot ($6u()$-$17w())

Aufgabe 3: Natüürlich

Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen $a$ und $b$ mit $b = a-1$.
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt:
Die Differenz $a^2-b^2$ ist gleich der Summe $a+b$. Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.

Bilde eine Gleichungskette $a^2-b^2 = ... = a+b$

Verwende bei der Umformung die dritte binomische Formel.

Zunächst wird die 3. binomische Formel ausgenutzt:

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

Dann wird für $b = a-1$ eingesetzt:

$= (a-(a-1))(a+(a-1))$

Nun die erste Klammer auflösen:

$= 1 \cdot (a+(a-1))$

Schließlich für $a-1 = b$ einsetzen:

$= 1 \cdot (a+(b)) = a+b$

Alternativ:

$a^2-b^2 = (a+b)(a-b) = (a+b) \cdot 1 = a+b$.