Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung: Unterschied zwischen den Versionen

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Main>Christopher WWU
Main>Christopher WWU
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===Aufgabe 8: Muss es in jedem Punkt einer Funktion eine Tangente geben?!===
Klicke gleich auf den nebenstehenden Link, um Geogebra zu öffnen. [[https://www.geogebra.org/graphing Geogebra]] <br/>
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Gebe folgende Funktion ein:
f(x) = <math>\sqrt{1-x^2}</math>
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Du siehst dann einen Halbkreis. Überlege kurz, warum die Funktion nur im Intervall von [-1,1] definiert ist.
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a) An welchen Punkten kannst du eine Tangente anlegen?
An welchen Punkten ergibt es keinen Sinn eine Tangente anzulegen und warum?
<popup name="Tipp zu a)">Benutze die h-Methode für einen Punkt, an dem eine Tangente nicht möglich ist.
Benutze den Differentialquotienten.  </popup>
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b) Welche Schlussfolgerung kannst du ziehen, wenn an einer Funktion bereits an einer Stelle keine Tangente angelegt werden kann?
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<popup name="Lösung a)"> An fast allen Punkten im Intevall [-1,1] können Tangenten angelegt werden.
Die Ausnahmen bilden die Punkte P(-1|0) und Q(1|0). Wir wollen euch dies im Punkt Q einmal exemplarisch zeigen.
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:::[[Datei:H-Methode.jpg|rahmenlos|500px|Fläche 1]]
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Ihr seht, dass der für h gegen 0 der Zähler gegen 2 und der Nenner gegen 0 geht.
Es existiert kein fester Grenzwert, da es gegen unendlich läuft.
</popup>
<popup name="Lösung b)"> Wenn eine Funktion, wie hier in diesem Beispiel, bereits in einem Punkt keine Tangente ausweisen kann, ist sie nicht differenzierbar. <br/>
Eine Tangente repräsentiert eine lineare Funktion. Die Steigung einer linearen Funktion muss eine reelle Zahl sein, ansonsten ist die lineare Funkion nicht definiert.
</popup>


=== Aufgabe 9: Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?!===
=== Aufgabe 9: Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?!===

Version vom 6. November 2017, 18:24 Uhr

Inhaltsübersicht

a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1
b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5
c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7, 8 und 9




Aufgabe 1: Kannst du die Begriffe unterscheiden?

a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale




b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung

Aufgabe 2: Ordne die jeweilige Steigung den entsprechenden Punkten zu





Aufgabe 3: Die Steigung der Tangente in einem x-Wert




Aufgabe 4: Wahr oder Falsch?



Aufgabe 5: Memory. Wie fit bist du beim Behalten von Graphen und einer Steigung in einem Punkt?



c) Untersuchung einer Funktion

Aufgabe 6: Steigung und Koordinaten ablesen



Aufgabe 7: Raupenfahrt

<popup name="Lösung"> Die Steigfähigkeit der Raupe liegt mit 76% über der Steigung von 75%. </popup>




Aufgabe 9: Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?!


Klicke gleich auf den nebenstehenden Link. [Geogebra]

Verbinde mit Hilfe einer Strecke die Punkte (0|0), (6|6); (6|6), (16|6).

a) Welche Tangente(n) würdest du im Punkt P(6|6) einzeichnen?

b) Zeichne zu den jeweiligen Intervallen ([0;6] und [6;16]) die Steigung ein. Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?





<popup name="Lösung a)">

Im Punkt P(6|6) gibt es keine eindeutige Tangente. Je nachdem ob man die Steigung von links oder von rechts betrachte, erhält man eine andere, wie im Graph zu sehen ist.

Fläche 1
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<popup name="Lösung b)"> Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;16] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung. Hier ist die neue Funktion also nicht zusammenhängend (Sprungstelle) und daher auch nicht differenzierbar.

Fläche 1
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