Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema: Unterschied zwischen den Versionen
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:<math>\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{3}{2}</math><br> | :<math>\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{3}{2}</math><br> | ||
;Hinreichendes Kriterium: <math> f'(x_E) = 0 </math> & <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>. | ;Hinreichendes Kriterium: <math> f'(x_E) = 0 </math> & <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>. | ||
:Wir erhalten durch einsetzen: | :Wir erhalten durch einsetzen: <math> f'\Big(\frac{3}{2}\Big) = 0 </math> & <math>f''\Big(\frac{3}{2}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{3}{2}.</math> | ||
;Ordinate bestimmen: <br> | ;Ordinate bestimmen: <br> | ||
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{3}{2}\Big) = -\frac{1}{2} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{2}|-\frac{1}{2}\Big)</math> | :Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{3}{2}\Big) = -\frac{1}{2} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{2}|-\frac{1}{2}\Big)</math> | ||
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;Hinreichendes Kriterium: <math> f'(x_E) = 0 </math> & <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 6x - 6</math>. | ;Hinreichendes Kriterium: <math> f'(x_E) = 0 </math> & <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 6x - 6</math>. | ||
:Wir erhalten durch einsetzen: | :Wir erhalten durch einsetzen: | ||
:<math>f'(\Big(-0{,}63\Big)) = 0 & f''\Big(-0{,}63\Big) = -9{,}78 < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -0{,}63.</math> | :<math>f'(\Big(-0{,}63\Big)) = 0</math> & <math>f''\Big(-0{,}63\Big) = -9{,}78 < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -0{,}63.</math> | ||
:<math>f'(\Big(2{,}63\Big) = 0 & f''\Big(2{,}63\Big) = +1{,} > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = 2{,}63.</math> | :<math>f'(\Big(2{,}63\Big) = 0</math> & <math>f''\Big(2{,}63\Big) = +1{,} > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = 2{,}63.</math> | ||
;Ordinate bestimmen: <br> | ;Ordinate bestimmen: <br> | ||
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: | :Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein f(x) =3: | ||
:<math>f\Big(-0{,}63\Big) = -9{,}78 \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-0{,}63|-9{,}78\Big)</math> | :<math>f\Big(-0{,}63\Big) = -9{,}78 \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-0{,}63|-9{,}78\Big)</math> | ||
:<math>f\Big(2{,}63\Big) = +9{,}78 \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(2{,}63|-9{,}78\Big)</math> | :<math>f\Big(2{,}63\Big) = +9{,}78 \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(2{,}63|-9{,}78\Big)</math> |