Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 28. Dezember 2018, 11:12 Uhr
Inhaltsübersicht
a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1
b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5*
c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7 und 8*
<popup name="Hinweis zu *">
Die Aufgaben mit einem * sind komplexer.
</popup>
Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale
<popup name="Hilfe"> Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er? </popup>
Teil 1)
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Teil 2) Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.
<popup name="Lösung Teil 2">
1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ.
2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich.
3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten.
4) Die Tangente ist in x = 3 konstant.
</popup>
<popup name="Begründung 1)"> Begründung: Nachdem die Funktion den y-Wert 3 erreicht hat, fällt die Funktion. Somit muss die Steigung negativ werden. </popup>
<popup name="Begründung 2)"> Begründung: Die Steigung ist nur in linearen Funktionen (g(x) = m*x + b) gleich. </popup>
<popup name="Begründung 3)"> Begründung: Durch die Verschiebung einer Funktion auf der y-Achse verändert sich nicht die Steigung,
sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt. </popup>
<popup name="Begründung 4)"> Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant. </popup>
c) Untersuchung einer Funktion
Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf.
Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben.
Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?
<popup name="Lösung"> Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen. Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8. Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe. </popup>
a) Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum?
Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere?
Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n).
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<popup name="Hinweis zu a)">
Hast du dir wirklich Gedanken gemacht?
<popup name="Hinweis a)">
Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6).
Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an.
</popup>
<popup name="Lösung a)">
Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist.
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein.
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar.
</popup>
b) Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken. Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?
<popup name="Lösung b)">
Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung.
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war.
Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.
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